Intégration, L3-2006

L3-2006
Int´egration
J.-P. Labesse
I. Pr´ eliminaires
I.1 – Fonctions caract´eristiques
Soit Xun ensemble, et soit Aun sous ensemble. On appelle fonction caract´eristique de A
la fonction sur X`a valeurs r´eelles, souvent not´ee χA, d´efinie par
χA(x) = 1 si x∈Aet χA(x) = 0 si x /∈A .
On observera que
χA+χB=χA∪B+χA∩B,χAχB=χA∩Bet que 1 −χA=χA0
o`u A0=X−Ale compl´ementaire de Adans X.
I.2 – La droite achev´ee
On appelle droite r´eelle achev´ee not´ee Rla droite r´eelle `a laquelle on a ajout´e une borne
sup´erieure not´e ω(ou ∞) et une borne inf´erieure −ω. C’est un ensemble ordonn´e dans
lequel tout sous-ensemble non vide poss`ede une borne sup´erieure et une borne inf´erieure.
En tant qu’ensemble ordonn´e Rest isomorphe `a [−1,+1].
On note R+le sous-ensemble de Rform´e des ´el´ements positifs : c’est l’ensemble des
nombres r´eel positifs auquel on ajoute le symbole ω, repr´esentant un plus grand ´el´ement :
R+=R+∪ {ω}= [0, ω]
On dispose d’op´erations associatives et commutatives sur cet ensemble qui prolongent
addition et multiplication sur les r´eels positifs : on peut additionner et multiplier les
´el´ements de R+. On pose
a+ω=ω,aω =ωsi a > 0 et 0ω= 0
Le produit est encore distributif par rapport `a l’addition. Mais on ne peut pas en g´en´eral
simplifier : a+ω=b+ωou aω =bω n’impliquent pas a=b.
Fichier integration-L3-4, compilation le 9-5-2006– 1062

2J.-P. Labesse
II. Int´ egrale de Riemann
II.1 – Int´egrale de Riemann des fonctions continues
Soit I= [a, b] un segment de R. On appelle partition de Iun sous-ensemble fini Pde I.
On dit que P1est plus fine que P0si P0⊂ P1. Il est clair qu’´etant donn´e deux partitions
leur union fournit une partition plus fine qu’elles.
Soit Eun espace de Banach (r´eel ou complexe) et soit fune fonction continue sur I`a
valeurs dans E. On consid`ere une partition Pde I:
a=x0≤x1≤ · · · ≤ xn≤xn+1 =b
et un ensemble V={ξ0, . . . , ξn}de points de I. On pose
S(P,V, f) =
i=n
X
i=0
(xi+1 −xi)f(ξi).
On dira que Vest subordonn´e `a Psi ξi∈[xi, xi+1] pour tout i.
Lemme II.1.1. –Pour tout ε > 0il existe une partition Pεtelle que pour tout ensemble
Vεde points subordonn´e `a Pε, toute partition P(resp Q) plus fine que Pεet tout ensemble
V(resp. W) de points subordonn´e `a P, (resp. Q) on ait
||S(P,V, f)−S(Pε,Vε, f)||E< ε/2et ||S(P,V, f)−S(Q,W, f)||E< ε
Preuve : La fonction fest continue et le segment Iest un compact, la fonction fest donc
uniform´ement continue sur I. C’est dire que pour tout α > 0 il existe un η > 0 tel que
|x−y|< η implique ||f(x)−f(y)||E< α .
Maintenant choisissons une partition Pεde sorte que |xi+1 −xi|< η pour tout iet choi-
sissons arbitrairement un ensemble Vεsubordonn´e `a Pε. Soit Pune partition plus fine et
soit Vsubordonn´e `a Pon voit que
||S(P,V, f)−S(Pε,Vε, f)||E≤(b−a)α
et il en est de mˆeme en rempla¸cant Ppar Q. Il suffit donc de choisir αde sorte que
α(b−a)< ε/2.

Int´egration 3
Le lemme montre que les sommes de Darboux S(P,V, f) forment une famille de Cauchy.
Comme Eest complet par hypoth`ese, cette famille de Cauchy a une limite appel´ee int´egrale
de Riemann de fsur Inot´ee
Zb
a
f(x)dx ou encore ZI f(x)dx
C’est la limite des S(P,V, f) o`u Vest subordonn´e `a Pet o`u Pdevient “de plus en plus
fine”. De fa¸con plus pr´ecise on a le
Th´eoreme II.1.2. –Soit fune fonction continue sur un segment I= [a, b]`a valeurs
dans un espace de Banach E. Il existe un unique ´el´ement de Enot´e RIf(x)dx tel que
pour tout ε > 0il existe une partition Pεtelle que pour toute partition Pplus fine que Pε
et tout ensemble Vde points subordonn´e `a Pon ait
ZI
f(x)dx −S(P,V, f)E ≤ε .
Preuve : Choisissons une suite de nombres εntendant vers zero, par exemple εn= 1/n, et
consid´erons la partition Pεndu lemme II.1.1ci-dessus. Notons Qnla partition union des
Pεnet supposons Wnsubordonn´ee `a Qnalors la suite des S(Qn,Wn, f) est une suite de
Cauchy dans E. On note RIf(x)dx sa limite. Le mˆeme lemme montre que pour toute
partition Qplus fine que Pεet tout ensemble Wde points subordonn´e `a Qon a
||S(Pε,Vε, f)−S(Q,W, f)|| < ε/2
mais l’int´egrale est la limite des S(Qn,Wn, f) et donc la diff´erence
ZI
f(x)dx −S(Qn,Wn, f)E
peut ˆetre rendue est aussi petite que l’on veut. On a donc `a la limite
ZI
f(x)dx −S(Pε,Vε, f)E ≤ε/2
Supposons maintenant que Pest plus fine que Pεon a alors
ZI
f(x)dx −S(P,V, f)E ≤ZI f(x)dx −S(Pε,Vε, f)E +||S(Pε,Vε, f)−S(P,V, f)||E< ε .
L’unicit´e r´esulte imm´ediatement de cette propri´et´e.

4J.-P. Labesse
Nous verrons plus loin que cette construction est un cas particulier d’une notion plus
g´en´erale : celle d’int´egrale d’une fonction r´egl´ee.
II.2 – Int´egrales et primitives
Soit Fune fonction continue et d´erivable sur un intervalle I`a valeurs dans un espace de
Banach E.
Lemme II.2.1. –Si Fa une d´eriv´ee nulle sur Ialors Fest constante sur I.
Preuve : Montrons d’abord que si Fest d´erivable avec d´eriv´ee nulle alors
||F|| :x7→ ||F(x)||
est d´erivable avec d´eriv´ee nulle : pour cela on observe que
F(x+h)−F(x)
h
≥
||F(x+h)|| − ||F(x)||
h
Maintenant il r´esulte du th´eor`eme des accroissements finis que ||F(x)|| est constante. Mais,
quitte `a translater Fpar une constante on peut supposer que Fest nulle en un point de
Iil en r´esulte que sa norme est nulle sur tout I.
Remarque – On prendra garde qu’en g´en´eral une fonction du type x7→ ||F(x)|| n’est
pas d´erivable mˆeme si Fl’est ; par exemple x7→ |x|n’est pas d´erivable en 0.
Soit fune fonction continue sur un intervalle I`a valeurs dans un espace de Banach E.
On dit que Fest une primitive de fsi Fest continue et d´erivable sur Iavec pour d´eriv´ee
f.
Th´eoreme II.2.2. –Toute fonction continue fadmet une primitive. Si Fest une prim-
itive de fon a
F(x) = F(a) + Zx
a
f(t)dt
Preuve : Soient aet xdeux points de I, on consid`ere la fonction
G(x) = Zx
a
f(t)dt .
Rappelons que, par convention
Zx
a
f(t)dt =−Za
x
f(t)dt

Int´egration 5
si x < a. On voit que
G(x+h)−G(x)
h−f(x) = Z1
0
(f(x+th)−f(x)) dt
et donc 
G(x+h)−G(x)
h−f(x)E
≤sup
|t|≤1
||f(x+th)−f(x)||E
et comme fest continue les expressions ci-dessus ont une limite nulle lorsque htend vers
0 et donc Gest d´erivable au point xavec f(x) pour d´eriv´ee. Ceci montre que la fonction
Gest une primitive de favec G(a) = 0. Le lemme II.2.1 ci-dessus montre que comme F
et Gsont deux primitives de felles diff`erent d’une constante. Le th´eor`eme en r´esulte.
II.3 – Int´egrale des fonction r´egl´ees
Nous allons donner une seconde construction de l’int´egrale de Riemann pour classe de
fonctions plus large que pr´ec´edemment. Soit Iun segment. On dit qu’une fonction ssur
I`a valeurs dans Eest une fonction en escalier si il existe une partition Pde I:
a=x0≤x1≤ · · · ≤ xn≤xn+1 =b
et des ´el´ements αi∈Epour 0 ≤i≤navec s(x) = αipour x∈]xi, xi+1[. La valeur de s
aux bornes des intervalles ]xi, xi+1[ est arbitraire. On peut aussi dire qu’une fonction en
escalier `a valeurs dans Eest une somme
s=Xχiαi
de produits de fonctions caract´eristiques χid’intervalles born´es Iipar des vecteurs αide
E; autrement dit c’est une combinaison lin´eaire de fonctions caract´eristiques d’intervalles
born´es. On d´efinit l’int´egrale de ssur Icomme la somme
ZI
s(x)dx =
i=n
X
i=0
(xi+1 −xi)αi
On dit que fsur I`a valeurs dans Eest r´egl´ee si elle est limite uniforme de fonction
en escalier. Par exemple, une fonction continue est une fonction r´egl´ee ; ceci r´esulte de ce
que fest uniform´ement continue sur Icar Iest un segment (et donc un compact). Mais
l’espace des fonction r´egl´ees est plus gros que celui des fonctions continues. Il contient en
particulier les fonctions continues par morceaux (ayant en chaque point une limite `a droite
et `a gauche). C’est un espace de Banach pour la norme uniforme
||f||∞= sup
x∈I
||f(x)||E.