NOMBRES ALEATOIRES et PSEUDO-ALEATOIRES

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NOMBRES ALEATOIRES et
PSEUDO-ALEATOIRES
G.Saporta, P.Périé et S.Rousseau, octobre 2011
z
zUtiles pour r
Utiles pour ré
éaliser des tirages et simuler des aliser des tirages et simuler des
ph
phé énom nomè ènes al nes alé éatoires atoires
z
zNombres al
Nombres alé
éatoires: suite de r atoires: suite de ré éalisations alisations
ind
indé épendantes d pendantes d’ ’une variable uniforme sur [0;1] une variable uniforme sur [0;1]
z
zPeuvent être obtenus par des proc Peuvent être obtenus par des procé éd dé és physiques: s physiques:
z
zroues de loterie,
roues de loterie,
z
zé
éclairage clairage à àintervalles irr intervalles irré éguliers d'un disque divis guliers d'un disque divisé éen 10 en 10
secteurs isom
secteurs isomé étriques et num triques et numé érot roté és de 0 s de 0 à à9 : table de 9 : table de
Kendall et Babington Smith
Kendall et Babington Smith

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2
Nombres pseudo aléatoires
z
zProc
Procé
éd dé és d s dé éterministes mais fournissant terministes mais fournissant
une suite de nombres en apparence iid sur
une suite de nombres en apparence iid sur
[0; 1]
[0; 1]
z
zSuites math
Suites mathé
ématiques matiques
z
zd dé écimales de cimales de π π, des tables de logarithmes , des tables de logarithmes
z
zProc
Procé
éd dé és arithm s arithmé étiques tiques
z
zMilieu du carr Milieu du carré éde Von Neumann (1946) de Von Neumann (1946)

3
3
z
zOn part d'un nombre entier
On part d'un nombre entier
z
zOn l
On l’é ’él
lè ève au carr ve au carré é
z
zOn extrait les chiffres du centre comme nombres al
On extrait les chiffres du centre comme nombres alé
éatoires. atoires.
z
zExemple : x
Exemple : x0
0= 7534
= 7534
(7534)
(7534)2
2=
=56 7611 56 56 7611 56
(7611)
(7611)2
2=
=57 9273 21 57 9273 21
(9273)
(9273)2
2=
=85 9885 29 85 9885 29
(9885)
(9885)2
2=
=97 7132 25 97 7132 25
....
....
z
zd'o
d'où
ùla suite 7611 9273 9885 7132 la suite 7611 9273 9885 7132
z
zInconv
Inconvé
énients majeurs : d nients majeurs : dé épendance au nombre de d pendance au nombre de dé épart et part et
r
ré égularit gularité és nombreuses (permanence de 0 ou de s s nombreuses (permanence de 0 ou de sé éries ries
particuli
particuliè ères). res).

4
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z
zM
Mé éthodes de congruence thodes de congruence
Elles reposent sur des suites récurrentes :
zchoix arbitraire d’un entier x
0appelé germe (ou
seed ou graine )
zgénération d’une séquence ( x
1,...,
x
n
) d’entiers :
X
i+1
=a x
i
+b (modulo m ) pour i = 1, ..., n ,
où
a, b et m sont des entiers appelés respectivement multiplicateur,
incrément et modulo.
On vérifie : 0<
x
i
< m pour i 1, ..., n .
zIntérêt : les nombres u
1...,
u
n
où
forment un échantillon pseudo-aléatoire de la loi uniforme sur
[0,1] si
les entiers
a, b et m sont « bien » choisis.
i
x
um
=
Intuition de l’horloge : les heures
9h et 21 sont Congrues modulo 12

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zLe procédé étant déterministe, ces nombres sont
dits pseudo-aléatoires.
z Exemple : x
0
= 1 ; a = 6 ; b = 0 ; m = 25
x0= 1 x1 = 6 [25] = 6 x2= 36[25] =11
x3= 66[25] = 16 x4= 21 x5= 1 = x0
Ce cycle a pour longueur 5.
zRemarque :
zLa séquence x
i
i = 1,..., n contient au plus m
termes distincts.
zCette suite est donc périodique de période p
avec p≤m Si p = m, la période est dite pleine.