Terminale S 2015 - 2016 Exercices sur « Loi de

Terminale S 2015 - 2016
Exercices sur « Loi de probabilités discrètes »
Exercice 1 :
Soient A et B deux événements d’un même univers tels que p  A  0. .
Montrer que p A  B   p A  B   1 .
Exercice 2 :
On lance un dé cubique parfaitement équilibré.
On considère les événements suivants :
S : « le nombre sorti est supérieur à 2 »
I : « le nombre sorti est impair »
Sachant que le résultat est supérieur à 2, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre impair ?
Exercice 3 :
On considère la répartition en pourcentage suivante des groupes sanguins dans la population mondiale.
O A B
Rh  38 34 9
Rh 
7
6
AB
3
2
1
On choisit un individu au hasard.
1) Sachant qu’il est du groupe A, quelle est la probabilité qu’il soit de rhésus positif ?
2) Sachant qu’il est de rhésus négatif, quelle est la probabilité qu’il soit du groupe B ?
TS Probabilités conditionnelles
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Exercice 4 :
Les trois quarts d’une population sont vaccinés contre une maladie contagieuse.
On estime que sur la population totale, 10 % des individus sont malades et
que 18 % sont des individus non vaccinés et sains.
On considère les événements suivants :
M : « l’individu est malade »
V : « l’individu est vacciné »
1) Compléter le tableau suivant :
V
Total
V
M
M
Total
2) Sachant que l’individu choisi est vacciné, quelle est la probabilité qu’il soit malade ?
Exercice 5 :
Une urne contient quatre boules blanches, trois boules noires et deux boules rouges. On tire successivement et
sans remise deux boules dans l’urne.
On considère les événements suivants :
R : « la boule tirée est rouge »
B : « la boule tirée est blanche »
a) Construire l’arbre de probabilités correspondant .
b) Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules rouges ?
Exercice 6 :
Dans chaque cas, compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.
a)
 
p A  0.8 p A  B   0.5 et p  A  B   0.1
TS Probabilités conditionnelles
b)
p  A 


2
1
1
p  A  B   et p A  B 
3
3
6
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Exercice 7 :
Dans chaque cas, compléter l’arbre de probabilités ci-dessous :
a) p  A1   0.2
p  A2   0.5
p A1  B   0.1 p A2  B   0.2 et p A3  B   0.4
b) p  A1   0.4
p  B   0.6
p  A3  B   0.3
 
p  A2  B   0.1
 
pA2 B  0.5 et pA3 B  0.25
Exercice 8 :
Une urne A contient trois boules dont une rouge, une urne B contient cinq boules dont deux rouges. On choisit
une urne au hasard puis une boule dans cette urne. Les boules sont indiscernables au toucher. On note :
A l’événement : « L’urne A a été choisie »,
B l’événement : « L’urne B a été choisie »,
R l’événement : « La boule tirée est rouge ».
1) Traduire ces informations à l’aide d’un arbre pondéré.
2) Donner pA  R  et pB  R  .
3) Calculer la probabilité d’obtenir une boule rouge.
4) On tire une boule rouge. Calculer la probabilité qu’elle provienne de l’urne B.
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Exercice 9 :
Un disquaire range l’ensemble de ces CD en trois catégories :
Les CD de variétés qui représentent 40 % de l’ensemble et dont 75 % sont des albums.
Les CD de pop - rock qui représentent 35 % de l’ensemble et dont 80 % sont des albums.
Les CD de classique - jazz qui représentent 25 % de l’ensemble et dont 99 % sont des albums.
Le disquaire dispose de deux formats de CD : les albums et les deux - titres. On choisit un CD au hasard .
On considère les événements suivants :
V : « on a un CD de variété »
P : « on a un CD de pop - rock »
C : « on a un CD de classique - jazz »
A : « le CD est un album »
D : « le CD est un deux - titres »
1) Traduire ces informations à l’aide d’un arbre pondéré.
2) Quelle est la probabilité que la CD choisi soit un album ?
3) Sachant que le CD choisi est un album, quelle est la probabilité que ce soit du classique-jazz ?
Exercice 10 : BAC S
Dans un zoo, l’unique activité d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique équipé d’un toboggan et
d’un plongeoir. On a observé que, si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu’il le reprenne est de 0.3.
Si un manchot choisir le plongeoir, la probabilité qu’il le reprenne est 0.8. Lors du premier passage les deux
équipements ont la même probabilité d’être choisis. Pour tout entier naturel n on définit les événements
Tn : « Le manchot utilise le toboggan lors de son nième passage » et Pn : « Le manchot utilise le plongeoir lors
de son nième passage ». On considère la suite  un  définie par n 

, un  p Tn  .
1) a) Donner les probabilités p T1  , p  P1  , pT T2  et pP T2  .
1
1
1
4
b) Montrer que p T2   .
c) Compléter l’arbre ci-contre :
d) Démontrer que n   , un1  0.1 un  0.2
2) On considère la suite  vn  définie par n 

, vn  un 
2
9
a) Démontrer que la suite  vn  est géométrique de raison
1
.
10
b) Exprimer vn puis un en fonction de n.
c) Calculer u100 . Interpréter ce nombre .
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Exercice 11 : BAC
Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des
sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
Lorsque le n-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
L'événement : « le n-ième sondage est positif » est noté Vn , on note pn la probabilité de l'événement Vn.
L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que :
si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d'être aussi positif ;
si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d'être aussi négatif.
On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire : p1  1 .
1) Calculer les probabilités des événements suivants :
a) A : « les 2e et 3e sondages sont positifs » ;
b) B : « les 2e et 3e sondages sont négatifs ».
2) Calculer la probabilité p3 pour que le 3e sondage soit positif.
3) n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Recopier et compléter l'arbre ci-dessous en fonction des données de l'énoncé :
4) Pour tout entier naturel n non nul, établir que pn 1  0,5 pn  0,1 .
5) On note u la suite définie, pour tout entier naturel n non nul par un  pn  0, 2 .
a) Démontrer que u est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison.
b) Exprimer pn en fonction de n.
c) Calculer p100 . Interpréter ce nombre .
Exercice 12 :
Chaque élève de 1ère S choisit une et une seule spécialité en Terminale, suivant la répartition ci-dessous :
Mathématiques
Physique
SVT
40%
25%
35%
M
SP
SVT
Fille
45 %
24 %
60 %
Garçon
55 %
76 %
40 %
On interroge un élève au hasard.
Etudier l’indépendance des événements :
M : « L’élève a choisi la spécialité Mathématiques »
S : « L’élève a choisi la spécialité SVT »
F : « L’élève est une fille ».
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Exercice 13:
Un tireur atteint sa cible six fois sur dix.
Combien faut-il de tirs au minimum pour que la probabilité d’atteindre au moins deux fois la cible soit
supérieure à 99% ?
Exercice 14:
Un candidat doit répondre à un QCM (questionnaire à choix multiples) comportant 10 questions.
Pour chaque question quatre réponses sont proposées ; une de ces quatre réponses est juste, les trois autres sont
fausses. Le candidat répond au hasard aux dix questions.
Calculer les probabilités suivantes:
1) Le candidat a dix réponses justes.
2) Le candidat a exactement trois réponses justes.
3) Le candidat a au moins une réponse juste.
4) On note X le nombre de réponses justes.
a) Quelle est l'espérance mathématique de X ?
b) Comment peut-on noter un tel QCM pour que les candidats qui répondent au hasard aient en moyenne 0?
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Exercice 15:
Un Directeur des Ressources Humaines (DRH) souhaite recruter de nouveaux collaborateurs pour son
entreprise.
Il a présélectionné des candidats à l’aide de leurs CV et d’entretiens, mais ces méthodes ne lui permettent pas
de détecter correctement les compétences requises. Il décide alors de leur faire passer un test de graphologie,
pensant que les résultats l’aideront dans son choix.
On suppose que les candidats possédants les compétences recherchées représentent une proportion p des
candidats présélectionnés. On suppose aussi que les résultats du test graphologique donne des indications sur le
candidat ; le type de candidat recherché réussit le test dans 60 % des cas en moyenne, alors que les autres ne le
réussissent que dans 50 % des cas.
On choisit au hasard un candidat.
On note R l’évènement : « le candidat possède les compétences recherchées » et T l’évènement : « le candidat
réussit le test graphologique ».
1) Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilité pondéré.
2) Déterminer en fonction de p :




P R  T et P R  T .

 

3) En déduire, en fonction de p, P R  T  P R  T . Que représente ce nombre ?
4) On note f  p  la probabilité qu’un candidat ayant réussi le test possède réellement les compétences
recherchées. Déterminer f  p  .
5) Étudier le sens de variation de la fonction f , puis construire son tableau de variations.
6) Résoudre f  p   0,9 et interpréter ce résultat. Que peut-on conseiller au DRH ?
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