Théorie statistique des champs ou quelques applications de l

Th´eorie statistique des champs
ou
quelques applications de l’int´egrale fonctionnelle
Pascal SIMON
15 janvier 2010

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Table des mati`eres
1 Introduction 5
2 Rappel de physique statistique `a l’´equilibre 7
2.1 Fonctions de corr´elation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Champ ext´erieur et r´eponse lin´eaire statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Syst`emes continus : approche par l’int´egrale fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Exemples des syst`emes ´elastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Calcul d’int´egrales fonctionnelles : un zeste de diagrammatique 29
3.1 M´ethode du point col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Approche variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Th´eorie de perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1 Th´eor`eme de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.2 Diagrammes de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Int´egrales fonctionnelles pour les syst`emes quantiques `a une particule 39
4.1 Formulation en temps r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.2 Limite semi-classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Calcul de la fonction de partition : formulation en temps imaginaire . . . . . . . 44
4.3 Fonctions de corr´elations et fr´equences de Matsubara . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4.1 Particule dans un puits de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4.2 Particule dans un double puits de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.3 Effet tunnel dans un environnement dissipatif . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4.4 Application au probl`eme tunnel d’une particule dans un ´etat m´etastable . 61
5 Syst`emes quantiques `a plusieurs particules discernables 67
5.1 Syst`emes quantiques de particules discernables : exemple des syst`emes ´elastiques 67
5.2 Lien avec les probl`emes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Syst`emes quantiques `a plusieurs particules indiscernables 73
6.1 ´ Etats coh´erents bosoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 Int´egrale fonctionnelle pour les bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3 ´ Etats coh´erents fermioniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3.1 Introduction des variables de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3.2 Quelques propri´et´es des variables de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3.3 ´ Etats coh´erents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
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4TABLE DES MATI ` ERES
6.4 Int´egrale fonctionnelle pour les fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5.1 Bosons en interaction : application `a la superfluidit´e . . . . . . . . . . . . 82
6.5.2 Fermions en interaction : application au blocage de Coulomb . . . . . . . 82
6.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7 Perturbation : th´eorie de la r´eponse lin´eaire 83
7.1 M´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.2 Continuation analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.3 Le th´eor`eme fluctuation dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.4 Formule de Kubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8 Exemples d’application de la r´eponse lin´eaire dynamique 93
8.1 Compressibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.2 Conductivit´e des cristaux quantiques ; effet Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.3 Les syst`emes commensur´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Chapitre 1
Introduction
Le but de ce cours est d’introduire de mani`ere ´el´ementaire quelques notions de base de
th´eorie statistique des champs et de les appliquer `a quelques syst`emes concrets relatifs `a la
mati`ere condens´ee. Les syst`emes en interaction ne sont abord´es qu’`a la marge dans la mesure o`u
le groupe de renormalisation ne sera pas trait´e dans ce cours. Ceux int´eress´es par les syst`emes
en interaction sont invit´es `a suivre le cours optionnel du second semestre o`u le groupe de renor-
malisation sera introduit dans une large mesure et appliqu´e `a des syst`emes corr´el´es, notamment
en basse dimension.
Ces notes de cours s’inspirent d’un cours donn´e par Thierry Giamarchi dans ce Master il y a
d´ej`a plusieurs ann´ees. Je vous renvoie sur sa page web :
http : //dpmc.unige.ch/gr giamarchi/
Pour plus de d´etails, le lecteur pourra se r´ef´erer aux diff´erents ouvrages portant sur le sujet dont
voici une liste non exhaustive :
– Th´eorie statistique des champs et applications aux transitions de phase [1, 2, 3, 4]
– Th´eorie statistique des champs appliqu´ee `a la mati`ere condens´ee [5, 6]
– Int´egrales fonctionnelles [7, 8, 9]
– Probl`eme `a N corps [10, 5, 11, 6]
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