9. Diviser par un nombre entier

6
ème
CHAPITRE 09
DIVISER PAR UN NOMBRE ENTIER
I. Vocabulaire
Vocabulaire Diviser une quantité en 4, c’est la partager en 4 parts égales. (On ne peut donc pas diviser par 0…)
Exemple Pour partager 152 bonbons en 4 parts égales, je calcule : 152 ÷
÷÷
÷ 4 = 38
Cela revient à chercher le nombre qui multiplié par 4 donne 152 : 4 ×
××
× 38 = 152
Il doit y avoir 38 bonbons dans chaque part.
Vocabulaire 152 ÷
÷÷
÷ 4 est appelé le quotient de 152 par 4.
II. Avec des nombres entiers : la division euclidienne…
Définition Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier (dividende)
par un autre nombre entier (diviseur), c’est trouver deux nombres entiers (quotient et reste)
tels que :
Exemple 1 Effectuons la division euclidienne de 754 par 8 :
Vérification : on a bien : 2 < 8 et 754 = 8 ×
××
× 94 + 2
Exemple 2 Effectuons la division euclidienne de 754 par 23 :
Vérification : on a bien : 18 < 23 et 754 = 23 ×
××
× 32 + 18
III. Diviseurs et multiples
1- Vocabulaire
Définition Si le reste de la division euclidienne d’un entier A par un entier B est 0, on dit alors que :
« A est divisible par B » ou « B est un diviseur de A » ou « A est un multiple de B ».
Exemple 3 Le reste de la division de 754 par 26 est 0.
On dit que : « 754 est divisible par 26 »
ou « 26 est un diviseur de 754 »
ou « 754 est un multiple de 26 ».
4 5 7 3 2
2 3
9 6
− 4 6 6 4
−
8 1
4 5 7 6 2
9 2
2 5
− 4 3 2 4 3 2
−
0
♦ Dividende = Diviseur ×
××
× Quotient + Reste
♦
Reste
<
Diviseur
Dividende
Reste
Diviseur
Quotient
4 5 7 8
4 9
2 7
− 4 3 2 3
−
2

Un nombre entier est :
 divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
 divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ;
 divisible par 3 si la somme de ces chiffres est divisible par 3 ;
 divisible par 9 si la somme de ces chiffres est divisible par 9 ;
 divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres
(à d
roite) est divi
sible par 4.
2- Critères de divisibilité
Règles (à connaître par cœur)
Exemples Parmi les entiers suivants : 19 ; 25 ; 27 ; 40 ; 132 ; 133 ; 246 ; 2 385 ; 17 124
 les entiers divisible par 2 sont : 40 ; 132 ; 246 ; 17 124
 les entiers divisible par 5 sont : 25 ; 2 385
 les entiers divisible par 3 sont : 27 ; 246 ; 2 385 ; 17 124
 les entiers divisible par 9 sont : 27 ; 2 385
 les entiers divisible par 4 sont : 132 ; 17 124
IV. Et avec des nombres décimaux…
Exemple 4 5 ×
××
× ..?.. = 11,5
Le nombre caché est le quotient de 11,5 par 5.
Avec la calculatrice, on obtient : 11,5 ÷
÷÷
÷ 5 = 2,3
Méthode Pour les divisions décimales, on effectue les mêmes calculs que pour la division euclidienne,
mais on ajoute une virgule au quotient quand on abaisse le chiffre des dixièmes du dividende.
Exemple 5
Exemple 6
Rappel Pour les valeurs approchées, on peut utiliser les troncatures ou les valeurs arrondies à l’unité…
(revoir le chapitre n°3…)
1+7+1+2+4 = 15
Et 1
5
est dans la table de 3
…
2+3+8+5 = 18
Et 1
8
est dans la table de
9…
Dans cet exemple, la division s’arrête.
9,25 est une valeur exacte du quotient.
On écrit : 74 ÷
÷÷
÷ 8 = 9,25.
Dans cet exemple, la division ne s’arrête jamais.
2,433 est une valeur approchée du quotient…
On écrit alors : 7,3 ÷
÷÷
÷ 3 ≈
≈≈
≈ 2,433
0 0 4, 7 8
5 2 9,
2 7
− 0 2 6 1
−
0 4 0 4
−
0
0 0 3 7, 3
3…
3 4 2,
6
− 3 1 2 1
− 0 1 9
− 0 1 9
− 1

V. Des exemples d’utilisations : convertir les unités de temps
Exemple 1 Convertir 345 minutes en heures et minutes :
 1 h = 60 min
Conclusion : 345 min = 5 h 45 min
Exemple 2 Convertir 7 824 secondes en heures, minutes et secondes :
 1 min = 60 s
Conclusion : 7 824 s = 130 min 24 s
 1 h = 60 min
Conclusion : 7 824 s = 2 h 10 min 24 s
Exemple 3 Convertir 326 heures en jours et heures :
 1 j = 24 h
Conclusion : 326 h = 13 j 14 h
4 2
8
7 0 6
0 3
1
0 6 − 2 8 1 0 8 1 − 4 2 0 −
4 2
0 3 1 0 6
2
0 2 1 −
0
1
5 4 3 0 6
5
0 0 3 −
5 4
6 2 3 4 2
3 1
4 2 − 6 8 2 7 −
4 1