COURS DE GÉOMÉTRIE ARITHMÉTIQUE Lucien SZPIRO I – Le

COURS DE G´ EOM´ ETRIE ARITHM´ ETIQUE
Lucien SZPIRO
I – Le groupe de Picard
1 – Produit tensoriel et localisation.
2 – Sch´emas et sch´emas projectifs.
3 – Modules projectifs.
4 – Modules inversibles.
5 – Faisceaux inversibles sur les sch´emas.
II – Anneaux de dimension un
0 – Anneaux noeth´eriens de dimension z´ero.
1 – Anneaux principaux.
2 – El´ements entiers.
3 – Extensions alg´ebriques de corps.
4 – Corps de nombres, ordre d’un corps de nombres, anneaux d’entiers alg´ebriques.
5 – Anneaux de valuation discr`ete, anneaux de Dedekind.
6 – L’application cycle.
7 – L’application Div(A) →Pic(A).
8 – Points rationnels d’un sch´ema projectif sur un anneau de Dedekind.
III – Le groupe de Picard compactifi´e d’un ordre
d’un corps de nombres
1 – Espaces vectoriels de dimension un sur C.
2 – Le groupe de Picard compactifi´e.
3 – La norme d’un id´eal.
4 – La norme d’un ´el´ement, formule du produit.
5 – La d´efinition locale du degr´e sur Picc(A).
6 – Volume, d´efinition globale du degr´e.
7 – Sections d’un module inversible compactifi´e, th´eor`eme de Riemann-Roch.
IV – Discriminant, diff´erente, conducteur
V – Les th´eor`emes classiques de la th´eorie
des nombres alg´ebriques
1 – Trois lemmes techniques.
2 – Finitude de Pic(A) et simple connexit´e de Spec Z.
3 – Le th´eor`eme des unit´es de Dirichlet.
4 – Extensions `a ramification donn´ee.
VI – Hauteur des points rationnels d’un sch´ema
sur un corps de nombres
1 – Fibr´es inversibles m´etris´es sur un sch´ema sur C.
2 – Mod`eles entiers des sch´emas sur un corps.

II – Anneaux de dimension un
La dimension d’un anneau est le maximum des chaˆınes d’id´eaux premiers contenus
l’un dans l’autre. Par exemple Zest un anneau de dimension un.
Nous explicitons dans ce chapitre les anneaux fondamentaux de la g´eom´etrie arithm´e-
tique en dimension un : les anneaux d’entiers alg´ebriques et les anneaux de fonctions
alg´ebriques sur une courbe affine.
0 – Anneaux noeth´eriens de dimension z´ero.
Pour faciliter l’´etude des anneaux de dimension un nous ´etablissons d’abord quelques
faits en dimension 0.
REMARQUE 0.1. — Soit Aun anneau int`egre de dimension un et soit fun ´el´ement
non nul de A, alors A/fA est de dimension z´ero. En effet les seuls id´eaux premiers de A
sont (0) et les id´eaux maximaux.
REMARQUE 0.2. — Soit Aun anneau et soit Mun A-module simple (i.e. un A-
module non nul qui ne contient pas de sous-A-module propre), alors il existe un id´eal
maximal mde Atel que M'A/m. En effet si xest non nul dans M,xengendre Msur
Adonc M'A/I pour un id´eal I···
PROPOSITION 0.3 (th´eor`eme de Jordan-H¨older). — Soient Aun anneau et Mun A-
module. Soient (0) = M0⊂M1⊂ ··· ⊂ Mn−1⊂Mn=Met (0) = M0
0⊂M0 1⊂
··· ⊂ M0
0=Mdeux filtrations finies de Mtelles que les quotients successifs Mi+1/Miet
M0
j+1/M0 jsoient des A-modules simples. Alors n=q. De plus, il existe une permutation
σde {1,2, . . . , n}telle que Mi/Mi−1'M0
σ(i)/M0 σ(i)−1.
Une filtration finie (0) = M0⊂M1⊂M2⊂ ··· ⊂ Mn=Mest dite de longueur
n. Nous allons montrer par r´ecurrence sur nqu’on a q≤n. Les rˆoles de qet n´etant
les mˆemes on aura ainsi la premi`ere partie de l’´enonc´e. Soit rle plus petit entier tel que
M0
r⊃M1. On a la filtration suivante dont au plus un des quotients successifs est nul, les
autres ´etant simples :
(0) = M0
0⊂M0 1⊂ ··· ⊂ M0 r−1⊂M0 r/M1⊂M0 r+1/M1⊂ ··· ⊂ M0 q/M1=M/M1.
Le module M/M1ayant une filtration `a quotients successifs simples, de longueur n−1,
par r´ecurrence on a q≤n−1 ou q−1≤n−1 en tout cas q≤n.
Il nous reste `a montrer qu’`a l’ordre pr`es les quotients successifs sont les mˆemes. Soit
mun id´eal maximal de A, si Mest un A-module poss´edant une filtration comme dans
l’´enonc´e, Mmest un Am-module de longueur finie. En fait la filtration (0) = M0⊂ ··· ⊂
Mi⊂ ··· ⊂ Mn=Mtensoris´ee par Amdonne une filtration de Mm(I 1.7 b)). Les
quotients successifs sont nuls s’ils sont isomorphes `a A/m0o`u m0est un id´eal maximal
diff´erent de m. Les quotients successifs isomorphes `a A/m=Am/mAmrestent inchang´es.
Appliquant la premi`ere partie de l’´enonc´e au Am-module Mm, la deuxi`eme partie de
l’´enonc´e est prouv´ee.
La proposition 0.3 justifie la d´efinition suivante.

D´ EFINITION 0.4. — Soient Aun anneau et Mun A-module. On dit que Mest de
longueur n s’il poss`ede une filtration finie de longueur ndont les quotients successifs
sont simples.
COROLLAIRE 0.5. — Sur la cat´egorie des A-modules de longueur finie – la longuer – est
une fonction additive. Un module est de longueur nulle si et seulement si il est lui-mˆeme
nul.
Les modules de longueur finie ont des propri´et´es bien sp´eciales, nous en montrons
quelques-unes ci-dessous.
COROLLAIRE 0.6. — Soit Mun module de longueur finie sur un anneau A. Soient
m1, . . . , mrl’ensemble fini d’id´eaux maximaux de Atels que Mmi6= 0. Alors l’application
canonique :
M→
r
Y
i=1
Mmi
est un isomorphisme.
Ces deux modules sont de longueur finie comme A-modules car (A/mi)mi=A/miet
(A/mi)mj= 0 pour j6=i. Par le corollaire 0.5 il nous suffit de montrer que l’application
consid´er´ee est injective. Ce dernier point est clair car si xn’est pas nul xa une image
non nulle dans au moins un localis´e Mmipar I 1.7 e).
COROLLAIRE 0.7. — Soit Aun anneau de longueur finie alors Pic(A) = 0.
Soit Lun A-module inversible, si mest un id´eal maximal de A,Lmest isomorphe `a
Am(I 3.9). Donc on a par 0.6
L'YLm'YAm'A .
Remarquons que toute suite d´ecroissante de sous-A-modules d’un A-module de
longueur finie est stationnaire en vertu de 0.5. Cette propri´et´e s’´etudie pour elle-mˆeme.
D´ EFINITION 0.8. — Soient Aun anneau et Mun A-module, on dit que Mest un A-
module artinien si toute famille non vide de sous-A-modules de Mposs`ede un ´el´ement
minimal pour l’inclusion. Si Alui-mˆeme est un A-module artinien on dit que Aest un
anneau artinien.
Par le lemme de Zorn, Mest artinien si et seulement si toute chaˆıne d´ecroissante de
sous-A-modules est stationnaire.
Exemple 0.9 : Soient Aun anneau local mson id´eal maximal. Supposons que msoit
un A-module de type fini. Alors, pour tout entier n, l’anneau A/mnest artinien. En effet
les mi/mn+1 i≤n−1 donnent une filtration de A/mndont les quotient successifs sont
des espaces vectoriels de dimension finie sur A/m.

Exercice 0.10 : Soit 0 →M0→M→M00 →0 une suite exacte de A-modules.
Montrer que Mest artinien si et seulement si M0et M00 le sont. V´erifier le mˆeme ´enonc´e
o`u “artinien” est remplac´e par “de longueur finie”.
LEMME 0.11. — Soit Aun anneau noeth´erien et soit Mun A-module. Alors il existe
un ´el´ement xnon nul de Mtel que son annulateur soit un id´eal premier de A.
Soit Iun id´eal maximal parmi ceux qui sont des annulateurs d’´el´ements non nuls de
M. Alors I6=Asinon l’´el´ement qu’il annule serait nul. Montrons que Iest premier. Si a
et bsont dans A,abx = 0 et ax 6= 0 alors b∈ann(bx)⊃I, donc b∈I.
COROLLAIRE 0.12. — Soient Aun anneau noeth´erien et Mun A-module de type fini.
Alors Mposs`ede une filtration finie 0 = M0⊂M1⊂ ··· ⊂ Mn=Mtelle que Mi+1/Mi
soit isomorphe `a A/pio`u piest un id´eal premier de A.
Puisque Mest noeth´erien, choisissons M0un sous-A-module maximal parmi ceux
ayant une filtration telle que celle de l’´enonc´e. Le lemme 0.11 appliqu´e `a M/M0montre
que M=M0.
PROPOSITION 0.13. — Soit Aun anneau. Les propositions suivantes sont ´equivalentes :
(i) Aest un anneau noeth´erien de dimension z´ero
(ii) Aest de longueur finie
(iii) Aest un anneau artinien.
Il est clair que (ii) implique (i) et que (ii) implique (iii).
Sous les hypoth`eses de 0.13 (i) les id´eaux premiers de Asont maximaux, et par 0.12
Aest de longueur finie. Nous avons donc montr´e que (i) implique (ii).
Exercice 0.14 : Montrer que 0.13 (iii) implique 0.13 (ii)
PROPOSITION 0.15. — Soit Aun anneau noeth´erien de dimension 1. Alors si fest
un ´el´ement de Anon contenu dans les id´eaux premiers pde Atels que dim A/p= 1 le
groupe Pic(A/fA)est nul.
Par le corollaire 0.7 et la proposition 0.13 il nous suffit de montrer que dim A/fA = 0.
C’est clair par l’hypoth`ese sur les id´eaux premiers contenant f.
Exemple 0.16 : Soit Aun anneau noeth´erien int`egre de dimension un et soit fun
´el´ement non nul de Aalors, Pic(A/fA) = 0.
Exercice 0.17 : Soit Aun anneau noeth´erien et soit pun id´eal premier minimal de
A.
a) Montrer que Apest artinien.
b) Montrer que dans une filtration de Acomme celle consid´er´ee en 0.12, il existe
toujours un quotient Mi+1/Miqui soit isomorphe `a A/p.
c) Montrer qu’il existe un ´el´ement xde Atel que annulateur(x) = p. (On pourra
par exemple utiliser 0.14 dans Ap).

d) Montrer que l’ensemble des id´eaux premiers minimaux de A est fini.
1 – Anneaux principaux.
Un anneau est dit principal s’il est int`egre et si tout id´eal est principal. Dans un
anneau principal tout ´el´ement irr´eductible non inversible – i.e. non trivialement divisible
– engendre un id´eal premier.
Exercice 1.1 : D´emontrer que Zet k[X] (kun corps) sont des anneaux principaux. On
notera les rˆoles similaires tenus par la “valeur absolue” et le “degr´e”.
La proposition 1.2 qui suit est classique et se trouve dans tous les livres d’alg`ebre.
PROPOSITION 1.2 (th´eor`eme des diviseurs ´el´ementaires). — Soit Aun anneau principal.
Soit Mun A-module libre de rang net soit M0un sous A-module de M. Alors il existe
une base e1, . . . , ende M, des ´el´ements aide Atels que aidivise ai+1, tels que M0soit
libre, que la suite des (aiei)qui sont non nuls forment une base de M0.
D´ EFINITION 1.3. — Soit Aun anneau int`egre, un A-module Mest dit sans torsion
si un ´el´ement non nul de Mn’est annul´e que par z´ero.
Exemples 1.4 :
a) Un sous-module d’un A-module sans torsion est sans torsion.
b) Si Mest un A-module alors M∨est sans torsion car contenu dans A(I).
LEMME 1.5. — Soit Aun anneau int`egre et noeth´erien et soit Mun A-module de type
fini sans torsion, alors l’homomorphisme canonique M→M∨∨ est injectif.
On a le diagramme commutatif suivant :
M−→ M⊗K↓↓ M∨∨ −→ M∨∨ ⊗K
o`u toutes les fl`eches sont naturelles. Dire que Mest sans torsion c’est exactement dire
que M→M⊗Kest injectif. L’anneau A´etant noeth´erien M∨et M∨∨ sont de type fini
quand Ml’est, il est alors clair que
M⊗K→M∨∨ ⊗K
est un isomorphisme car (M∨∨⊗K) est isomorphe `a (M⊗K)∨∨ (exercice). On en d´eduit
que M→M∨∨ est injectif.
Note 1.6. Quand An’est pas int`egre on prend le lemme 1.5 comme “d´efinition” de
“sans torsion”.
COROLLAIRE 1.7. — Soit Aun anneau principal. Tout A-module de type fini
sans torsion est libre. Pour tout A-homomorphisme de A-modules libres de rang fini
ϕ:M0→Mil existe des bases de M0et de Mtelles que ϕsoit diagonal.
Un A-module qui est le dual d’un module de type fini est un sous-A-module d’un
module libre de rang fini. Le lemme 1.5 et le th´eor`eme 1.2 impliquent donc la premi`ere