1 ´Enonc´e du probl`eme

1 Énoncé du problème
Soit E un corps de nombres. Pour tout schéma séparé de type fini X sur E, A. Huber a
b
(X, Q` ) de complexes `-adiques mixtes horizontaux sur
construit dans [13] une catégorie Dm
X. 1 Intuitivement, on regarde la catégorie des complexes `-adiques sur X qui proviennent d’un
complexe `-adique constructible sur un modèle de X sur un ouvert U de Spec(OE ), où dans
la définition de “constructible” on n’autorise que des strates lisses sur U . On peut définir une
notion de poids pour de tels complexes : on regarde leurs restrictions aux fibres au-dessus des
points fermés de U , d’où une notion d’objets purs. Les complexes mixtes sont comme d’habitude
ceux dont tous les faisceaux de cohomologie sont extensions successives de faisceaux purs. Noter
b
que l’on demande aussi que les morphismes dans Dm
(X, Q` ) s’étendent à des modèles au-dessus
d’un ouvert de Spec(OE ). (Cela fait une différence, voir la fin de la section 1 de [13].)
b
D’après les sections 2 et 3 de [13], on dispose des 6 opérations sur les catégories Dm
(X, Q` ).
(On montrerait facilement que l’on dispose aussi des foncteurs cycles proches et cycles
évanescents.)
b
(X, Q` ) est par ailleurs munie d’une t-structure perverse par [13] 2.5 et et
La catégorie Dm
3.2, et on note Pervm (X) son coeur, c’est-à-dire la catégorie des Q` -faisceaux pervers mixtes
horizontaux sur X.
Remarque 1.1 Lorsque l’on a besoin d’encadrer les poids (ou les degrés de cohomologie, ordib
naire ou perverse) pour des objets de Dm
(X, Q` ), on peut appliquer les résultats de [5] pour les
catégories de faisceaux `-adiques mixtes sur un schéma sur un corps fini, et ce grâce qu théorème
de changement de base générique de Deligne (SGA 4 1/2 [Th. finitude] section 2). Cette méthode
est en particulier utilisée pour prouver 3.4 et 3.5 dans [13]. Dans la suite, on l’utilisera sans commentaire particulier.
Enfin, on dispose de la notion de filtration par le poids sur un objet de Pervm (X) ([13] 3.7).
Une telle filtration est nécessairement unique si elle existe ([13] 3.8), mais elle n’existe pas
toujours. La sous-catégorie pleine des objets de Pervm (X, Q` ) admettant une filtration par le
poids est tout de même abélienne, mais elle n’est évidemment pas stable par extensions.
Or, c’est bien embêtant car on voudrait appliquer les méthodes de la section 3 de [16] pour
calculer des complexes d’intersections de variétés sur E, et cela n’est pas possible si l’on n’a pas
de filtration par le poids sur les faisceaux pervers mixtes.
Le but de cette note est de proposer une solution, inspirée par le fait, dû à Beilinson, que, dans
toutes les situations raisonnables (et tant que les coefficients sont un corps ou un anneau fini),
la catégorie des “complexes de faisceaux” à laquelle on s’intéresse s’identifie naturellement à la
catégorie dérivée bornée de son coeur pour la t-structure perverse autoduale. 2
1. On pourrait aussi utiliser comme coefficients Q` ou une extension finie de Q` . Cela ne changerait rien.
b
2. Il est probable que les méthodes de Beilinson permettent de prouver le résultat analogue pour Dm
(X, Q` ).
Cependant, je n’ai pas vérifié les détails.
1
b
L’idée est donc de remplacer Dm
(X, Q` ) par la catégorie dérivée (bornée) de la catégorie
abélienne des faisceaux pervers mixtes admettant une filtration par le poids. (C’est-à-dire de tuer
brutalement toutes les extensions qui nous embêtent.) Le problème est alors de montrer que les
4 opérations se relèvent à ces catégories. Pour cela, on s’inspire largement de l’article [3] déjà
cité de Beilinson et du preprint [18] de M. Saito. En fait, cette note ne contient pas vraiment
de méthodes nouvelles, son principal intérêt consistant à exhiber des catégories auxquelles les
méthodes déjà existantes peuvent s’appliquer pour donner des résultats utiles.
Au passage, on en profite pour remplacer E par n’importe quel corps de type fini sur son corps
premier. La section suivante est donc consacrée à la généralisation naturelle des constructions de
A. Huber dans ce cas. 3
2 Complexes `-adiques horizontaux
Soit E un corps de type fini sur son corps premier, et soit ` un nombre premier inversible dans
E. (On ne suppose pas que E est de caractéristique 0). Dans cette section, on veut généraliser
à ce cas les constructions des sections 1-3 de l’article [13] de A. Huber, dont on suivra le plus
possible les notations.
Dans la suite, tous les schémas sur E seront supposés séparés et de type fini.
On note U l’ensemble ordonné par inclusion des sous-algèbres régulières A ⊂ E de type fini
sur Z telles que E = Frac(A). Grâce au critère d’ouverture de Nagata (cf EGA IV 6.12.6), on a
E = −lim
A. On est donc dans le cadre étudié dans EGA IV 8.
−−→
A∈U
Si A ∈ U , on dit qu’un schéma sur A est horizontal s’il est plat et de type fini sur A. Soit X
un schéma sur E. On note U X la catégorie des couples (A, XA , u), où A ∈ U et XA est un
∼
schéma horizontal sur A et u est un isomorphisme X −→ XA ⊗A E. (On omettra parfois u dans
la notation.) Un morphisme (A, XA ) −→ (A0 , XA0 ) est une inclusion A ⊂ A0 et un morphisme
XA0 −→ XA ⊗A A0 qui fait commuter le diagramme évident. Alors on a un isomorphisme
canonique (induit par les morphismes u)
∼
X −→ lim
XA ⊗A E.
−−→
UX
Soient A ∈ U et X un schéma horizontal sur A. Soit Λ = Z/`m Z, Z` , Q` ou Q` . On note
Dcb (X , Λ) la catégorie des Λ-complexes constructibles bornés sur X , construite par Ekedahl (cf
[11] théorème 6.3).
Définition 2.1 Soit X un schéma sur E. On note
Dhb (X, Λ) = 2 − lim
Db (XA , Λ)
−−→ c
UX
3. Cette généralisation (en fait une version plus générale) est déjà envisagée dans l’article de Huber, cf. la remarque après la proposition 2.3 de [13].
2
pour Λ = Z/`m Z ou Z` , et
Dhb (X, Q` ) = Dhb (X, Z` ) ⊗Z` Q` .
b
(X, Eλ ) pour Eλ une extension finie de Q` et
On définit aussi de manière évidente Dm
b
Dm (X, Q` ).
Remarque 2.2 Soit (A, XA , u) ∈ U X. Pour tout A0 ∈ U tel que A0 ⊃ A, on note
XA0 = XA ⊗A A0 . Alors il est clair que
Dcb (XA0 , Z` ).
Dhb (X, Z` ) = 2 − lim
−
→
A0
En particulier, comme dans [13] 1.2, Dhb (X, Z` ) a une structure naturelle de catégorie triangulée
et une t-structure induite par les t-structures canoniques des Dcb (XA0 , Z` ).
On dispose des 6 opérations sur les catégories ci-dessus.
On note η ∗ : Dhb (X, Λ) −→ Dcb (X, Λ) le foncteur exact induit par les foncteurs de changement
de base Dcb (XA , Λ) −→ Dcb (X, Λ). Il est compatible aux 6 opérations.
La proposition 1.3 de [13] s’étend trivialement et donne :
Proposition 2.3 Soit X un schéma sur E. Le foncteur η ∗ identifie le coeur de la t-structure
canonique sur Dhb (X, Λ) avec la catégorie des Λ-faisceaux constructibles sur X qui s’étendent à
un XA , pour (A, XA ) ∈ U X.
Un tel faisceau constructible est dit horizontal.
Notons de plus le lemme suivant :
Lemme 2.4 Soit F , G deux faisceaux constructibles horizontaux sur X. Alors le morphisme
Ext1Db (X,Λ) (F , G ) −→ Ext1Dcb (X,Λ) (F , G )
h
induit par η ∗ est injectif.
Démonstration. C’est évident quand on utilise la description des Ext1 par les extensions.
On construit maintenant la t-structure perverse (autoduale) sur Dhb (X, Q` ).
Soient A ∈ U et X un schéma horizontal sur A. On dit qu’une stratification de X est
horizontale si toutes ses strates sont lisses sur A. Si K ∈ Dcb (X , Z` ), alors il existe un élément
3
A0 ⊃ A de U tel que K|X ⊗A A0 soit constructible pour une stratification horizontale de X ⊗A A0
(cf le lemme 2.1 de [13]). Les constructions de la section 2 de [13] se généralisent et permettent
de définir la t-structure perverse autoduale sur Dhb (X, Q` ), pour X un schéma de type fini sur E,
dont le coeur Pervh (X) est caractérisé de la manière habituelle (cf corollaire 2.6 de [13]). Les 4
opérations ont les même propriétés d’exactitude que dans [5] 4.1 et 4.2, et le théorème 4.3.1 de
[5] s’étend aussi (cf le théorème 2.7 de [13]), c’est-à-dire que :
(i) La catégorie Pervh (X) est artinienne et noethérienne.
(ii) Soit j : Y −→ X une immersion localement fermée, avec Y connexe et lisse sur E. Soit
L un faisceau `-adique lisse, simple et horizontal sur Y (c’est-à-dire venant par changement
de base d’un faisceau lisse sur un modèle lisse de Y sur un A ∈ U ). Alors j!∗ (L [dim Y ])
est un objet simple de Pervh (X). De plus, tous les objets simples de Pervh (X) sont de ce
type.
Notons que le foncteur η ∗ : Dhb (X, Q` ) −→ Dcb (X, Q` ) est t-exact. Il induit donc un foncteur
exact η ∗ : Pervh (X) −→ Perv(X) (où la deuxième catégorie est le coeur de la t-structure
perverse autoduale sur Dcb (X, Q` ) 4 ). Le lemme 2.12 de [13] dit que ce foncteur est fidèle. On a
en fait un résultat plus fort :
Proposition 2.5 (i) Le foncteur η ∗ : Pervh (X) −→ Perv(X) est pleinement fidèle, et
induit une équivalence de Pervh (X) avec la sous-catégorie pleine de Perv(X) dont
les objets sont les faisceaux pervers qui sont dans l’image essentielle d’un foncteur
Dcb (XA , Q` ) −→ Dcb (X, Q` ), pour (A, XA ) ∈ U X.
(ii) Pour tous K, L ∈ Pervh (X), le morphisme
Ext1 (K, L) −→ Ext1 (η ∗ K, η ∗ L)
induit par η ∗ est injectif.
Cette proposition suggère que l’on pourrait définir directement la catégorie Pervh (X)
comme sous-catégorie pleine de Perv(X), puis construire les 6 opérations sur les catégories
Db Pervh (X) en utilisant le théorème 3.2. Cela serait sans doute plus naturel, cependant cela ne
semble pas simplifier significativement les constructions.
Démonstration. Dans (i), la seule partie non évidente est le pleine fidélité de η ∗ .
On montre (i) et (ii) en même temps. On raisonne par récurrence noethérienne sur X. Si X est
de dimension 0, alors la t-structure perverse est la t-structure canonique, donc le résultat est déjà
connu.
On suppose que dim X > 0. Soient K, L ∈ Pervh (X). Il s’agit de montrer que le
morphisme injectif Hom(K, L) −→ Hom(η ∗ K, η ∗ L) est surjectif et que le morphisme
Ext1 (K, L) −→ Ext1 (η ∗ K, η ∗ L) est injectif. On raisonne par récurrence sur la longueur de
K et de L.
4. Pour l’existence de cette t-structure, cf. le point (iv) du théorème 6.3 de [11].
4
Supposons que K et L sont simples. Alors η ∗ K et η ∗ L sont aussi simples et ont les mêmes
supports que K et L. On note Y1 le support de K, Y2 le support de L, Y = Y1 ∩ Y2 , i : Y −→ X
et j : X − Y −→ X les inclusions. On a un triangle distingué
+1
R Hom(i∗ K, i! L) −→ R Hom(K, L) −→ R Hom(j ∗ K, j ∗ L) −→ .
Sur X − Y , j ∗ K et j ∗ L sont des faisceaux pervers de supports disjoints, donc
R Hom(j ∗ K, j ∗ L) = 0. On en déduit que Extk (K, L) = Extk (i∗ K, i! L) pour tout k. On montre
de même le résultat similaire pour η ∗ K et η ∗ L.
On suppose d’abord que Y1 n’est pas contenu dans Y2 . Alors Y est un fermé propre de Y1 ,
donc i∗ K et i∗ η ∗ K sont concentrés en degrés pervers ≤ −1. Comme i! L et i! η ∗ L sont concentrés
en degrés pervers ≥ 0, on trouve
Hom(K, L) = Hom(η ∗ K, η ∗ L) = 0,
Ext1 (K, L) = Hom(p H−1 i∗ K, p H0 i! L)
et
Ext1 (η ∗ K, η ∗ L) = Hom(p H−1 i∗ η ∗ K, p H0 i! η ∗ L).
La conclusion résulte donc de l’hypothèse de récurrence, appliquée aux faisceaux pervers
p −1 ∗
H i K et p H0 i! L sur Y .
Si Y2 n’est pas contenu dans Y1 , alors i∗ K et i∗ η ∗ K sont concentrés en degrés pervers ≤ 0, et
i! L et i! η ∗ L sont concentrés en degrés pervers ≥ 1. On conclut de la même façon.
On suppose finalement que Y1 = Y2 . Alors i∗ K et i! L sont pervers, et on peut supposer que
X = Y . Soient j : Z −→ X une immersion ouverte, avec Z connexe et lisse sur E, et L , L 0
des faisceaux lisses simples horizontaux sur z tels que K = j!∗ (L [d]) et L = j!∗ L 0 [d], où
d = dim Y . On a alors η ∗ K = j!∗ (η ∗ L )[d] et η ∗ L = j!∗ (η ∗ L 0 [d]). On note i l’inclusion du
complémentaire du Z. On a comme plus haut un triangle distingué
+1
R Hom(i∗ K, i! L) −→ R Hom(K, L) −→ R Hom(j ∗ K, j ∗ L) −→ .
Comme i∗ K (resp. i! L) est concentré en degrés pervers ≤ −1 (resp. ≥ 1), on en déduit que
Hom(K, L) = Hom(j ∗ K, j ∗ L) = Hom(L , L 0 )
et
Ext1 (K, L) ⊂ Ext1 (j ∗ K, j ∗ L) = Ext1 (L , L 0 ).
De même pour η ∗ K et η ∗ L. La conclusion résulte donc de la proposition 2.3 et du lemme 2.4.
Supposons maintenant qu’il existe une suite exacte 0 −→ K1 −→ K −→ K2 −→ 0 dans
Pervh (X) telle que le résultat soit connu pour les paires (K1 , L) et (K2 , L), et montrons-le pour
5
(K, L). On a un diagramme commutatif à colonnes exactes :
0
0
/
∼
Hom(K1 , L)
Hom(η ∗ K2 , η ∗ L)

Hom(K, L) Ext1 (K, L) /
∼
Hom(K2 , L)
Hom(η ∗ K, η ∗ L)
/
Hom(η ∗ K1 , η ∗ L)

/
Ext1 (η ∗ K2 , η ∗ L)
/
Ext1 (K, L)
Ext1 (K1 , L) 2

Ext1 (η ∗ K, η ∗ L)
/
/
Ext1 (η ∗ K1 , η ∗ L)
Ext (K, L)
2
∗
Ext (η K, η ∗ L)
La conclusion résulte du lemme des cinq.
On traite de même le cas où est extension de deux faisceaux pervers L1 et L2 tels que le résultat
soit connu pour (K, L1 ) et (K, L2 ).
Il reste à définir les complexes mixtes. Notons que, si A ∈ U , alors les corps résiduels des
points fermés de Spec A sont finis (car A est une Z-algèbre de type fini). Toutes les constructions
de la section 3 de [13] marchent donc toujours dans le cas considéré ici.
Par exemple, si X est un schéma sur E et K ∈ Pervh (X), on dit que K est pur de poids w
s’il existe (A, X ) ∈ U X et un complexe K ∈ Dcb (X , Q` ) tel que K soit l’image inverse de
K sur X et que, pour tout point fermé u de Spec A, K|Xu soit pervers et pur de poids w (au
sens de la section 5 de [5]). 5 On dit qu’un objet de Pervh (X) est mixte de poids ≤ w (resp.
≥ w) s’il est extension successive d’objets purs de poids w0 ≤ w (resp. w0 ≥ w), et on dit que
5. Si (A, X ) ∈ U X et K ∈ Dcb (X , Q` ) est tel que son image dans Dhb (XE , Q` ) soit perverse, alors, quitte à
remplacer A par A0 ⊃ A, on peut supposer que K|Xu est pervers pour tout point (fermé ou non) u de Spec A.
6
K ∈ Dhb (X, Q` ) est mixte de poids ≤ w (resp. ≥ w) si p Hi K est mixte de poids ≤ w + i (resp.
≥ w + i) pour tout i ∈ Z.
b
On note Dm
(X, Q` ) la sous-catégorie pleine de Dhb (X, Q` ) des complexes mixtes, et
Pervm (X) ⊂ Pervh (X) son coeur pour la t-structure perverse ; c’est une sous-catégorie
abélienne pleine de Perv(X).
Toutes les compatibilités entre les poids et les 6 opérations (et les foncteurs j!∗ ) de la section
5 de [5] restent vraies, et se prouvent comme dans [13] en utilisant [5] et le théorème de changement de base générique de Deligne (SGA 4 1/2 [Th. finitude] 1.9). Il est aussi toujours vrai qu’il
n’existe pas de morphismes non nuls entre faisceaux pervers horizontaux de poids différents.
Rappelons la définition de la filtration par le poids.
Définition 2.6 Soit K ∈ Pervh (X), et soit W• une filtration finie croissante exhaustive sur K
(en tant qu’objet de Pervh (X)). On dit que W• est une filtration par le poids sur K si GrW
k est
pur de poids k pour tout k ∈ Z.
Si K admet une filtration par le poids, alors K est mixte. De plus, un faisceau pervers horizontal admet au plus une filtration par le poids.
3 Théorème principal
Dans cette section, E est un corps quelconque, et X désigne toujours un schéma séparé de
type fini sur E.
Le but est de montrer que, si l’on choisit convenablement les sous-catégories abéliennes
pleines M (X) de Perv(X), alors les 4 opérations sur Db (Perv(X)) ' Dcb (X, Q` ) 6 se relèvent
aux catégories dérivées Db (M (X)).
Notons que le théorème principal s’applique en particulier aux catégories M (X) = Pervh (X)
et M (X) = Pervm (X) de la section 2 (si E est de type fini sur son corps premier), donc
on obtient des relèvements des 4 opérations aux catégories Db Pervh (X) et Db Pervm (X). On
verra deux autres choix possibles de catégories M (X) dans les sections 6 et 7.
Remarque 3.1 Ce résultat est essentiellement une version affaiblie des résultats de M. Saito
dans [18], et la preuve que nous présentons est à peu près la même (et inspirée de l’article [3]
de Beilinson). Il a paru utile de redonner la preuve, car les hypothèses plus fortes que dans [18]
permettent de beaucoup simplifier les preuves de cet article.
Noter que, contrairement à Saito, on ne suppose pas pour l’instant l’existence d’une filtration
par le poids sur les objets de M (X) (mais on le fera dans les applications), et surtout on ne
suppose pas que les objets purs dans M (X) sont semi-simples.
6. cf. l’article [3] de Beilinson
7
Théorème 3.2 Supposons donnée, pour tout X, une sous-catégorie abélienne pleine M (X) de
Perv(X), contenant Q` [d] si X est lisse et purement de dimension d, stable par dualité et par
twists à la Tate, et supposons que ces catégories vérifient les conditions suivantes :
(a) Pour toute immersion fermée i : X −→ Y , i∗ induit une équivalence de M (X) avec la
sous-catégorie pleine de M (Y ) des faisceaux pervers dont le support est contenu dans X.
(b) Pour tout morphisme étale f : X −→ Y , f ∗ envoie M (Y ) dans M (X).
(c) Pour tout morphisme affine f : X −→ Y et tout k ∈ Z, p H k f∗ envoie M (X) dans M (Y ).
(d) Pour tous X et Y , pour tous K ∈ M (X) et L ∈ M (Y ), le produit tensoriel externe
K L est dans M (X × Y ).
Notons η
: Db (M (X)) −→ Dcb (X, Q` ) le composé du foncteur évident
∼
b
D (M (X)) −→ Db (Perv(X)) et du foncteur réalisation Db (Perv(X)) −→ Dcb (X, Q` )
de [5] 3.1.10. 7
Alors :
(i) Le foncteur exact D : M (X) −→ M (X) se prolonge en un foncteur t-exact
DM : Db M (X) −→ Db M (X) muni d’un isomorphisme fonctoriel canonique
η ◦ DM ' D ◦ η.
(ii) Le foncteur exact : M (X) × M (Y ) −→ M (X × Y ) se prolonge en un foncteur
t-exact M : Db (M (X)) × Db (M (Y )) −→ Db (M (X × Y )) muni d’un isomorphisme
fonctoriel canonique η ◦ M ' M ◦ (η, η).
(iii) Pour tout morphisme f
:
X
−→
Y , il existe des foncteurs
f!M , f∗M : Db (M (X)) −→ Db (M (X)) et un morphisme fonctoriel f!M −→ f∗M ,
munis d’isomorphismes fonctoriels η ◦ f!M ' f! ◦ η, η ◦ f∗M ' f∗ ◦ η qui font commuter le
diagramme évident. Ces foncteurs se composent de la manière habituelle, et le morphisme
f!M −→ f∗M est un isomorphisme si f est propre. Si f est affine, alors f∗M (resp. f!M ) est le
foncteur dérivé à gauche (resp. à droite) de la restriction de p H 0 f∗ (resp. p H 0 f! ) à M (X).
∗
(iv) Pour tout f : X −→ Y , f∗M (resp. f!M ) admet un adjoint à gauche (resp. à droite) fM
!
∗
!
(resp. fM
). On a des isomorphismes fonctoriels η ◦ fM
' f ∗ ◦ η et η ◦ fM
' f ! ◦ η. Si f
∗
!
∗
est étale, alors fM
= fM
, et fM
est le foncteur induit par la restriction de f ∗ à M (Y ).
On va prouver le théorème en plusieurs étapes. Déjà, les points (i) et (ii) sont clairs (cf [3]
A.7.1). On remarque aussi que, pour prouver (iv) (en supposant (iii) déjà connu), il suffit de
montrer que les foncteurs f∗M et f!M de (iii) ont des adjoints du bon côté, toutes les autres propriétés énoncées dans (iv) résultant des propriétés des foncteurs adjoints (et, pour les dernières,
du fait que f ∗ est exact et isomorphe à f ! pour f étale).
Dans les lemmes suivants, on suppose que les hypothèses du théorème sont vérifiées.
Lemme 3.3 Le point (iii) du théorème est vrai (existence des relèvements des foncteurs f∗M et
f!M .)
7. Le foncteur η n’est ni plein ni fidèle. Cependant, η est t-exact, donc on a p H k ◦ η = H k pour tout k ∈ Z, donc
η est conservatif (c’est-à-dire qu’un morphisme u de Db M (X) est un isomorphisme si et seulement si η(u) est un
isomorphisme, ou de manière équivalente qu’un objet K de Db M (X) est nul si et seulement si η(K) est nul).
8
Démonstration. D’après les hypothèses (b) et (c), si j est une immersion ouverte, alors j ∗
préserve les catégories M (X), et si de plus j est affine, alors les foncteurs t-exacts j! et j∗
préservent aussi les catégories M (X). Ceci montre que l’analogue du lemme 3.3 de [3] est vrai
pour les catégories M (X), puisque sa preuve s’applique. (Plus précisément, on obtient l’énoncé
suivant : Soient f : X −→ Y un morphisme, ji : Ui −→ X une famille finie d’immersions
ouvertes affines et K ∈ M (X). Alors il existe un morphisme surjectif L −→ K dans M (X)
tel que, pour tout i et tout k 6= 0, p H k (f ji )∗ L = 0. La preuve consiste à trouver un plongement
ouvert affine j : U −→ X tel que L = j! j ∗ K vérifie la propriété souhaitée, et elle marche aussi
dans notre cas car le foncteur j! j ∗ envoie M (X) dans M (X).)
Une fois que l’on a ce lemme, on construit f∗M et f!M comme dans [3] 3.4, et les propriétés de
(iii) sont claires.
Lemme 3.4 Soit i : Y −→ X une immersion fermée. Alors il existe un foncteur
∗
b
b
M ∗
iM
∗ iM : D M (X) −→ D M (X) et un morphisme fonctoriel id −→ i∗ iM relevant le foncteur
i∗ i∗ : Dcb (X, Q` ) −→ Dcb (X, Q` ) et le morphisme d’adjonction id −→ i∗ i∗ . De plus, pour tous
∗
K ∈ M (Y ) et L ∈ M (X), le morphisme id −→ iM
∗ iM induit un isomorphisme
M
M ∗
HomDb M (X) (iM
∗ K, L) ' HomDb M (X) (i∗ K, i∗ iM L).
b
∗
En particulier, sous les hypothèses du lemme ci-dessus, le foncteur iM
∗ iM envoie D M (X)
dans la sous-catégorie pleine DYb M (X) des complexes dont tous les objets de cohomologie sont
à support dans Y , donc les foncteurs p H k i∗ , k ∈ Z, envoient M (X) dans M (Y ).
Démonstration. Voici l’idée dans le cas où i est l’immersion fermée complémentaire d’une im∗
mersion ouverte affine j : U −→ X. Pour K ∈ M (X), on définit iM
∗ iM K comme l’image dans
Db (M (X)) du complexe j! j ∗ K −→ K, où K est placé en degré 0 ; on a un morphisme foncto∗
riel évident K −→ iM
∗ iM K. Il est clair que ce foncteur et ce morphisme fonctoriel vérifient les
propriétés de l’énoncé.
Traitons maintenant le cas général. On note comme avant j : U −→ X l’immersion ouverte
complémentaire de X, mais on ne suppose plus j affine. Soit (ji : Ui −→ U )i∈I un recouvrement
ouvert
affine fini de U . Pour tout J ⊂ I non vide, on note jJ : UJ −→ U l’immersion de l’ouvert
T
i∈J Ui . Comme X est séparé, tous les UJ sont affines, donc les jJ sont des immersions ouvertes
affines. On note aussi n le cardinal de I.
Soit K ∈ M (X). Alors on a une suite exacte
0 −→ Ln −→ . . . −→ L1 −→ j ∗ K −→ 0,
avec
Lk =
M
jJ! jJ∗ j ∗ K ∈ M (X),
J⊂I,|J|=k
9
et cette suite exacte est fonctorielle en K. On remarque aussi que j! Lk est pervers pour tout k
(car les jjJ sont affines), et qu’il est donc dans M (X). On obtient donc un complexe
C(K) = (j! Ln −→ . . . −→ j! L1 −→ K)
dans M (X), avec K placé en degré 0, qui est fonctoriel en K et muni d’un morphisme évident
K −→ C(K) (où on voit K comme un complexe concentré en degré 0), et dont l’image dans
b
∗
Dcb (X, Q` ) est i∗ i∗ K. On prend pour iM
∗ iM K l’image de C(K) dans D (M (X)).
Pour montrer le dernier isomorphisme, on peut supposer que K et L sont concentrés en degré
M ∗
∗
0 (c’est-à-dire pervers). Alors iM
∗ L = i∗ L est aussi pervers, et i∗ iM K et i K sont concentrés
∗
p 0 ∗
en degré ≤ 0. De plus, H 0 iM
∗ iM K = i∗ H i K, et on voit facilement que le morphisme
∗
M
M
HomDb M (X) (i∗ K, L) −→ HomDb M (X) (i∗ K, iM
∗ iM L) est égal au composé
HomDb M (X) (K, i∗ L) = HomM (X) (K, i∗ L) =
'
=
=
HomPerv(X) (K, i∗ L)
HomPerv(X) (i∗ p H 0 K, i∗ L)
∗
HomM (X) (H 0 iM
∗ iM K, i∗ L)
∗
HomDb M (X) (iM
∗ iM K, L).
Remarque 3.5 Soit f : X −→ Y un morphisme. Si par hasard il existe d ∈ Z tel que f ∗ [d] soit
t-exact et envoie M (Y ) dans M (X), alors la restriction à M (Y ) de f ∗ [d] induit un foncteur
t-exact Db M (Y ) −→ Db M (X), qui est un adjoint à gauche de f∗M [d]. Donc f∗M a aussi un
adjoint à gauche.
4 Les cycles proches et les cycles évanescents
unipotents
On se donne toujours des catégories M (X) vérifient les conditions du théorème 3.2.
L’objet de cette section est de montrer que la construction, due à Beilinson et Bernstein, des
foncteurs des cycles proches unipotents et des cycles évanescents unipotents, s’applique aux
catégories M (X), et en particulier respecte les catégories M (X). (Nous aurons besoin des
cycles évanescents pour finir de montrer que le foncteur iM
∗ admet un adjoint à gauche si i est
une immersion fermée.)
Cette construction a été introduite dans l’article [2] de Beilinson, mais on suivra les notes [17]
de Reich (voir aussi la section 5 de [18]). Ces notes sont écrites dans le cas d’un corps de base
algébriquement clos, mais s’appliquent aussi au cas d’un corps de base quelconque, à condition
de rajouter des twists à la Tate aux bons endroits (que nous indiquerons).
Soient X un schéma séparé de type fini sur E, purement de dimension d, et f un morphisme
de X dans A1E . On note Y = f −1 (0), U = X − Y , i : Y −→ X et j : U −→ X les inclusions.
10
La construction des cycles proches unipotents utilise le produit tensoriel par certains systèmes
locaux indécomposables Li sur U provenant de systèmes locaux sur Gm,E . Pour pouvoir l’appliquer ici, il faut montrer que ces produits tensoriels sont dans M (U ). On commence par rappeler
la définition des Li .
(p)
b (p) , où p est la
On choisit une clôture algébrique E de E et un générateur de π1 (Gm,E ) ' Z
(p)
b (p) induite par la section unité
caractéristique de E. L’action de Gal(E/E) sur π1 (Gm,E ) ' Z
de Gm,E est la multiplication par le caractère cyclotomique χ.
Pour tout entier i ≥ 0, on note Li le système local de rang i + 1 sur Gm,E donné par l’action
i+1
b (p) agit par id + A, où A ∈ GLi+1 (Z) est
suivante de π1 (Gm,E ) sur Q` : le générateur 1 de Z
le bloc de Jordan (nilpotent) triangulaire supérieur de taille i + 1, et σ ∈ Gal(E/E) agit par la
matrice diagonale de coefficients diagonaux 1, χ(σ)−1 , . . . , χ(σ)−i . On pose Li = f ∗ Li . Alors
Li est un système local indécomposable sur U . Si E est de type fini sur son sous-corps premier,
Li est horizontal, mixte de poids 0, 2, . . . , 2i, et admet une filtration par le poids. Si i < j, on a
une injection évidente Li −→ Lj et une surjection évidente Lj −→ Li (i − j).
Le lemme suivant est dû à M. Saito (cf [18] 5.1).
Lemme 4.1 Pour tout K ∈ M (X), le faisceau pervers K ⊗ Li est dans M (X).
Démonstration. Le lemme est bien entendu évident pour i = 0, puisque L0 = Q`,X .
Il suffit de prouver que les Li [1] sont dans M (Gm,E ). En effet, soit u : X −→ X × Gm,E le
morphisme (idX , f ). Alors, pour tout K ∈ M (X), K ⊗ Li = p H −1 u∗ (K Li [1]), donc K ⊗ Li
est dans M (X).
Montrons donc que les Li [1] sont dans M (Gm,E ). On suit la preuve du lemme 5.1 de [18].
Soient π : Gm,E × Gm,E −→ Gm,E la deuxième projection, i1 : Gm,E −→ Gm,E × Gm,E le
morphisme diagonal et i2 : Gm,E −→ Gm,E × Gm,E le morphisme x 7−→ (1, x).
Comme π est lisse de dimension relative 1, le foncteur π ∗ [1] est t-exact. De plus, le foncteur
π ∗ [1] : Pervm (Gm,E ) −→ Pervm (Gm,E × Gm,E ) est simplement K 7−→ Q` [1] K, donc il
∗
envoie M (Gm,E ) dans M (Gm,E × Gm,E ), et on dispose donc du foncteur πM
(cf la remarque
M ∗
M M ∗
∗
3.5). Pour a ∈ {1, 2}, on note ua le morphisme π∗ πM Q` [1] −→ π∗ ia∗ ia,M πM
Q` [1] ' Q` [1],
M ∗
où la première flèche vient du morphisme id −→ ia∗ ia,M (cf le lemme 3.4) et la deuxième flèche
∗
Q` [1] −→ Q` [1] ⊕ Q` [1]
de l’égalité πia = id. Alors le cône du morphisme u1 ⊕ u2 : π∗M πM
est concentré en degré pervers 0, et il est isomorphe à L1 [1]. Ceci prouve que L1 [1] est dans
M (Gm,E ).
Pour obtenir Li , on veut utiliser le fait que Li = Symi L1 . Comme Symi L1 est un facteur
direct de la puissance tensorielle ⊗i L1 , il suffit de montrer que ⊗i L1 [1] est dans M (Gm,E ). On
fixe i ≥ 1. Soit δ : Gm,E −→ Gim,E le morphisme diagonal ; c’est une immersion fermée. Alors
⊗i L1 [1] = p H 1−i δ ∗ (L1 [1] · · · L1 [1]), donc on a gagné.
11
On peut maintenant appliquer les constructions des sections 2 et 3 de [17], qui n’utilisent, à
part les produits tensoriels par les Li , que les foncteurs j! et j∗ , des twists à la Tate, des noyaux
et des conoyaux.
On obtient :
(a) Un foncteur exact Ψuf : M (U ) −→ M (Y ) (le foncteur des cycles proches modérés unipotents), muni d’un morphisme fonctoriel nilpotent N : Ψuf −→ Ψuf (−1) (la monodromie)
et d’un isomorphisme fonctoriel Ψuf ◦ D ' D ◦ Ψuf (1). On notera aussi Ψuf le foncteur
Ψuf ◦ j ∗ : M (X) −→ M (Y ).
(b) Un foncteur exact Ξf : M (U ) −→ M (X) (le foncteur “extension maximale” de Beilinson), muni lui aussi d’un morphisme fonctoriel nilpotent N : Ξf −→ Ξf (−1), et des suites
exactes fonctorielles
0 −→ Ψuf −→ Ξf −→ j∗ −→ 0
et
0 −→ j! −→ Ξf −→ Ψuf (−1) −→ 0.
(c) Un foncteur exact Φuf : M (X) −→ M (Y ) (le foncteur cycles évanescents unipotent),
muni d’un morphisme fonctoriel nilpotent N : Φuf −→ Φuf (−1) et d’un isomorphisme
fonctoriel Φuf ◦ D ' D ◦ Φuf .
(d) Des morphismes fonctoriels can : Ψuf −→ Φuf et var : Φuf −→ Ψuf (−1) tels que
var ◦ can = N et can ◦ var = N , et des suites exactes fonctorielles
can
0 −→ p H −1 i∗ −→ Ψuf −→ Φuf −→ p H 0 i∗ −→ 0
et
var
0 −→ p H 0 i! −→ Φuf −→ Ψuf (−1) −→ p H 1 i! −→ 0.
En composant la première suite exacte avec le foncteur i∗ , on obtient un isomorphisme
∼
fonctoriel Φuf i∗ −→ i∗ i∗ ' idM (Y ) . En composant la deuxième suite exacte avec j∗ , on
∼
obtient un isomorphisme fonctoriel Φuf j∗ −→ Ψuf (−1).
Remarque 4.2 Pour K ∈ Perv(U ), Ψuf (K) est le facteur direct du complexe des cycles proches
de K où la monodromie agit de manière unipotente (cf. [17] 2.2). Noter qu’on a décalé de −1
le foncteur cycles proches de SGA 7 XIII afin qu’il respecte les catégories de faisceaux pervers
(de même pour les cycles évanescents). On pourrait récupérer les foncteurs cycles proches et
évanescents complets à partir de Ψuf et Φuf (cf la remarque en bas de la page 47 de [2]), mais nous
n’en aurons pas besoin ici.
5 Fin de la démonstration du théorème principal
Dans cette section, on finit la démonstration du théorème principal 3.2. Les hypothèses et
notations sont donc celles de ce théorème.
Le lemme suivant est le théorème 5.6 de [18].
12
Lemme 5.1 Soit i : Y −→ X une immersion fermée. Comme dans le lemme 3.4, notons
DYb M (X) la sous-catégorie pleine de Db M (X) qui a pour objets les complexes dont la cohomologie est à support dans Y .
: Db M (Y ) −→ Db M (X) induit une équivalence de catégories
Alors le foncteur iM
∗
∼
Db M (Y ) −→ DYb M (X).
Démonstration. On dispose de la t-structure naturelle sur Db M (X). Considérons sa restriction à DYb M (X). C’est aussi une t-structure, et, d’après l’hypothèse (a) du théorème 3.2, son
coeur s’identifie à M (Y ) via le foncteur i∗ : M (Y ) −→ M (X). Via cette identification, le
b
b
foncteur iM
∗ : D M (Y ) −→ DY M (X) n’est autre que le foncteur réalisation de [5] 3.1.10.
D’après [5] 3.1.16, la conclusion du lemme est donc équivalente à la propriété suivante : pour
tous K, L ∈ M (Y ), tout entier n > 0 et tout morphisme f ∈ HomDb M (X) (i∗ K, i∗ L[n]), il
existe un monomorphisme L −→ L0 dans M (Y ) qui efface f (i.e., tel que l’image de f dans
HomDb M (X) (i∗ K, i∗ L0 [n]) soit 0).
Soit j : U −→ X l’immersion ouverte complémentaire de i. Supposons que l’on connaı̂t le
résultat dans le cas où X est affine, et montrons le cas général. Soit (jk : Uk −→ X)k∈I un
recouvrement ouvert affine de X. Pour tout k, on note ik : Y ∩ Uk −→ Uk et ak : Y ∩ Uk −→ Y
les immersions (qui sont affines, la première parce qu’elle est fermée et la deuxième parce que
Uk est affine). Soient K, L
L ∈ M (Y ), n > 0 un entier et f ∈ HomDb M (X) (i∗ K, i∗ L[n]). On a un
monomorphisme L −→ k ak∗ a∗k L, d’où un morphisme
M
i∗ ak∗ a∗k L[n])
HomDb M (X) (i∗ K, i∗ L[n]) −→ HomDb M (X) (i∗ K,
k∈I
M
HomDb M (Uk ) (ik∗ a∗k K, ik∗ a∗k L[n]).
=
k∈I
On note (fk )k∈I l’image par f de ce morphisme. D’après l’hypothèse qu’on vient de faire, pour
tout k ∈ I, il existeLun monomorphisme a∗k L −→ Lk dans M (Y ∩ Uk ) qui efface fk . Alors le
morphisme L −→ k ak∗ Lk est un monomorphisme, et il efface f .
On peut donc supposer que X est affine. Alors Y est définit par l’annulation d’un nombre fini
de fonctions X −→ A1E . On raisonne par récurrence sur le nombre de fonctions nécessaires pour
définir Y .
Supposons d’abord qu’il existe f : X −→ A1E telle que Y = f −1 (0). Dans ce cas, le foncteur
exact Φuf : M (X) −→ M (Y ), étendu de manière évidente à Db M (X), induit un quasi-inverse
b
b
de iM
∗ : D M (Y ) −→ DY M (X).
Supposons maintenant que Y est défini par l’annulation de n fonctions f1 , . . . , fn : X −→ A1E ,
avec n ≥ 2. On pose Y 0 = f1−1 (0), et on note i1 : Y −→ Y 0 et i2 : Y 0 −→ X les immersions.
Soient K, L ∈ M (Y ), n > 0 un entier et f ∈ HomDb M (X) (i∗ K, i∗ L[n]). D’après l’hypothèse de
b
0
b
récurrence, iM
2∗ induit une équivalence de catégories D M (Y ) −→ DY 0 M (X), donc on a
HomDb M (X) (i∗ K, i∗ L[n]) = HomDb M (Y 0 ) (i1∗ K, i1∗ L[n]).
13
Toujours d’après l’hypothèse de récurrence (appliquée cette fois à i1 : Y −→ Y 0 ), il existe un
monomorphisme L −→ L0 dans M (Y ) tel que l’image de f dans HomDb M (Y 0 ) (i1∗ K, i1∗ L0 [n])
soit nulle. Comme
HomDb M (Y 0 ) (i1∗ K, i1∗ L0 [n]) = HomDb M (X) (i∗ K, i∗ L0 [n]),
ceci finit la preuve.
Lemme 5.2 Soit i
:
Y
−→
X une immersion fermée. Alors le foncteur
b
b
M
i∗ : D M (Y ) −→ D M (X) admet un adjoint à gauche.
Démonstration. Ceci résulte du lemme 5.1 ci-dessus et du lemme 3.4.
!
∗
et fM
Pour finir de prouver le théorème principal, il faut montrer l’existence des foncteurs fM
∗
pour f quelconque. En fait, grâce à la dualité, il suffit de traiter le cas de fM
. On veut utiliser la
même méthode que Saito dans la section 3 de [18] : On écrit f = gi, où g est une projection et i
une immersion fermée. Le cas de i est connu par le lemme ci-dessus, donc il reste à traiter celui de
g. Si g est, disons, la deuxième projection X × Y −→ Y , alors on veut poser g ∗ K = Q`,X K.
Le seul problème est qu’on ne dispose pas a priori de l’objet Q`,X dans Db M (X). Toute la
difficulté consiste donc à construire un tel objet (ayant les bonnes propriétés). Le lemme suivant
finit la preuve du théorème principal.
Lemme 5.3 Soit a : X −→ Spec E un schéma séparé de type fini sur E. Alors le foncteur
de Db M (X) dans la catégorie des ensembles défini par K 7−→ HomDb M (Spec E) (Q` , aM
∗ K)
M
M
est représentable par un objet Q`,X ∈ Db M (X) et un morphisme ϕX : Q` −→ aM
∗ Q`,X . De
b
plus, les images de cet objet et de ce morphisme par η sont Q`,X ∈ Dc (X, Q` ) et le morphisme
d’adjonction Q` −→ a∗ Q`,X .
Démonstration. Supposons d’abord que X est lisse purement de dimension d. Alors, par hyM
M
pothèse, Q`,X [d] ∈ M (X), et on prend Q`,X = (Q`,X [d])[−d]. Le complexe aM
∗ Q`,X est
concentré en degré ≥ 0 (puisque son image par η l’est), donc
M
M
0 M
HomDb M (Spec E) (Q` , aM
∗ Q`,X ) = HomM (Spec E) (Q` , H a∗ Q`,X )
= HomPervm (Spec E) (Q` , p H 0 a∗ Q`,X )
= HomDcb (Spec E) (Q` , a∗ Q`,X ),
et on prend pour ϕX le morphisme correspondant au morphisme d’adjonction par ces identifications.
14
Supposons maintenant que X est affine. Alors il existe une immersion fermée i : X −→ AdE .
On note π : AdE −→ Spec E la projection évidente, qui est lisse de dimension relative d. On
M
M
M
M
M M ∗
pose Q`,X = i∗M Q`,Y , et on prend pour ϕX : Q` −→ aM
∗ Q`,X = π∗ i∗ iM Q`,Y le composé de
M
M
M
∗
ϕY : Q` −→ π∗M Q`,Y et du morphisme d’adjonction π∗M Q`,Y −→ π∗M iM
∗ iM Q`,Y .
Dans le cas général, on raisonne par récurrence sur le nombre d’ouverts affines nécessaires
pour recouvrir X. On se ramène ainsi au cas où il existe deux ouverts U1 et U2 de X tels que
X = U1 ∪ U2 et que la conclusion du lemme soit connue pour U1 , U2 et U1 ∩ U2 (en fait, le cas de
U1 ∩ U2 résulte de celui de U1 , puisque l’on sait former les images inverses par des immersions
ouvertes). On note j1 : U1 −→ X, j2 : U2 −→ X, j12 : U12 := U1 ∩ U2 −→ X, k1 : U12 −→ U1
et k2 : U12 −→ U2 les immersions.
M
On va définir Q`,X comme l’unique objet de Db M (X) dont la restriction à U1 (resp. U2 ) est
M
M
Q`,U1 (resp. Q`,U2 ).
M
M
M
M
M
On note donc Q`,X un cône du morphisme f : j12!
Q`,U12 −→ j1!M Q`,U1 ⊕ j2!M Q`,U2 , où f
M
est la différence des morphismes d’adjonction (noter que Q`,U12 est canoniquement isomorphe à
M
M
∗
∗
∗
∗
Q`,U1 et à k2,M
Q`,U2 ). En appliquant les foncteurs j1,M
k1,M
et j2,M
au triangle distingué
M
M
M
M
M
Q`,U12 −→ j1!M Q`,U1 ⊕ j2!M Q`,U2 −→ Q`,X −→,
j12!
M
M
∼
+1
M
M
∼
∗
∗
on obtient des isomorphismes évidents u1 : Q`,U1 −→ j1,M
Q`,X et u2 : Q`,U2 −→ j2,M
Q`,X .
M
∼
∗
Montrons le fait suivant : Soit K ∈ Db M (X) munis d’isomorphismes vi : Q`,Ui −→ ji,M
K
M
∼
∗
pour i = 1, 2, tels que les deux isomorphismes Q`,U12 −→ j12,M
K induits par v1 et v2 soient
M
∗
égaux. Alors il existe un unique morphisme w : Q`,X −→ K tel que j1,M
w = v1 u−1
et
1
−1
∗
j2,M w = v2 u2 , et w est un isomorphisme.
Le fait que w soit un isomorphisme s’il existe étant clair, montrons l’existence de w. Les
M
∗
isomorphismes v1 et v2 induisent par adjonction des morphismes ji!M ji,M
Q`,Ui −→ K pour
M
M
∗
∗
Q`,U1 ⊕ j2!M j2,M
Q`,U2 −→ K la somme de ces morphismes.
i = 1, 2, et on note g : j1!M j1,M
M
Alors f g = 0 d’après l’hypothèse de compatibilité sur v1 et v2 , donc il existe w : Q`,X −→ K
qui fait commuter le diagramme évident, et il est facile de vérifier que w se restreint bien aux
−1
morphismes v1 u−1
1 et v2 u2 sur U1 et U2 .
En particulier, le fait ci-dessus montre que le cône de f est unique à isomorphisme unique
près.
M
M
M
M
M
M
Q`,U1 ⊕ j2∗
Q`,U2 −→ j12∗
Q`,U12 ,
On considère maintenant le cône C du morphisme h : j1∗
où h est la différence des morphismes d’adjonction. Alors C[−1] vérifie les conditions du fait
M
ci-dessus, donc on a un isomorphisme canonique C[−1] ' Q`,X , d’où un triangle distingué
M
M
M
M
M
M
M
aM
∗ Q`,X −→ (aj1 )∗ Q`,U1 ⊕ (aj2 )∗ Q`,U2 −→ (aj12 )∗ Q`,U12 −→ .
15
+1
M
M
M
M
Comme de plus aM
∗ h◦(uU1 ⊕uU2 ) = 0, la flèche uU1 ⊕uU2 : Q` −→ (aj1 )∗ Q`,U1 ⊕(aj2 )∗ Q`,U2
se factorise par une flèche uX
:
Q`
−→
M
M
aM
∗ Q`,X . Cette flèche uX est uni-
quement déterminée, puisque, (aj12 )M
∗ Q`,U12 étant concentré en degré >
M
HomDb M (Spec E) (Q` , (aj12 )M
∗ Q`,U12 )
0, on a
= 0.
Pour montrer que uX vérifie bien la propriété du lemme, on utilise le triangle distingué fonctoriel
+1
M ∗
M ∗
M ∗
aM
∗ −→ (aj1 )∗ j1,M ⊕ (aj2 )∗ j2,M −→ (aj12 )∗ j12,M −→
(où la première flèche est la somme des flèches d’adjonction et la deuxième flèche la différence
des flèches d’adjonction) et le lemme des cinq.
6 Faisceaux pervers mixtes avec filtration par le poids
On présente ici une première possibilité pour les catégories M (X). On suppose à nouveau
que E est de type fini sur son sous-corps premier.
Proposition 6.1 Pour tout schéma séparé de type fini X sur E, on prend pour M (X) la souscatégorie pleine de Perv(X) formée des faisceaux pervers horizontaux admettant une filtration
par le poids. Alors ces catégories vérifient les conditions du théorème 3.2.
Démonstration. La stabilité par dualité est claire, ainsi que les conditions (a), (b) et (d).
D’après [13] 3.9, si f : X −→ Y est un morphisme propre, alors les P H k f∗ envoient M (X)
dans M (Y ). (Huber suppose que f est propre et lisse et que le corps de base est un corps de
nombres, mais la preuve de sa proposition 3.9 n’utilise que le fait que f∗ envoie un complexe pur
sur un complexe pur du même poids, et cela est vrai dès que f est propre.)
Soit f : X −→ Y un morphisme affine. On peut écrire f comme un composé
i
X −→ AnY −→ Y , où le premier morphisme est une immersion fermée et le deuxième est
le morphisme évident. Soient j l’immersion ouverte de AnY dans PnY et π le morphisme évident
de PnY dans Y . Alors f = πji. Comme j est affine, ji l’est aussi, donc le foncteur (ji)∗ est
t-exact, et on a p H k f∗ = p H k π∗ ◦ (ji)∗ pour tout k. D’après la remarque ci-dessus sur les morphismes propres, il suffit de montrer que (ji)∗ envoie M (X) dans M (PnY ). Comme i est une
immersion fermée, i∗ préserve les poids, donc il est évident que i∗ envoie M (X) dans M (AnY ).
Finalement, on s’est donc ramené au cas où f est une immersion ouverte affine.
Soit j : U −→ X une immersion ouverte affine. On note Y le complémentaire de U dans
e −→ X l’éclaté de Y dans X et e
e l’inclusion de U dans X.
e Alors
X, π : X
j : U −→ X
e
j est l’inclusion du complémentaire d’un diviseur de Cartier, donc en particulier affine, et e
j∗
16
est t-exact. Comme j∗ = π∗e
j∗ et π est propre, on est donc ramené au cas où j est l’inclusion
du complémentaire d’un diviseur de Cartier. D’après le lemme 6.4 ci-dessous, on peut même
supposer que j est l’inclusion du complémentaire d’un diviseur défini par une équation globale.
Dans ce cas, la proposition résulte du corollaire 6.3 ci-dessous.
Proposition 6.2 Soient X un schéma séparé de type fini sur E et f un morphisme de X dans
A1E . On note Y = f −1 (0) et U = X − Y . Alors le foncteur des cycles proches unipotents Ψuf
envoie M (U ) dans M (Y ).
Démonstration. Soit K ∈ M (U ) pur de poids w. D’après le théorème 5.1.2 de [4] (dû à Gabber),
la filtration de monodromie M induite par N : Ψuf (U ) −→ Ψuf (U )(−1) est telle que GriM Ψuf (U )
est pur de poids w − 1 + i pour tout i. La proposition résulte donc du lemme 6.5, appliqué au
foncteur exact Ψuf et à N .
Corollaire 6.3 Avec les hypothèses et notations de la proposition ci-dessus, soit j : U −→ X
l’inclusion. Alors j! et j∗ envoient M (U ) dans M (X).
Démonstration. Il suffit de prouver le corollaire pour j∗ , le cas de j! s’en déduisant par dualité.
Soit K ∈ M (U ), et soit W sa filtration par le poids. Soit a ∈ Z. Il s’agit de trouver un
sous-objet L de j∗ K tel que L soit de poids ≤ a et j∗ K/L soit de poids > a.
Si Wa K = 0, alors j∗ K est de poids > a, donc on peut prendre L = 0.
Si Wa K = K, alors K est de poids ≤ a, donc j!∗ K est de poids ≤ a ([5], 5.4.3). Il suffit
donc de trouver un sous-objet L0 de poids ≤ a de j∗ K/j!∗ K tel que (j∗ K/j!∗ K)/L0 soit de poids
> a. Or j∗ K/j!∗ K = i∗ p H 0 i∗ j∗ K est un quotient de i∗ Ψuf K(−1). Comme Ψuf K(−1) admet une
filtration par le poids d’après la proposition ci-dessus, il en est de même de j∗ K/j!∗ K.
Supposons donc que 0 6= Wa K 6= K. On note K 0 = Wa K et K 00 = K/Wa K. D’après le
deuxième cas, il existe L0 ⊂ j∗ K 0 de poids ≤ a et tel que j∗ K 0 /L0 soit de poids > a. Comme on
a une suite exacte 0 −→ j∗ K 0 −→ j∗ K −→ j∗ K 00 −→ 0 et que j∗ K 00 est de poids > a, on peut
prendre L = L0 .
Lemme 6.4 Soient X un schéma séparé de type fini sur E et K ∈ Pervm (X). Alors K ∈ M (X)
si et seulement s’il existe un recouvrement étale (ui : Ui −→ X)i∈I de X tel que u∗i ∈ M (Ui )
pour tout i ∈ I.
17
Démonstration. La direction “seulement si” est évidente. L’autre direction résulte de l’unicité de
la filtration par le poids (lorsqu’elle existe) et du fait que les faisceaux pervers forment un champ
(cf [5] 2.2.19).
Lemme 6.5 Soient X et Y des schémas séparés de type fini sur E, G un foncteur exact de
Pervm (X) dans Pervm (Y ) et N un endomorphisme fonctoriel nilpotent de G dans G(−1). On
suppose qu’il existe a ∈ Z tel que, si K est pur de poids w et si M est la filtration de monodromie
de NK (cf [10] 1.6.1), alors GriM G(K) est pur de poids w + a + i pour tout i ∈ Z. (On suppose
donc en particulier que G(K) a une filtration par le poids.)
Soit K dans Pervm (X) admettant une filtration par le poids (Wi K)i∈Z . On définit une filtration
croissante F sur G(K) par Fi G(K) = F (Wi K). Alors la filtration de monodromie M de NK
relativement à F (cf [10] 6.1.13) existe, et GriM G(K) est pur de poids a + i pour tout i ∈ Z. En
particulier, G(K) a une filtration par le poids.
Démonstration. On raisonne par récurrence sur la longueur de la filtration W . Soit b ∈ Z tel que
Wb K = K et GrbW K 6= 0. Grâce à l’hypothèse de récurrence et à l’hypothèse (b) ci-dessus,
on peut suppose que la conclusion du lemme est vraie pour Wb−1 K et GrbW K. Pour alléger les
notations, on supposera dans la suite que a = b = 0 ; cela ne change pas le raisonnement. On
note L = G(K) et N = NK : L −→ L(−1).
Grâce au théorème 2.20 de l’article [19] de Steenbrink-Zucker, la filtration de monodromie
relative sur L existe si et seulement si, pour tout i ≥ 1,
N i (L) ∩ F−1 L(−i) ⊂ N i (F−1 L) + M−i−1 F−1 L(−i).
Ceci
revient
à
dire
que
le
morphisme
évident
du
conoyau
de
N i : F−1 L −→ F−1 L/M−i−1 F−1 L(−i) dans le conoyau de N i : L −→ L/M−i−1 F−1 L(−i) est
injectif. Ceci résulte du lemme du serpent, appliqué au diagramme commutatif à lignes exactes
suivant :
0
/
/
F−1 L
Ni
L
Ni
/
Gr0F L
Ni
/
0
0 / (F−1 L/M−i−1 F−1 L)(−i) / (L/M−i−1 F−1 L)(−i) / Gr0F L(−i) / 0
En effet, le noyau du troisième morphisme vertical est de poids ≤ i − 1 et le conoyau du premier
morphisme vertical est de poids > −i − 1 + 2i = i − 1, donc il n’existe pas de morphismes non
nuls entre ces deux objets.
18
7 Faisceaux pervers d’origine géométrique
Voici une deuxième possibilité pour les catégories M (X). On ne fait plus d’hypothèse sur le
corps E.
Pour tout schéma X sur E, on note DM(X) la catégorie triangulée des motifs mixtes sur X,
DMc (X) la sous-catégorie des objets compacts de DM(X), et real : DMc (X) −→ Dcb (X, Q` )
le foncteur réalisation. Rappelons que l’on dispose du formalisme des 6 opérations de Grothendieck et des foncteurs cycles proches sur les catégories DMc (X), de manière compatible aux
réalisations.
Tout ceci est prouvé dans l’article [1] de Ayoub. On peut aussi trouver une construction des
6 opérations dans l’article [8] de Cisinski et Déglise, et une construction de la réalisation étale
`-adique dans les articles [14] et [15] de Ivorra.
Proposition 7.1 Pour tout schéma séparé de type fini X sur E, on prend pour M (X) la souscatégorie pleine de Perv(X) formée des faisceaux pervers qui sont des sous-quotients de faisceaux pervers de la forme p H k real(M ), avec M ∈ DMc (X). Alors ces catégories vérifient les
conditions du théorème 3.2.
Démonstration. La stabilité par dualité (resp. twists à la Tate) résulte de l’existence d’une dualité
D sur DMc (X) (resp. de twists à la Tate) vérifiant D ◦ real ' real ◦ D (resp. la condition
analogue). Les conditions (a) et (b), ainsi que la condition (c) dans le cas où f est une immersion
ouverte affine, résultent de la t-exactitude des foncteurs qui y apparaissent (ainsi bien sûr que de
l’existence des 4 opérations pour les catégories de motifs, de manière compatible aux foncteurs
réalisation). Pour la condition (d) : si X, Y sont des schémas, M ∈ DMc (X), N ∈ DMc (Y )
et k, l ∈ Z, alors p H k real(M ) p H l real(N ) est un facteur direct de p H k+l real(M N ), donc
c’est un objet de M (X × Y ), ainsi que tous ses sous-quotients.
Il reste donc à montrer la propriété (c) pour un morphisme affine f : X −→ Y quelconque.
Il suffit de montrer le fait suivant : pour tout K ∈ M (X), il existe une injection ouverte affine
j : U −→ X telle que le morphisme d’adjonction j! j ∗ K −→ K soit surjectif, que j! j ∗ K soit
f∗ -acyclique et que p H 0 f∗ j! j ∗ K ∈ M (Y ). En effet, ce fait permettra, pour tout K ∈ M (X), de
construire une résolution 0 −→ K1 −→ . . . −→ Kn −→ K −→ 0 par des objets f∗ -acycliques
et dont l’image par p H 0 f∗ est dans M (Y ). L’objet f∗ K de Dcb (Y, Q` ) sera alors représenté par le
complexe p H 0 f∗ K1 −→ . . . −→ p H 0 f∗ Kn , dont la cohomologie est évidemment dans M (Y ).
Soit dans K ∈ M (X). On fixe un objet M de DMc (X), un entier relatif r, un sous-objet L0
de L := p H r real(M ) et une surjection L0 −→ K. On note L00 = L/L0 et L000 = Ker(L0 −→ K).
D’après le lemme ci-dessous, il existe une immersion ouverte affine j : U −→ X telle que
le morphisme d’adjonction j! j ∗ K −→ K soit surjectif et que les objets j! j ∗ K, j! j ∗ L0 , j! j ∗ L00 ,
j! j ∗ L000 et tous les j! j ∗p H s real(M ), s ∈ Z, soient f∗ -acycliques (noter que p H s real(M ) = 0
pour presque tout s). On a alors une surjection j! j ∗ K −→ K avec j! j ∗ K f∗ -acyclique, il suffit
19
de montrer que p H 0 f∗ j! j ∗ K est dans M (Y ). Grâce aux suites exactes
0 −→ p H 0 f∗ j! j ∗ L000 −→ p H 0 f∗ j! j ∗ L0 −→ p H 0 f∗ j! j ∗ K −→ 0,
et
0 −→ p H 0 f∗ j! j ∗ L0 −→ p H 0 f∗ j! j ∗ L −→ p H 0 f∗ j! j ∗ L00 −→ 0,
on voit qu’il suffit de montrer que p H 0 f∗ j! j ∗ L est dans M (Y ). Comme
j! j ∗p H s real(M ) = p H s real(j! j ∗ M ) est f∗ -acyclique pour tout s ∈ Z, on a
p 0
H f∗ j! j ∗ L = p H r real(f∗ j! j ∗ M ), donc ce faisceau est bien dans M (Y ).
Lemme 7.2 Soient f : X −→ Y un morphisme affine et K1 , . . . , Kn des faisceaux pervers sur
X. Alors il existe une immersion ouverte affine j : U −→ X telle que, pour tout r ∈ {1, . . . , n},
(i) le morphisme d’adjonction j! j ∗ Kr −→ Kr est surjectif ;
(ii) le faisceaux pervers j! j ∗ Kr est f∗ -acyclique, c’est-à-dire que p H k f∗ j! j ∗ Kr = 0 si k 6= 0.
Démonstration. Cela résulte du lemme 3.3 de [3], appliqué au faisceau pervers K1 ⊕ · · · ⊕ Kn .
Si E est de type fini sur son sous-corps premier, alors ces catégories sont des sous-catégories de
celles définies dans la section précédente. Cela résulte des travaux de Bondarko sur les structures
de poids (voir la section 7.4 de [6] et la section 3.4 de [7] ; voir aussi l’article [12] de Hébert).
Proposition 7.3 On suppose que E est de type fini sur son sous-corps premier. Pour tout X et
tout K ∈ M (X), le faisceau pervers K est horizontal et admet une filtration par le poids.
Démonstration. Il suffit de montrer le résultat pour K de la forme p Hk real(M ), M ∈ DMc (X).
Dans ce cas, la structure de poids de Bondarko sur DMc (X) induit une filtration W• sur K
p k
telle que GrW
k soit un quotient (et un sous-objet) d’un H real(M ), avec M dans le coeur de la
structure de poids (cf. la proposition 3.3.1 de [7]).
Il suffit donc de montrer que, si M ∈ DMc (X) est un motif de Chow relatif constructible sur
X (i.e. dans le coeur de la structure de poids sur DMc (X)), alors p Hk real(M ) est un faisceau
pervers pur de poids k pour tout k ∈ Z.
D’après le théorème 2.1.1 de l’article [7] de Bondarko ou le théorème 3.3(ii) de l’article [12]
de Hébert, la catégorie des motifs de Chow relatifs constructibles sur X est l’enveloppe pseudoabélienne de la sous-catégorie pleine de DMc (X) dont les objets sont les sommes directes finies
de motifs de la forme f! 11Y (a)[2a], avec f : Y −→ X un morphisme projectif à domaine régulier
et a ∈ Z.
20
On peut donc supposer que M est de cette forme. Alors p Hk real(M ) = p Hk−2a f! Q`,Y (a), qui
est clairement pur de poids k.
8 Applications
8.1 Filtration par le poids sur les complexes
On suppose que E est de type fini sur son sous-corps premier.
Pour tout schéma séparé de type fini X sur E, on fixe une sous-catégorie abélienne pleine
M (X) de Perv(X) telle que tout objet de M (X) soit horizontal mixte et admette une filtration
par le poids. Pour tout a ∈ Z ∪ {±∞}, on note w D≤a (X), ou w D≤a s’il n’y a pas d’ambiguı̈té
sur X (resp. w D≥a (X) ou w D≥a ), la sous-catégorie pleine de Db M (X) dont les objets sont les
K ∈ Ob Db M (X) tels que, pour tout i ∈ Z, Hi K soit de poids ≤ a (resp. ≥ a). Les catégories
w ≤a
D (X) et w D≥a (X) sont des sous-catégories triangulées de Db M (X).
Proposition 8.1.1 Pour tout a ∈ Z∪{±∞}, (w D≤a , w D≥a+1 ) est une t-structure sur Db M (X).
On note w≤a et w≥a+1 les foncteurs de troncature pour cette t-structure. Ils étendent les foncteurs exacts sur M (X) donnés par K 7−→ Wa K et K 7−→ K/Wa K, où W est la filtration par
le poids.
Démonstration. Les preuves des lemmes 3.2.1 et 3.2.2 de [16] s’appliquent sans modifications
une fois qu’on a le lemme ci-dessous.
Lemme 8.1.2 Soient K, L ∈ Ob M (X). On suppose qu’il existe a ∈ Z tel que K soit de poids
≤ a et L de poids ≥ a + 1. Alors, pour tout i ∈ Z,
ExtiM (X) (K, L) = 0.
Remarque 8.1.3 Ce lemme est une conséquence du lemme 6.9 de [18]. Cependant, la preuve de
Saito utilise la semi-simplicité des objets purs de M (X), et nous n’avons pas fait cette hypothèse
(car elle n’est pas vérifiée dans les cas qui nous intéressent).
Démonstration. Il est évident que ExtiM (X) (K, L) = 0 si i < 0, et on a HomM (X) (K, L) = 0
d’après la remarque entre 3.6 et 3.7 de [13].
On note W la filtration par le poids sur les objets de M (X).
21
Soit donc i ∈ N∗ . Soit α ∈ ExtiM (X) (K, L). On choisit une suite exacte
ui−1
u
u
u
i
1
0
0 −→ L −→
Mi−1 −→ . . . −→
M0 −→
K −→ 0
qui représente α (cf [20] III 3.2). Comme les filtrations par le poids sont strictement compatibles
aux morphismes (lemme 3.8 de [13]), on a une suite exacte
0 = Wa L −→ Wa Mi−1 −→ . . . −→ Wa M0 −→ Wa K = K −→ 0,
d’où un morphisme de suites exactes
0
/
0
/
/
L
/
MO i
L
(id,0)
L ⊕ Wa Mi (0,u
...
/ M0
O
...
/ Wa M0
can
(u,can)
/
/
Mi−1
O
/
i−1 )
Wa Mi−1
/
K
/
0
/
K
/
0
can
/
(can sont les inclusions canoniques). Donc α est aussi représenté par la deuxième ligne, et par
conséquent α = 0.
Corollaire 8.1.4 On suppose de plus que les catégories M (X) vérifient les conditions du
théorème 3.2 (par exemple, on peut prendre les catégories considérées dans la section 6). Alors
les résultats des sections 3 et 5.1 de [16] sont encore vrais dans ce cadre. En particulier, si
j : U −→ X est l’inclusion d’un ouvert non vide et K ∈ Ob M (U ) est pur de poids a, alors les
flèches canoniques
w≥a j! K −→ j!∗ K −→ w≤a j∗ K
sont des isomorphismes.
Démonstration. Les preuves de [16] s’appliquent sans modification.
8.2 Filtrations sur les cycles proches des faisceaux d’origine
géométrique
On ne fait plus d’hypothèses sur le corps de base E.
On utilise à nouveau les notations de la section 7, et on abrège souvent
Hk real : DMc (X) −→ Perv(X) en p Hk . Si M ∈ DMc (X) et K = p Hk M , on note
W• K la filtration sur K induite par la structure de poids à la Bondarko sur DMc (X). On note
p
22
Chowc (X) le coeur de cette structure de poids, i.e. la catégorie des motifs de Chow relatifs
constructibles sur X. 8
Le fait suivant est une conséquence directe de la construction par Ayoub des foncteurs cycles
proches et évanescents au niveau des motifs (cf. la section 10 de [1]).
Fait 8.2.1 Soit f ∈ O(X), et soit K ∈ Perv(X) un faisceau pervers dans l’image de p Hi real.
Alors Ψf K et Φf K sont aussi dans l’image de p Hi real.
Dans la situation du fait, on notera aussi Ψf et Φf pour les foncteurs entre les catégories DMc .
La proposition suivante est alors essentiellement une conséquence de la preuve des conjectures
de Weil par Deligne et des techniques du chapitre 6 de [5].
Proposition 8.2.2 (i) Soit u : M −→ M 0 un morphisme de DMc (X), et soit i ∈ Z. Alors le
morphisme p Hi u : p Hi M −→ p Hi M 0 est strictement compatible aux filtrations W• .
(ii) Soit f ∈ O(X), M ∈ DMc (X) et i ∈ Z. Alors la filtration de monodromie
sur Ψf p Hi M (resp. Φf p Hi M ) relative à la filtration induite par W• p Hi M existe, et elle
coı̈ncide avec la filtration W•−1 (resp. W• ), où W• est la filtration provenant de l’isomorphisme Ψf p Hi M = p Hi Ψf M (resp. Φf p Hi M = p Hi Φf M ). De plus, le morphisme
can : Ψf p Hi M −→ Φf p Hi M (resp. var : Φf p Hi M −→ Ψf p Hi M (−1)) est strictement
compatible aux filtrations M• et M•−1 (resp. M•−1 (−1)).
(iii) Soient π : X −→ Y un morphisme propre, f ∈ O(Y ), M ∈ Chowc (X) et i, j ∈ Z. On
note K = p Hi M . Alors les deux filtrations suivantes sur Ψf p Hj π∗ K ' p Hj π∗ Ψf ◦π K (resp.
Φf p Hj π∗ K ' p Hj π∗ Φf ◦π K) coı̈ncident :
– la filtration de monodromie ;
– l’image par p Hj π∗ de la filtration de monodromie sur Ψf ◦π K (resp. Φf ◦π K), i.e. la filtration F• définie par
Fk = Im(p Hj π∗ Mk Ψf K −→ p Hj π∗ Ψf K) = Ker(p Hj π∗ Ψf K −→ p Hj π∗ (Ψf K/Mk Ψf K))
(resp. . . .).
(iv) Soit π : X −→ Y un morphisme propre, et soit j ∈ Z. Pour tout faisceau pervers filtré
(K, W• K) sur X, on définit un faisceau pervers filtré p Hj π∗ (K, W• K) = (L, W• L) sur Y
de la manière suivante :
– L = p H j π∗ K ;
– pour tout i ∈ Z,
Wi+j L = Im(p Hj π∗ Wi K −→ p Hj π∗ K) = Ker(p Hj π∗ K −→ p Hj π∗ (K/Wi K)).
Ceci définit un foncteur p Hj π∗ de la catégorie des faisceaux pervers filtrés sur X dans la
catégorie des faisceaux pervers filtrés sur Y . Soient M ∈ DMc (X), i ∈ Z et f ∈ O(Y ). On
note K = p Hi M . Alors :
8. Cf. la fin de la section 7 pour plus d’explications et des références.
23
(a) Pour tout morphisme u : M
−→ M 0 de DMc (X), le morphisme
p j
H π∗ p Hi u : p Hj π∗ K −→ p Hj π∗ p Hi M 0 est strictement compatible aux filtrations.
p j
(b) Les deux filtrations suivantes sur Ψf p Hj π∗ K
'
H π∗ Ψf ◦π K (resp.
p j
p j
Φf H π∗ K ' H π∗ Φf ◦π K) existent et coı̈ncident :
– la filtration de monodromie relative à la filtration Ψf W• (resp. Φf W• ) ;
– l’image par p Hj π∗ de la filtration de monodromie sur Ψf ◦π K (resp. Φf ◦π K) relative à
la filtration Ψf ◦π W• (resp. Φf ◦π W• ).
(L’image d’une filtration par p Hj π∗ est définie comme
(iii).)
Ldans
p i
H
M
[−i], et chaque p Hi M est
(v) Soit M ∈ Chowc (X) et i ∈ Z. Alors real(M ) '
i
géométriquement semi-simple. Si de plus π : X −→ Y est projectif, alors, pour tout i ∈ Z,
M
p j
π∗ p Hi M '
H π∗ p Hi M [−j].
j
Démonstration.
(i) D’après [5] 6.1, on peut trouver un corps F ⊂ E de type fini sur son sous-corps premier,
un schéma Y sur E 0 et un morphisme v : N −→ N 0 dans DMc (Y ) tels que les données de
l’énoncé proviennent de ces objets par changement de base de F à E. Mais alors p Hi N et
p i 0
H N sont dans Pervh (X), et W• p Hi N et W• p Hi N 0 ne sont autres que les filtrations par
le poids, donc le morphisme p Hi N −→ p Hi N 0 est forcément strictement compatible à ces
filtrations.
(ii) Comme dans (i), on se ramène (par [5] 6.1) à prouver l’énoncé lorsque le corps de base
est de type fini sur son sous-corps premier. Alors l’existence des filtrations de monodromie
relatives sur Ψf p Hi M et Φf p Hi M , et le fait qu’elles coı̈ncident (modulo décalage pour la
première) avec les filtrations par le poids, résulte du lemme 6.5. La dernière assertion résulte
du fait que can et var sont strictement compatibles aux filtrations par le poids.
(iii) Comme dans (i), on se ramène (par [5] 6.1) à prouver l’énoncé lorsque le corps de base
est de type fini sur son sous-corps premier. Alors les deux filtrations coı̈ncident car elles
sont toutes les deux égales (à décalage près) à la filtration par le poids.
(iv) C’est la même astuce que dans (iii) (que (iv) généralise) : une fois que l’on se ramène
à un corps de base qui est de type fini sur son sous-corps premier, toutes les filtrations qui
apparaissent dans l’énoncé sont des filtrations par le poids.
(v) Comme avant, on peut supposer que E est de type fini sur son sous-corps premier. D’après la description de Chowc (X) dans le théorème 2.1.1 de [7], on peut
supposer que M = f! 11Y (a)[2a], avec f : Y −→ X projectif, Y lisse sur E et
a ∈ Z. Alors real(M ) = f∗ Q`,Y (a)[2a]. Grâce au théorème de Lefschetz difficile
relatif pour les faisceaux pervers purs (théorème 5.4.10 de [5]), on peut appliquer le
critère de Deligne
[9], théorème 1.5), qui donne un isomorphisme (non canonique)
L p (cf
i
real(M ) '
H
real(M
)[−i]. Le fait que chaque p Hi real(M ) soit géométriquement
i
semi-simple résulte de [5] 5.4.6.
La dernière phrase se prouve de la même façon ([5] 5.4.10 puis [9]).
24
Références
[1] Joseph Ayoub. La réalisation étale et les opérations de grothendieck, 2011.
[2] A. A. Beı̆linson. How to glue perverse sheaves. In K-theory, arithmetic and geometry
(Moscow, 1984–1986), volume 1289 of Lecture Notes in Math., pages 42–51. Springer,
Berlin, 1987.
[3] A. A. Beı̆linson. On the derived category of perverse sheaves. In K-theory, arithmetic and
geometry (Moscow, 1984–1986), volume 1289 of Lecture Notes in Math., pages 27–41.
Springer, Berlin, 1987.
[4] A. A. Beı̆linson and J. Bernstein. A proof of Jantzen conjectures. In I. M. Gel0 fand Seminar,
volume 16 of Adv. Soviet Math., pages 1–50. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993.
[5] A. A. Beı̆linson, J. Bernstein, and P. Deligne. Faisceaux pervers. In Analysis and topology
on singular spaces, I (Luminy, 1981), volume 100 of Astérisque, pages 5–171. Soc. Math.
France, Paris, 1982.
[6] M. V. Bondarko. Differential graded motives : weight complex, weight filtrations and
spectral sequences for realizations ; Voevodsky versus Hanamura. J. Inst. Math. Jussieu,
8(1) :39–97, 2009.
[7] M. V. Bondarko. Weights for relative motives ; relation with mixed sheaves, 2011.
[8] Frédéric Cisinski, Denis-Charles et Déglise. Triangulated categories of mixed motives,
2009.
[9] P. Deligne. Théorème de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectrales. Inst.
Hautes Études Sci. Publ. Math., (35) :259–278, 1968.
[10] Pierre Deligne. La conjecture de Weil. II. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., (52) :137–
252, 1980.
[11] Torsten Ekedahl. On the adic formalism. In The Grothendieck Festschrift, Vol. II, volume 87
of Progr. Math., pages 197–218. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990.
[12] David Hébert. Structure de poids à la Bondarko sur les motifs de Beilinson. Compos.
Math., 147(5) :1447–1462, 2011.
[13] Annette Huber. Mixed perverse sheaves for schemes over number fields. Compositio Math.,
108(1) :107–121, 1997.
[14] Florian Ivorra. Réalisation l-adique des motifs triangulés géométriques. I. Doc. Math.,
12 :607–671, 2007.
[15] Florian Ivorra. Réalisation `-adique des motifs triangulés géométriques. II. Math. Z.,
265(1) :221–247, 2010.
[16] Sophie Morel. Complexes pondérés sur les compactifications de Baily-Borel : le cas des
variétés de Siegel. J. Amer. Math. Soc., 21(1) :23–61 (electronic), 2008.
[17] Ryan Reich. Notes on Beilinson’s “How to glue perverse sheaves” [0923134]. J. Singul.,
1 :94–115, 2010.
25
[18] Morihiko Saito. On the formalism of mixed sheaves, 1991.
[19] Joseph Steenbrink and Steven Zucker. Variation of mixed Hodge structure. I. Invent. Math.,
80(3) :489–542, 1985.
[20] Jean-Louis Verdier. Des catégories dérivées des catégories abéliennes. Astérisque,
(239) :xii+253 pp. (1997), 1996. With a preface by Luc Illusie, Edited and with a note
by Georges Maltsiniotis.
26