Géométrie vectorielle
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Géométrie vectorielle I) Vecteurs dans l'espace : a) notion de vecteur dans l'espace : On reprend la définition du vecteur dans le plan en l'étendant à l'espace. définition : Soit un couple (A ; B) de points de l'espace. Le vecteur À¾ AB est le vecteur de la translation qui transforme A en B. ► Si A # B, le vecteur À¾ AB a : - pour direction celle de la droite (AB) - pour sens celui de A vers B - pour longueur (norme) la distance AB. À¾|| = AB. On écrit ||AB B D u ¾ A ► Si A = B, À¾ AA est le vecteur nul. On écrit À¾ AA = ¾ 0 C À¾ À¾ = ¾ AB = CD u définition : - égalité de vecteurs Soient deux vecteurs non nuls u a une infinité de représentants ! ¾ À¾ équivaut à «ABDC est un parallélogramme» ► À¾ AB = CD ► on peut noter le vecteur par une lettre comme ¾ u sans préciser ni origine, ni extréÀ¾ sont des représentants de ¾ mité. Dans ce cas, on dira que À¾ AB et CD u. propriété : Les opérations sur les vecteurs de l'espace et les règles de calcul (y compris la relation de Chasles) sont les mêmes que celles établies avec les vecteurs du plan. b ) vecteurs colinéaires : définition : On reprend la définition de la colinéarité de deux vecteurs dans le plan en l'étendant à l'espace. À¾ sont colinéaires Deux vecteurs de l'espace À¾ AB et CD si et seulement si les droites (AB) et (CD) sont parallèles. A D propriété : Deux vecteurs non nuls ¾ u et ¾ v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que ¾ v = k¾ u B C par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur ! propriété : Trois points distincts A, B, C sont alignés si et seulement si il existe un À¾ nombre réel k tel que À¾ AC = kAB À¾ et À¾ cela revient à montrer que AC AB sont colinéaires ! 1 http://www.maths-videos.com u ¾ c ) vecteurs coplanaires : v ¾ définition : Des vecteurs sont coplanaires si et seulement si les représentants obtenus à partir d'un même point O quelconque ont leurs extrémités contenues dans un même plan. w ¾ A deux vecteurs sont toujours coplanaires (attention, ce n'est pas toujours le cas pour deux droites !) B C O À¾ , ¾ À¾, u, ¾ v, ¾ w sont coplanaires. ¾ u = OA v = OB ¾ À¾ , et A, B, C sont dans un même plan. w = OC ¾ II) Caractérisation vectorielle d'une droite de l'espace : propriété : Soient A et B deux points distincts de l'espace. Un point M appartient à la droite (AB) si et seulement si il existe un nombre réel k À¾ = kAB À¾ tel que AM M A B u ¾ d Comme dans le plan, on peut définir une droite d par un point A et un vecteur directeur ¾ u. u est nommé vecteur directeur de la droite d. On peut noter cette droite (A ; ¾ u ). ¾ propriété : Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. III) Caractérisation vectorielle d'un plan de l'espace : propriété : Soient A, B, C trois points non alignés. Le plan (ABC) est constitué de tous les points M définis par : À¾ = xÀ¾ À¾ AM AB + yAC (x et y sont des nombres réels quelconques) A À¾ yAC C M B À¾ ► démonstration xAB Dans le plan (ABC), À¾ AB et À¾ AC ne sont pas colinéaires. Donc, (A ; À¾ AB ; À¾ AC) est un repère du plan. Par suite, pour tout point M du plan (ABC) il existe deux nombres réels x et y tels que À¾ = xÀ¾ À¾ AM AB + yAC réciproquement, nous allons montrer qu'un point M de l'espace vérifiant À¾ = xÀ¾ À¾ est un point du plan. Etant donné que (A ; À¾ AM AB + yAC AB ; À¾ AC) est un repère À¾. de (ABC), il existe N, un point du plan (ABC), tel que À¾ AN = xÀ¾ AB + yAC À¾ et M = N. Par suite, M est un point du plan (ABC) Donc, À¾ AN = AM vocabulaire : Un plan P peut donc être défini par un point A et deux vecteurs non colinéaires ¾ u et ¾ v. On peut alors noter P sous la forme (A ; ¾ u, ¾ v ). On dit que ¾ u et ¾ v sont des vecteurs directeurs du plan. 2 http://www.maths-videos.com propriété : Soient les vecteurs ¾ u, ¾ v, ¾ w tels que ¾ u et ¾ v ne soient pas colinéaires. u, ¾ v, ¾ w sont coplanaires si, et seulement si, il existe des nombres réels a et b tels ¾ que ¾ w = a¾ u + b¾ v ► démonstration Soient les vecteurs ¾ u, ¾ v, ¾ w tels que ¾ u et ¾ v ne soient pas colinéaires. À¾ = ¾ Soit A un point quelconque de l'espace et B, C, D tels que À¾ AB = ¾ u , AC v , À¾ AD = ¾ w. Etant donné que ¾ u et ¾ v ne sont pas colinéaires, A, B, C, ne sont pas alignés et défiv, ¾ w sont coplanaires si et seulement si A, B, C, D sont conissent le plan (ABC). ¾ u, ¾ planaires ce qui revient à dire que D appartient au plan (ABC). À¾ = aAB À¾ + bAC À¾. Donc, (voir propriété précédente), il existe des réels a et b tels que AD Par suite, ¾ w = a¾ u + b¾ v. conséquences : À¾, AD À¾ ►4 points A, B, C, D sont coplanaires si et seulement si les vecteurs À¾ AB , AC sont coplanaires. w ¾ ► une droite d de vecteur directeur ¾ w est parallèle à d u ¾ un plan P de vecteurs directeurs ¾ u et ¾ v si et seulement si ¾ u, ¾ v, ¾ w sont coplanaires. w ¾ v ¾ P propriété : Deux plans P et P' ayant deux vecteurs directeurs en commun sont parallèles. u ¾ B v ¾ P' u ¾ ► démonstration Soient deux plans P et P' ayant les mêmes vecteurs directeurs ¾ u et ¾ v. A P v ¾ Soient A un point de P et B un point de P'. Les deux droites sécantes de P passant par A et de vecteurs directeurs respectifs ¾ u et ¾ v sont parallèles aux deux droites sécantes de P' passant par B et de vecteurs directeurs respectifs ¾ u et ¾ v. Par suite, les plans P et P' sont parallèles. 3 http://www.maths-videos.com une application : la démonstration du théorème du toit w ¾ rappel de la propriété : Si deux plans sécants P1 et P2 sont sécants suivant une droite d et si d1 et d2 sont deux droites parallèles incluses respectivement dans P1 et P2, alors d est parallèle aux droites d1 et d2. u ¾ u1 ¾ d d1 d u ¾ d2 u2 ¾ P1 ► démonstration - exigible - P2 d1 et d2 sont parallèles par définition ! Soit ¾ u un vecteur directeur de d1 et de d2. Soit ¾ w un vecteur directeur de d. Soient (¾ u ,¾ u 1) et (¾ u ,¾ u 2) deux couples de vecteurs directeurs respectivement des plans P1 et P2. d'après la première des deux propriétés précédentes ! ► d est contenue dans P1 donc il existe deux réels a1 et b1 tels que ¾ w = a 1¾ u + b1 ¾ u1 ► d est contenue dans P2 donc il existe deux réels a2 et b2 tels que ¾ w = a 2¾ u + b2 ¾ u2 Par suite, a1¾ u + b 1¾ u 1 = a 2¾ u + b2 ¾ u 2 et (a1 – a2)¾ u = b2 ¾ u 2 – b 1¾ u1 Supposons que a1 # a2 : b2 b1 On aurait alors ¾ u= u – u ce qui reviendrait à dire que ¾ u, ¾ u 1, ¾ u2 a1 – a2¾2 a1 – a2¾1 sont coplanaires. Or, c'est impossible car les plans P1 et P2 sont sécants. Donc a1 = a2 Il découle de ce qui précède que a1¾ u + b 1¾ u 1 = a 2¾ u + b2 ¾ u 2 donc b1¾ u 1 = b 2¾ u2 Or, ¾ u 1 et ¾ u 2 ne sont pas colinéaires donc b1 = b2 = 0 Par suite, ¾ w = a1 ¾ u et il en résulte que d1 et d2 sont parallèles. deux droites ayant des vecteurs directeurs colinéaires sont parallèles ! IV) Repérage dans l'espace : a) décomposition d'un vecteur suivant trois vecteurs non coplanaires : propriété : Soient trois vecteurs ¾ u, ¾ v, ¾ w non coplanaires de l'espace. Pour tout vecteur À¾ V , il existe un unique triplet ( a; b ; c) de nombres réels tel que : À¾ V = a¾ u + b¾ v + cw ¾ 4 http://www.maths-videos.com d cw ¾ ► démonstration ► existence de a, b, c Soient trois vecteurs ¾ u, ¾ v, ¾ w non coplanaires de l'espace. Soit A un point de l'espace. Soit À¾ V un vecteur de l'espace. Soit P le plan défini par (A ; ¾ u, ¾ v ). À¾ . Soit le point M tel que À¾ V = AM Soit d la droite contenant M et de vecteur directeur ¾ w. M w ¾ À¾ V P v ¾ b¾ v A u ¾ M' a¾ u d et P ne sont pas parallèles puisque ¾ u, ¾ v, ¾ w ne sont pas coplanaires. Soit M' le point d'intersection de d et P. À¾ = a¾ P contient M' donc il existe deux nombres réels a et b tels que AM' u + b¾ v À¾ = AM' À¾ + M'M À¾ . Or, M'M À¾ et ¾ De plus, AM w sont colinéaires donc il existe un réel c tel À¾ = cw que M'M ¾ À¾ = a¾ Par suite, À¾ V = AM u + b¾ v + cw ¾ ► unicité de a, b, c Supposons qu'il existe deux triplets de réels (a, b, c) et (a', b', c') tels que À¾ V = a¾ u + b¾ v + cw u + b' ¾ v + c' ¾ w ¾ = a' ¾ a – a' b – b' Supposons que c # c', on aurait ¾ w= u+ v , or c'est impossible puisque ¾ c' – c c' – c ¾ u, ¾ v, ¾ w ne sont pas coplanaires. Donc c=c'. ¾ Il en découle que a¾ u + b¾ v = a' ¾ u + b' ¾ v . Par suite, a = a' et b= b' puisque ¾ u et ¾ v ne sont pas colinéaires. b) repère de l'espace - coordonnées : définition : Un repère de l'espace (O ; ¾i , ¾ j,¾ k ) est formé d'un point O et d'un triplet (¾ i,¾ j,¾ k ) de vecteurs non coplanaires. O est l'origine du repère (¾ i,¾ j,¾ k ) est appelé base de vecteurs de l'espace. propriété : (O ; ¾ i , ¾j , ¾ k ) est un repère de l'espace. Pour tout point M de l'espace, il existe un unique triplet de réels (x ; y ; z) tel que : À¾ = x¾ OM i + y¾ j + z¾ k (x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans le repère (O ; ¾ i,¾ j,¾ k) x est l'abscisse de M, y est l'ordonnée de m, z est la cote de M ► démonstration ¾ i,¾ j,¾ k ne sont pas colinéaires donc, d'après la propriété précéÀ¾ se décompose de façon unique à l'aide des trois vecteurs. dente, OM 5 http://www.maths-videos.com propriété (conséquence de la précédente) : (O ; ¾ i,¾ j,¾ k ) est un repère de l'espace. À¾ = ¾ Pour tout vecteur ¾ u , il existe un point M tel que OM u . De la même façon que nous le faisions dans le plan, on définira les coordonnées de ¾ u dans l'espace comme étant celles de M. On peut donc affirmer : Pour tout vecteur ¾ u de l'espace, il existe un unique triplet de réels (x ; y ; z) tel que : u = x¾ i + y¾ j + z¾ k ¾ x (x ; y ; z) sont les coordonnées de ¾ u . On note ¾ u (x ; y ; z) ou y z règles de calculs avec les coordonnées : Soient ¾ u (x ; y ; z) et ¾ v (x' ; y' ; z') ► Le vecteur ¾ u +¾ v a pour coordonnées (x + x' ; y + y' ; z + z') ► Pour tout réel k, le vecteur k¾ u a pour coordonnées (kx ; ky ; kz) ► Soient les points A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB) À¾ AB a pour coordonnées (xB – xA ; yB – yA; zB – zA) ► Soient les points A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB) x B + x A y B + y A z B + z A , , Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées 2 2 2 V) Représentation paramétrique d'une droite : rappel : nous avons vu au paragraphe II qu'un point M appartient à la droite d passant par A et de vecteur directeur ¾ u non nul si, et seulement si, il existe un nombre À¾ = k¾ réel k tel que AM u k est le paramètre correspondant au point M ! propriété : (O ; ¾ i,¾ j,¾ k ) est un repère de l'espace. Soit une droite d définie par un point A(xA ; yA ; zA) et un vecteur directeur ¾ u (a ; b ; c) On appelle représentation paramétrique de la droite d le système : x = xA + ka avec k a r y = yA + kb z = zA + kc La droite d est l'ensemble des points M(x ; y ; z) vérifiant le système ci-dessus. ► démonstration À¾ = k¾ Si M(x ; y ; z) est un point de d, il existe un réel k tel que AM u. On traduit l'égalité en utilisant les coordonnées : x = xA + ka x – xA a x – xA = ka y – yA = k b d'où y – yA = kb et, par suite, on a le résultat, y = yA + kb z = zA + kc z – z c z – z = kc A A De la même façon, on peut définir la représentation paramétrique d'un plan défini par un point A(xA;yA;zA) et 2 vecteurs non colinéaires ¾ u (a,b,c) et ¾ v (a',b',c'). À¾ = k¾ On écrit alors qu'un point M appartient au plan si AM u + t¾ v et on obtient le système : x = xA + ka + ta y = yA + kb + tb avec k a r et t a r z = zA + kc + tc 6 http://www.maths-videos.com
