Le commutateur de deux oprateurs, mesures simultanes de proprits

Le commutateur de deux opérateurs, mesures simultanées de propriétés
Si nous voulons considérer deux ou plusieurs propriétés en mécanique quantique il faut
connaître les règles de combinaison des opérateurs correspondants.
On définit le commutateur de deux opérateurs
[,
] = -
ˆ
A
ˆ
B
ˆ
A ˆ B
ˆ
B ˆ A
Si [
, ] = 0 on va dire que les deux opérateurs et commutent.
Dans ce cas-ci on obtient le même résultat indépendamment de l'ordre
d'application des deux opérateurs.
ˆ
A ˆ B
ˆ
A ˆ B
Puisqu'en mécanique quantique on a souvent affaire à des opérateurs
différentiels il faut faire bien attention à la question de l'ordre d'application
des opérateurs. Un exemple très important de deux opérateurs qui ne
commutent pas est la paire x et (d /dx):
ˆ x d
dx
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ f=xdf
dx
d
dx ˆ x
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ f=d
dx xf
(
)
=xdf
dx+fdx dx
=xdf
dx +f
ce que nous pouvons écrire comme une équation entre
opérateurs:
ˆ
x , d
dx
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =ˆ
x d
dx−d
dx ˆ
x =−1
(Pour manipuler ces équations il faut imaginer une
fonction à droite de chaque symbole d'opérateur.)

Considérons deux propriétés, A et B, dont les opérateurs quantiques sont
ˆ
A
et .
ˆ
B
Question: Est-il possible de trouver comme résultat certain d'une seule et
même mesure, à la fois des valeurs définitives de A et de B?
Réponse:
Il faut que Ψ, la fonction d'état, la fonction d'onde, du système soit à la fois
fonction propre de
ˆ
A
et de .
ˆ
B
ˆ
A
Ψ = ai Ψ et Ψ = bi Ψ
ˆ
B
Une condition nécessaire pour que Ψ soit à la fois une fonction propre des
deux opérateurs est que les opérateurs commutent:
ˆ
A , ˆ B
[
]
=ˆ A ˆ B −ˆ B ˆ A =0
Quelques examples de commutateur:
ˆ
1 ,ˆ 1
[
]
=0ˆ 0 , ˆ A
[
]
=0
ˆ
,
dx
dx
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
1
, ˆ,1
d
xdx
⎡⎤
=
−
⎢⎥
⎣⎦
[]
ˆˆ ˆ ˆ
,, ,
xdd
xp x x i
idx i dx i
⎡⎤⎡⎤
===−
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
hh h
h
=
c'est-à-dire
et
ˆ
xˆ
p
x ne commutent pas. On ne peut pas mesurer la position et la
quantité de mouvement d'une particule avec certitude dans une même expérience.
(Principe d'incertitude de Heisenberg).

MOMENT ANGULAIRE (MOMENT CINÉTIQUE) D'UNE PARTICULE
Moment angulaire en mécanique classique
Pour une particule de masse m se déplaçant avec un vecteur vitesse, v
r
, à la position p
r
, la
quantité de mouvement (linéaire) est
pmv=
rr
et le moment angulaire
L
r est:
Lrp=×
rrr
Les trois composantes de L sont:
L
x = ypz - zpy
L
y = zpx - xpz
L
z = xpy - ypx
Il faut traduire ces propriétés en opérateurs quantiques, à l'aide de la "recette"
x→ˆ x
px→−ih
∂
∂
x
On a:

ˆ
L
x=−ih y
∂
∂ z−z
∂
∂ y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ˆ
L
y=−ih z
∂
∂
x−x
∂
∂
z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ˆ
L
z=−ih x
∂
∂
y−y
∂
∂
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Nous pouvons aussi construire l'opérateur correspondant au carré de la valeur
absolue de L
L2
^=ˆ
L 2=ˆ L •ˆ L =ˆ L
x
2+ˆ
L
y
2+ˆ
L
z
2
Calculons les commutateurs de ces différents opérateurs (pour savoir lesquels nous
aurons le droit de définir avec certitude dans une seule et même expérience)
ˆ
L
x,ˆ
L
y
[
]
=ˆ L
xˆ
L
y−ˆ
L
yˆ
L
x
ˆ
L
yf=−ih z
∂ f
∂ x−x
∂ f
∂ z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ˆ
L
xˆ
L
yf=−h2y
∂ f
∂ x+yz
∂
2f
∂ z ∂ x
⎛
⎝
⎜
−yx
∂
2f
∂ z2−z2
∂
2f
∂ y ∂ x
+zx
∂
2f
∂ y ∂ z
⎞
⎠
⎟
De même

−z2
∂
2f
∂ x ∂ y−xy
∂
2f
∂ z2+xz
∂
2f
∂ z ∂ y
⎛
ˆ
L
yˆ
L
xf=−h2zy
∂
2f
∂ x ∂ z
⎝
⎜
⎞
+x
∂ f
∂ y
⎠
⎟
⇒ˆ L
x,ˆ
L
y
[
]
=−h2y
∂
∂ x−x
∂
∂ y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =ihˆ
L
z
Finalement on a les trois relations suivantes:
ˆˆ ˆ
,
ˆˆ ˆ
,
ˆˆ ˆ
,
x
yz
yz
zx
LL iL
LL iL
LL iL
⎡⎤
=
⎣⎦
⎡⎤
=
⎣⎦
⎡⎤
=
⎣⎦
h
h
h
x
y
Dans une seule mesure nous ne pouvons pas mesurer avec certitude la valeur de deux
parmi les trois composantes Lx, Ly, Lz de L. Une seule composante sera
mesurable avec certitude. (Nous allons choisir la composante Lz pour des raisons
de simplicité mathématique.)
•On peut aussi évaluer ˆ
L
2,ˆ
L
x
[
]
etc
2
2
2
ˆˆ
,0
ˆˆ
,0
ˆˆ
,0
x
y
z
LL
LL
LL
⎡⎤
=
⎣⎦
⎡⎤
=
⎣⎦
⎡⎤
=
⎣⎦