TERMINALE S Nombres complexes Fiche de résumé

TERMINALE S
Nombres complexes
Fiche de résumé
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Il existe un ensemble noté C et appelé ensemble des nombres complexes, qui vérifie les
propriétés suivantes :
•
L'ensemble C contient l'ensemble R des nombres réels ;
•
Il existe dans C une addition et une multiplication qui ont les mêmes propriétés que
dans R ;
•
Il existe dans C un nombre complexe noté i tel que i²= -1 ;
Forme algébrique
z = a+ ib
•
Le réel a s'appelle la partie réelle de z, le nombre réel b s'appelle la partie imaginaire
de z.
•
a = Re(z) et b = Im(z).
•
Un complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.
•
Un complexe est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.
•
0 est le seul nombre complexe qui est réel et imaginaire pur.
•
a + ib = a’ + ib’ équivaut à a = a’ et b = b’.
•
a + ib = 0 équivaut à a = 0 et b = 0
Affixe
A tout point M de coordonnées (x,y) on associe le complexe x + iy , noté zM et appelé affixe
de M.
→
→
Pour tous points A et B, le vecteur AB a pour affixe z AB = zB - zA = (xB – xA) + i(yB – yA)
Conjugué
le conjugué de z = x + iy est le nombre complexe z = x - iy.
•
z est réel si et seulement si z = z
•
z est un imaginaire pur si et seulement si z = - z
•
z =z
(-z) = - z
•
z = a + ib, avec a et b réels: z + z = a + ib + a - ib = 2a = 2Re(z)
•
z - z = a + ib - (a - ib) = a + ib - a+ ib = 2ib = 2iIm(z)
•
Re(z) =
•
z z = a² + b²
z+ z
•
•
2
z + z’ = z + z’
 z’  z’
 z =
 
z
z- z
Im(z) =
zn = z
2i
n
z – z’ = z - z’
1 1
 z =
  z
z × z’ = z × z’
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Module
• | z | = | a + ib | = a² + b²
• |z|= z 
|-z | = |z |
•
|z × z’| = |z| × |z’|
|zn| =|z|n
•
z’ |z’|
z =
  |z|
1 1
 z =
  |z|
•
AB = | zB - zA|
Résolution de az² + bz + c = 0, avec a ,b , c réels et a non nul.
Soit ∆ = b² - 4ac,
b
2a
-b + ∆
si ∆ > 0, deux solutions réelles
2a
si ∆ = 0, une solution réelle est –
-b - ∆
2a
-b + i -∆
si ∆ < 0, deux solutions complexes conjuguées
et
2a
Argument d’un nombre complexe non nul
et
-b – i -∆
2a
→ →
Dans le plan complexe (O, u , v ), soit le complexe z non nul, de point image M.
→ →
Arg(z) = mesure en radian de l’angle orienté ( u ,OM)
Soit z un complexe non nul
• z est réel (z ∈ R ) si et seulement si arg(z) = 0 [π]
π
[π]
2
•
z est imaginaire pur (z ∈ iR) si et seulement si arg(z) =
•
arg( z ) = - arg(z) [2π]
arg(- z) = arg(z) + π [2π]
•
•
arg(z1 × z2) = θ1 + θ2 = arg(z1) + arg(z2) modulo 2π
arg(z²) =arg(z × z) = arg(z) + arg(z) = 2arg(z) [2π]
z1
arg z  = arg (z1) - arg (z2) [2π]
 2
arg(zn) = n arg(z) [2π]
1
arg z  = - arg (z2) [2π]
 2
•
Forme trigonométrique
Soit z = a + ib un nombre complexe de module ρ et d’argumentθ, alors z = ρ (cos θ + i sin θ),
Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique :
cos θ = |az|
d’où z = ρ(cos θ + i sin θ)

b
 sin θ = |z|
Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique:
• a = ρ cos θ et b = ρ sin θ
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Angle orienté de vecteurs
A, B, C, D étant des points distincts d’affixes respectives a, b , c, d alors
→ →
d – c 
(AB , CD ) = arg  b - a 


Notation exponentielle :
cos θ + i sin θ = eiθ
(eiθ) = e - iθ
|eiθ|= 1
- eiθ = ei(θ + π)
eiθ × eiθ’ = ei(θ + θ’)
arg(eiθ) = θ
eiθ
= ei(θ - θ’)
eiθ’
n
(eiθ) = einθ
Formule de Moivre
d’où
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
Transformations
→
•
L'écriture complexe de la translation de vecteur w d’affixe b est
z' = z + b.
•
L'écriture complexe de la rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle θ est
z’ - ω = eiθ × (z - ω).
•
L'écriture complexe de l’homothétie de centre Ω d’affixe ω et de rapport k réel non nul est
z’ - ω = k × (z - ω).