Arithmétique et Problèmes de codages

1
Séquence 1 – MA03
Séquence 1
Dans cette séquence, nous allons
nous intéresser à des notions
d’arithmétiques qui interviennent
dans les problèmes de codages. Pour
cela, nous nous baserons sur deux
exemples : le problème des clés de
contrôle et le problème de chiffre-
ment de données.
Arithmétique
et Problèmes de codages
Sommaire
1. Pré-requis
2. Divisibilité dans 
3. Division euclidienne
4. Congruence dans 
5. Nombres premiers
6. Synthèse
© Cned - Académie en ligne

3
Séquence 1 – MA03
1Pré-requis
Notations
L’ensemble des entiers naturels, que l’on note , est constitué des entiers positifs
ou nul : ={ ; ; ; ...}.012
Si on enlève zéro, l’ensemble obtenu est noté * : *={ ; ; ...}.12
L’ensemble des entiers relatifs, que l’on note , est constitué de tous les entiers,
c’est-à-dire des entiers strictement négatifs, de zéro et aussi des entiers strictement
positifs : =−−{... ; ; ; ; ; ; ...}.21012
Si on enlève zéro, l’ensemble obtenu est noté * : *=−−{... ; ; ; ; ; ...}.2112
Définition
*" \{0} et * "\{0}.
 .
 + désigne l’ensemble des entiers relatifs positifs ou nuls donc 
+=
Raisonnement par récurrence
Dans le cours de mathématiques enseignement obligatoire, le raisonnement par
récurrence a été étudié. Voici quelques rappels.
1. Principe
Soit une propriété ᏼ
n
dépendant d’un entier naturel n .
Pour démontrer que ᏼ
n
est vraie pour tout entier
nn ≥0, il suffit de montrer que :
(1) la propriété est vraie au rang
n
0;
(2) pour un entier
k quelconque (),
kn ≥0
ᏼk vraie entraîne ᏼ
k +1 vraie.
A
Remarques
B
© Cned - Académie en ligne

4
Séquence 1 – MA03
Ainsi, pour démontrer par récurrence qu’une propriété liée à un entier naturel n
est vraie pour tout
nn ≥0, on procède en trois étapes.
Initialisation : on vérifie la propriété au rang initial
n
0.
Hérédité : on suppose que la propriété est vraie pour un rang quelconque
k
() kn ≥0 et on démontre que, sous cette hypothèse, elle est vraie au rang suivant
k +1.
On dit alors que la propriété est héréditaire. L’hypothèse « ᏼ
k
vraie » est appe-
lée hypothèse de récurrence.
Conclusion : l’axiome ci-dessus permet de conclure que la propriété est alors
vraie pour tout
nn ≥0.
2. Exemple
Démontrer par récurrence que, pour tout n ≥0, n ( n + 1)(2 n + 1) est divisible par 6.
On veut démontrer par récurrence que la proposition ᏼ
n
« n ( n + 1)(2 n + 1) est
divisible par 6 » est vraie pour tout entier n ≥0.
Initialisation : au rang
n =+×+=000 12 0 1 0, ( )( ) . Or, 0 est divisible par 6 ainsi
la proposition ᏼ
n
est vraie au rang n =0.
Hérédité : on suppose que la proposition «
n ( n + 1)(2 n + 1) est divisible par 6 »
est vraie pour un certain rang nk =; autrement dit, on suppose que pour un
entier k positif, k ( k + 1)(2 k + 1) est divisible par 6.
Regardons la proposition au rang
k +1 :
()() () ()( )( )
(
kk k kk k +++
()
++
()
=+ + +
=
111211 1223
kkkk
kk k
kkk
+++
=+++
=+++
12 7 6
29136
23
2
32
32
)( )
()(66126
23 6 21
2
32 2
kk
kkkkk
++
=+++++
)
()()
Or,
kk k k k k ()( ) .++=++12 1 2 3
32
Par hypothèse de récurrence,
k ( k + 1)(2 k + 1) est divisible par 6 donc il existe un
entier naturel k’ tel que :
k ( k + 1)(2 k + 1) = 6 k‘ soit 23 6
32
kkkk ++=
′.
Ainsi,
()()(()) ( )
(
kk k kkk
kk
+++
()
++= ′+++
=′+
1112116621
6
2
2+++21
k ).
L’entier
kk k +
()
++
()
++
()
111211() () est divisible par 6 donc la proposition
ᏼ
n
« n ( n + 1)(2 n + 1) est divisible par 6 » est vraie au rang nk =+1 : la pro-
priété est héréditaire.
Point
méthode
Exercice A
Solution
© Cned - Académie en ligne

5
Séquence 1 – MA03
Conclusion : la propriété ᏼ
n
«
n ( n + 1)(2 n + 1) est divisible par 6 » est vraie
pour
n =0 et elle est héréditaire, donc, pour tout n ≥0, n ( n + 1)(2 n + 1) est
divisible par 6.
On montre (voir exercice de synthèse VI de la séquence 1 du cours de mathéma-
tiques, tronc commun) l’égalité vraie pour tout
n ≥ 1:
knn n
(1)(21)
6
.
k
n
2
1
∑=++
=
On retrouve que pour tout nnn n ≥++1121,( )( ) est divisible par 6 puisque
n ( n + 1)(2 n + 1) = 6 N où N est l’entier naturel
Nk
k
n
=
=
∑2
1
.
Tableur et codage de caractère
Le tableur possède des fonctions utiles pour coder et décoder des caractères par
des nombres entiers : les fonctions CODE et CAR.
 La fonction CODE convertit le premier caractère du texte en un nombre (sui-
vant la table de code active sur l’ordinateur).
Syntaxe : =CODE(“Texte“)
Par exemple, CODE(“Mathématiques“) renvoie le codage du « M » (majuscule)
à savoir 77 ;
CODE(“mathématiques“) renvoie le codage du « m » (minuscule) à savoir 109.
 La fonction CAR convertit un nombre entier compris entre 1 et 256 en un
caractère (suivant la table de code active sur l’ordinateur).
Syntaxe : =CAR(nombre)
Par exemple, CAR(84) renvoie le caractère « T » (majuscule) ; CAR(116) renvoie
le caractère « t » (minuscule).
Remarque
C
© Cned - Académie en ligne

6
Séquence 1 – MA03
Fonction partie entière
Tout réel peut être encadré par deux entiers relatifs de la manière suivante.
Pour tout réel
x , il existe un unique entier relatif n tel que
nxn ≤<+1.
L’entier
n est appelé la partie entière de x et est noté E( x ).
Définition
La partie entière d’un réel est donc l’entier relatif qui lui est directement inférieur.
 Calculer les parties entières suivantes : E(10,5), E(5), E(–2,3).
 Dans un repère, représenter la fonction partie entière sur l’intervalle [–4 ; 4].
 On a 10 10 5 11≤<, donc E(10,5) = 10.
On a 556≤< donc E(5) = 5.
Enfin −≤− <−3232, donc E( , ) .−=−23 3
 Si −≤ <−43
x alors E( ) . x =−4
Si −≤ <−32
x alors E( ) , x =−3 etc.
On obtient la courbe suivante :
1 2 3 4–4 –3 –2 –1
–1
0
0
–2
–3
–4
3
2
1
point inclus
point exclus
Pour tout entier relatif n , la fonction «partie entière» n’est pas continue en n .
D
Remarque
Exercice B
Solution
Remarque
© Cned - Académie en ligne