Géométrie vectorielle

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A
B
C
D
Géométrie vectorielle
I) Vecteurs dans l'espace :
a) notion de vecteur dans l'espace :
On reprend la définition du vecteur dans le plan en l'étendant à l'espace.
définition : Soit un couple (A ; B) de points de l'espace .
Le vecteur AB
À¾ est le vecteur de la translation qui transforme A en B.
► Si A # B, le vecteur AB
À¾ a :
- pour direction celle de la droite (AB)
- pour sens celui de A vers B
- pour longueur (norme) la distance AB.
On écrit ||AB
À¾|| = AB.
► Si A = B, AA
À¾ est le vecteur nul.
On écrit AA
À¾ = 0 ¾
définition : - égalité de vecteurs -
Soient deux vecteurs non nuls
► AB
À¾ = CD À¾ équivaut à «ABDC est un parallélogramme»
► on peut noter le vecteur par une lettre comme u
¾ sans préciser ni origine, ni extré-
mité. Dans ce cas, on dira que AB
À¾ et CD À¾ sont des représentants de u
¾.
propriété : Les opérations sur les vecteurs de l'espace et les règles de calcul (y
compris la relation de Chasles) sont les mêmes que celles établies avec les vecteurs
du plan.
b ) vecteurs colinéaires :
définition :
On reprend la définition de la colinéarité de deux
vecteurs dans le plan en l'étendant à l'espace.
Deux vecteurs de l'espace AB
À¾ et CD À¾ sont colinéaires
si et seulement si les droites (AB) et (CD) sont
parallèles.
propriété : Deux vecteurs non nuls u
¾ et v ¾ sont
colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel
k tel que v
¾ = ku ¾
propriété : Trois points distincts A, B, C sont alignés si et seulement si il existe un
nombre réel k tel que AC
À¾ = kAB À¾
A
B
C
D
u
¾
AB
À¾ = CD À¾ = u
¾
u
¾
a une infinité de représentants !
par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur !
cela revient à montrer que AC
À¾ et AB À¾ sont colinéaires !

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A
B
C
yAC
À¾
x
AB
À¾
M
c ) vecteurs coplanaires :
définition : Des vecteurs sont coplanaires si
et seulement si les représentants obtenus à
partir d'un même point O quelconque ont leurs
extrémités contenues dans un même plan.
II) Caractérisation vectorielle d'une droite de l'espace :
propriété : Soient A et B deux points dis-
tincts de l'espace.
Un point M appartient à la droite (AB) si
et seulement si il existe un nombre réel k
tel que AM
À¾ = kAB À¾
propriété : Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs di-
recteurs colinéaires.
III) Caractérisation vectorielle d'un plan de l'espace :
propriété : Soient A, B, C trois points non alignés.
Le plan (ABC) est constitué de tous les points M définis par :
AM
À¾ =
x AB
À¾ + yAC À¾
( x et y sont des nombres réels quelconques)
► démonstration
Dans le plan (ABC), AB
À¾ et AC À¾ ne sont pas colinéaires.
Donc, (A ; AB
À¾ ; AC À¾) est un repère du plan.
Par suite, pour tout point M du plan (ABC) il existe deux nombres réels x et y tels que
AM
À¾ =
x AB
À¾ + yAC À¾
réciproquement, nous allons montrer qu'un point M de l'espace vérifiant
AM
À¾ =
x AB
À¾ + yAC À¾ est un point du plan. Etant donné que (A ; AB À¾ ; AC À¾) est un repère
de (ABC), il existe N, un point du plan (ABC), tel que AN
À¾ =
x AB
À¾ + yAC À¾.
Donc, AN
À¾ = AM À¾ et M = N. Par suite, M est un point du plan (ABC)
O
A
B
C
u
¾
v
¾
w
¾
deux vecteurs sont toujours coplanaires (attention,
ce n'est pas toujours le cas pour deux droites !)
u
¾
, v
¾, w ¾ sont coplanaires. u ¾ = OA
À¾ , v
¾ = OB
À¾,
w
¾
= OC
À¾, et A, B, C sont dans un même plan.
Comme dans le plan, on peut définir une droite d par un point A et un vecteur directeur u
¾.
u
¾
est nommé vecteur directeur de la droite d. On peut noter cette droite (A ; u
¾).
M
A
B
u
¾
d
vocabulaire :
Un plan P peut donc être défini par un point A et deux vecteurs non colinéaires u
¾ et v ¾.
On peut alors noter
P sous la forme (A ; u
¾, v ¾).
On dit que u
¾
et v
¾
sont des vecteurs directeurs du plan.

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P
u
¾
v
¾
w
¾
w
¾
d
propriété : Soient les vecteurs u
¾, v ¾, w ¾ tels que u ¾ et v ¾ ne soient pas colinéaires.
u
¾, v ¾, w ¾ sont coplanaires si, et seulement si, il existe des nombres réels a et b tels
que w
¾ = au ¾ + b v ¾
► démonstration
Soient les vecteurs u
¾, v ¾, w ¾ tels que u ¾ et v ¾ ne soient pas colinéaires.
Soit A un point quelconque de l'espace et B, C, D tels que AB
À¾ = u
¾, AC
À¾ = v
¾, AD
À¾ = w
¾.
Etant donné que u
¾ et v ¾ ne sont pas colinéaires, A, B, C, ne sont pas alignés et défi-
nissent le plan (ABC). u
¾, v ¾, w ¾ sont coplanaires si et seulement si A, B, C, D sont co-
planaires ce qui revient à dire que D appartient au plan (ABC).
Donc, (voir propriété précédente), il existe des réels a et b tels que AD
À¾ = aAB À¾ + bAC À¾.
Par suite, w
¾ = au ¾ + b v ¾.
conséquences :
►4 points A, B, C, D sont coplanaires si et seulement si les vecteurs AB
À¾, AC À¾, AD À¾
sont coplanaires.
► une droite d de vecteur directeur w
¾ est parallèle à
un plan P de vecteurs directeurs u
¾ et v ¾ si et
seulement si u
¾, v ¾, w ¾ sont coplanaires.
propriété :
Deux plans P et P' ayant deux vecteurs di-
recteurs en commun sont parallèles.
► démonstration
Soient deux plans P et P' ayant les mêmes
vecteurs directeurs u
¾ et v ¾.
Soient A un point de P et B un point de P'.
Les deux droites sécantes de P passant par A et de vecteurs directeurs respectifs u
¾
et v
¾ sont parallèles aux deux droites sécantes de
P' passant par B et de vecteurs
directeurs respectifs u
¾ et v ¾.
Par suite, les plans P et P' sont parallèles .
P
P'
u
¾
v
¾
u
¾
v
¾
B
A

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une application :
la démonstration du théorème du toit
rappel de la propriété :
Si deux plans sécants P
1
et P
2
sont sécants suivant
une droite d et si d
1
et d
2
sont deux droites parallèles
incluses respectivement dans P
1
et P
2
, alors d est
parallèle aux droites d
1
et d
2
.
► démonstration - exigible -
Soit u
¾ un vecteur directeur de d
1
et de d
2
.
Soit w
¾ un vecteur directeur de d.
Soient ( u
¾,u ¾
1
) et (u
¾,u ¾
2
) deux couples de vecteurs directeurs respectivement des
plans P
1
et P
2
.
► d est contenue dans P
1
donc il existe deux réels a
1
et b
1
tels que w
¾ = a
1
u
¾ + b
1
u
¾
1
► d est contenue dans P
2
donc il existe deux réels a
2
et b
2
tels que w
¾ = a
2
u
¾ + b
2
u
¾
2
Par suite, a
1
u
¾ + b
1
u
¾
1
= a
2
u
¾ + b
2
u
¾
2
et (a
1
– a
2
)u
¾ = b
2
u
¾
2
– b
1
u
¾
1
Supposons que a
1
#
##
# a
2
:
On aurait alors u
¾ = b
2
a
1
– a
2
u
¾
2
– b
1
a
1
– a
2
u
¾
1
ce qui reviendrait à dire que u
¾, u ¾
1
, u
¾
2
sont coplanaires. Or, c'est impossible car les plans P
1
et P
2
sont sécants.
Donc a
1
= a
2
Il découle de ce qui précède que a
1
u
¾ + b
1
u
¾
1
= a
2
u
¾ + b
2
u
¾
2
donc b
1
u
¾
1
= b
2
u
¾
2
Or, u
¾
1
et u
¾
2
ne sont pas colinéaires donc b
1
= b
2
= 0
Par suite, w
¾ = a
1
u
¾ et il en résulte que d
1
et d
2
sont parallèles.
IV) Repérage dans l'espace :
a) décomposition d'un vecteur suivant trois vecteurs non coplanaires :
propriété :
Soient trois vecteurs u
¾, v ¾, w ¾ non coplanaires de l'espace.
Pour tout vecteur V
À¾, il existe un unique triplet ( a; b ; c) de nombres réels tel que :
V
À¾ = au
¾ + b v ¾ + cw ¾
d
P
2
P
1
d
1
d
2
w
¾
u
¾
u
¾
u
¾
1
u
¾
2
d
d
1
et d
2
sont parallèles par définition !
d'après la première des deux propriétés précédentes !
deux droites ayant des vecteurs directeurs colinéaires sont parallèles !

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u
¾
v
¾
w
¾
cw
¾
b v
¾
M
au
¾
M'
A
V
À¾
P
d
► démonstration
► existence de a, b, c
Soient trois vecteurs u
¾, v ¾, w ¾ non
coplanaires de l'espace.
Soit A un point de l'espace.
Soit V
À¾ un vecteur de l'espace.
Soit P le plan défini par (A ; u
¾, v ¾).
Soit le point M tel que V
À¾= AM À¾.
Soit d la droite contenant M et de
vecteur directeur w
¾.
d et P ne sont pas parallèles
puisque u
¾, v ¾, w ¾ ne sont pas coplanaires. Soit M' le point d'intersection de d et
P.
P contient M' donc il existe deux nombres réels a et b tels que AM'
À¾ = au
¾ + b v ¾
De plus, AM
À¾ = AM' À¾ + M'M À¾ . Or, M'M À¾ et w
¾ sont colinéaires donc il existe un réel c tel
que M'M
À¾ = cw
¾
Par suite, V
À¾= AM À¾ = a u
¾ + b v ¾ + cw ¾
► unicité de a, b, c
Supposons qu'il existe deux triplets de réels (a, b, c) et (a', b', c') tels que
V
À¾ = au
¾ + b v ¾ + cw ¾ = a' u ¾ + b' v ¾ + c' w ¾
Supposons que c # c', on aurait w
¾ = a – a'
c' – c u
¾ + b – b'
c' – c v
¾, or c'est impossible puisque
u
¾, v ¾, w ¾ ne sont pas coplanaires. Donc c=c'.
Il en découle que a u
¾ + b v ¾ = a' u ¾ + b' v ¾ .
Par suite, a = a' et b= b' puisque u
¾ et v ¾ ne sont pas colinéaires.
b) repère de l'espace - coordonnées :
définition :
Un repère de l'espace (O ; i
¾, j ¾, k ¾) est formé d'un point O et d'un triplet ( i ¾, j ¾, k ¾) de
vecteurs non coplanaires.
O est l'origine du repère
( i
¾, j ¾, k ¾) est appelé base de vecteurs de l'espace.
propriété : (O ; i
¾, j ¾, k ¾) est un repère de l'espace.
Pour tout point M de l'espace, il existe un unique triplet de réels ( x ; y ; z) tel que :
OM
À¾ =
x i
¾ + y j ¾ + z k ¾
( x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans le repère (O ; i
¾, j ¾, k ¾)
► démonstration i
¾, j ¾, k ¾ ne sont pas colinéaires donc, d'après la propriété précé-
dente, OM
À¾ se décompose de façon unique à l'aide des trois vecteurs.
x
est l'abscisse de M, y est l'ordonnée de m, z est la cote de M