Arithmétique et Problèmes de codages

Séquence 1
Arithmétique
et Problèmes de codages
Sommaire
1. Pré-requis
2. Divisibilité dans 3. Division euclidienne
4. Congruence dans Dans cette séquence, nous allons
nous intéresser à des notions
d’arithmétiques qui interviennent
dans les problèmes de codages. Pour
cela, nous nous baserons sur deux
exemples : le problème des clés de
contrôle et le problème de chiffrement de données.
5. Nombres premiers
6. Synthèse
Séquence 1 – MA03
1
© Cned - Académie en ligne
1 Pré-requis
A
Notations
Définition
L’ensemble des entiers naturels, que l’on note , est constitué des entiers positifs
ou nul : = { 0 ; 1 ; 2 ; ...}.
Si on enlève zéro, l’ensemble obtenu est noté * :
* = {1 ; 2 ; ...}.
L’ensemble des entiers relatifs, que l’on note , est constitué de tous les entiers,
c’est-à-dire des entiers strictement négatifs, de zéro et aussi des entiers strictement
positifs : = {... ; − 2 ; − 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; ...}.
Si on enlève zéro, l’ensemble obtenu est noté * :
Remarques
*"
B
* = {... ; − 2 ; − 1 ; 1 ; 2 ; ...}.
\ {0} et * "\ {0}.
.
+ désigne l’ensemble des entiers relatifs positifs ou nuls donc + = Raisonnement par récurrence
Dans le cours de mathématiques enseignement obligatoire, le raisonnement par
récurrence a été étudié. Voici quelques rappels.
1. Principe
Soit une propriété ᏼ n dépendant d’un entier naturel n.
Pour démontrer que ᏼ n est vraie pour tout entier n ≥ n0 , il suffit de montrer que :
(1) la propriété est vraie au rang n0 ;
(2) pour un entier k quelconque (k ≥ n0 ), ᏼk vraie entraîne ᏼ k +1 vraie.
Séquence 1 – MA03
3
© Cned - Académie en ligne
Point
méthode
Ainsi, pour démontrer par récurrence qu’une propriété liée à un entier naturel n
est vraie pour tout n ≥ n0 , on procède en trois étapes.
Initialisation : on vérifie la propriété au rang initial n0 .
Hérédité : on suppose que la propriété est vraie pour un rang quelconque k
(k ≥ n0 ) et on démontre que, sous cette hypothèse, elle est vraie au rang suivant
k + 1.
On dit alors que la propriété est héréditaire. L’hypothèse « ᏼ k vraie » est appelée hypothèse de récurrence.
Conclusion : l’axiome ci-dessus permet de conclure que la propriété est alors
vraie pour tout n ≥ n0 .
2. Exemple
Exercice A
Démontrer par récurrence que, pour tout n ≥ 0, n (n + 1)(2n + 1) est divisible par 6.
Solution
On veut démontrer par récurrence que la proposition ᏼ n « n (n + 1)(2n + 1) est
divisible par 6 » est vraie pour tout entier n ≥ 0.
Initialisation : au rang n = 0, 0(0 + 1)(2 × 0 + 1) = 0. Or, 0 est divisible par 6 ainsi
la proposition ᏼ n est vraie au rang n = 0.
Hérédité : on suppose que la proposition « n(n + 1)(2n + 1) est divisible par 6 »
est vraie pour un certain rang n = k ; autrement dit, on suppose que pour un
entier k positif, k (k + 1)(2k + 1) est divisible par 6.
Regardons la proposition au rang k + 1 :
(k + 1)((k + 1) + 1)( 2(k + 1) + 1) = (k + 1)(k + 2)(2k + 3)
= (k + 1)(2k 2 + 7k + 6 )
= 2k 3 + 9k 2 + 13k + 6
= (2k 3 + 3k 2 + k ) + (66k 2 + 12k + 6 )
= (2k 3 + 3k 2 + k ) + 6(k 2 + 2k + 1)
3
2
Or, k (k + 1)(2k + 1) = 2k + 3k + k .
Par hypothèse de récurrence, k (k + 1)(2k + 1) est divisible par 6 donc il existe un
entier naturel k’ tel que :
k (k + 1)(2k + 1) = 6k‘ soit 2k 3 + 3k 2 + k = 6k ′.
Ainsi,
(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1) = 6k ′ + 6(k 2 + 2k + 1)
= 6(k ′ + k 2 + 2k + 1).
L’entier (k + 1)((k + 1) + 1)( 2(k + 1) + 1) est divisible par 6 donc la proposition
ᏼ n « n(n + 1)(2n + 1) est divisible par 6 » est vraie au rang n = k + 1 : la propriété est héréditaire.
4
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
Conclusion : la propriété ᏼ n « n (n + 1)(2n + 1) est divisible par 6 » est vraie
pour n = 0 et elle est héréditaire, donc, pour tout n ≥ 0, n(n + 1)(2n + 1) est
divisible par 6.
Remarque
On montre (voir exercice de synthèse VI de la séquence 1 du cours de mathématiques, tronc commun) l’égalité vraie pour tout n ≥ 1 :
n
∑k2 =
k =1
n (n + 1)(2n + 1)
.
6
On retrouve que pour tout n ≥ 1, n (n + 1)(2n + 1) est divisible par 6 puisque
n
n(n + 1)(2n + 1) = 6N où N est l’entier naturel N = ∑ k 2.
k =1
C
Tableur et codage de caractère
Le tableur possède des fonctions utiles pour coder et décoder des caractères par
des nombres entiers : les fonctions CODE et CAR.
La
fonction CODE convertit le premier caractère du texte en un nombre (suivant la table de code active sur l’ordinateur).
Syntaxe : =CODE(“Texte“)
Par exemple, CODE(“Mathématiques“) renvoie le codage du « M » (majuscule)
à savoir 77 ;
CODE(“mathématiques“) renvoie le codage du « m » (minuscule) à savoir 109.
La fonction CAR convertit un nombre entier compris entre 1 et 256 en un
caractère (suivant la table de code active sur l’ordinateur).
Syntaxe : =CAR(nombre)
Par exemple, CAR(84) renvoie le caractère « T » (majuscule) ; CAR(116) renvoie
le caractère « t » (minuscule).
Séquence 1 – MA03
5
© Cned - Académie en ligne
D
Fonction partie entière
Définition
Tout réel peut être encadré par deux entiers relatifs de la manière suivante.
Pour tout réel x, il existe un unique entier relatif n tel que n ≤ x < n + 1.
L’entier n est appelé la partie entière de x et est noté E(x).
Remarque
Exercice B
La partie entière d’un réel est donc l’entier relatif qui lui est directement inférieur.
Calculer les parties entières suivantes : E(10,5), E(5), E(–2,3).
Dans un repère, représenter la fonction partie entière sur l’intervalle [–4 ; 4].
Solution
On a 10 ≤ 10, 5 < 11 donc E(10,5) = 10.
On a 5 ≤ 5 < 6 donc E(5) = 5.
Enfin −3 ≤ −2, 3 < −2 donc E( −2, 3) = −3.
Si −4 ≤ x < −3 alors E( x ) = −4.
Si −3 ≤ x < −2 alors E( x ) = −3, etc.
On obtient la courbe suivante :
3
2
1
0
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
–1
–2
–3
point inclus
point exclus
–4
Remarque
6
© Cned - Académie en ligne
Pour tout entier relatif n, la fonction « partie entière » n’est pas continue en n.
Séquence 1 – MA03
Fonction partie entière et calculatrice
Texas Instrument
Casio
Fonction Intg
Fonction Int
Fonction partie entière et tableur
Fonction ENT
Séquence 1 – MA03
7
© Cned - Académie en ligne
2 Divisibilité dans A
Objectifs du chapitre
À travers le problème des clés de contrôle, nous allons approfondir la notion de
divisibilité dans .
B
Activité 1
Pour débuter
Les codes-barres
Les codes-barres sont omniprésents dans la vie courante. Ils trouvent leurs
applications dans des domaines aussi variés que la gestion des prêts d’une
bibliothèque, les caisses enregistreuses à lecture optique ou le contrôle de la
production dans l’industrie.
Les codes EAN 13 (European Article Numbering à 13 chiffres) sont des codesbarres utilisés dans le monde entier sur l’ensemble des produits de grande
consommation. Ils comportent 13 chiffres :
les deux premiers chiffres correspondent au pays de provenance du produit ou
à une classe normalisée de produits ;
les quatre chiffres suivants correspondent au codage du fabriquant ;
les six suivants forment le numéro d’article ;
le treizième chiffre est une clé de contrôle calculée en fonction des douze précédents.
La clé de contrôle sert à la vérification de la bonne saisie du code. Nous allons
nous intéresser à son calcul.
Calcul de la clé de contrôle
Un code-barres est symbolisé par le tableau suivant :
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
C10 C11 C12
R
où C1,C 2 ,...,C12 et R sont les 13 chiffres constituant le code-barres ; R est donc
la clé.
Les chiffres C1,C 3 ,...,C11 sont ceux de rangs impairs et C 2 ,C 4 ,...,C12 désignent
les chiffres de rangs pairs.
8
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
La clé R est calculée de telle sorte que :
[ (somme des chiffres de rang impair) + 3 × (somme des chiffres de rang pair) + R ]
est un multiple de 10.
a) Vérifier que l’on ne détecte pas d’erreur dans le code-barres ci-dessous.
b) Déterminer la clé associée au code-barres suivant :
c) Le système de lecture optique d’une caisse enregistreuse étant défectueux, un
employé doit saisir les codes à la main. Parmi les codes saisis, lesquels comportent à coup sûr une erreur ?
9 782940 199617
9 782940 199167
3 782940 199617
d) Calculer la clé des deux codes suivants :
1 672345 678900
7 612345 678900
Toutes les erreurs de saisie peuvent-elles être détectées grâce à la clé de contrôle ?
Remarques
La
clé de contrôle permet de détecter des erreurs de saisie d’un code-barres
(l’inversion de deux chiffres consécutifs ou un chiffre erroné par exemple) mais
elle ne permet pas de détecter toutes les erreurs (comme celle du d.).
Le
C
calcul de la clé de contrôle fait appel à la notion de divisibilité.
Cours
1. Définition
Définition 1
Soient a et b deux entiers relatifs quelconques.
On dit que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a s’il existe un
entier relatif k tel que a = b × k .
Séquence 1 – MA03
9
© Cned - Académie en ligne
Exemple
L’ensemble des multiples de 3 est E = {… ; –12 ; –9 ; –6 ; –3 ; 0 ; 3 ; 6 ; …}.
On écrit encore E = { 3k ; k ∈ } ou E = 3.
Remarque
Soit b un entier relatif.
L’ensemble des multiples de b coïncide avec l’ensemble des multiples de −b.
La proposition « b divise a » s’écrit symboliquement b | a.
2. Propriétés
Propriété 1
Transitivité
Soient a , b et c des entiers relatifs.
Si b divise a et si c divise b, alors c divise a.
Démonstration
Comme b divise a , il existe un entier k tel que a = b × k .
Comme c divise b , il existe un entier k ’ tel que b = c × k ′.
Ainsi, a = b × k = (c × k ′ ) × k = c × (k ′ × k ) = c × K où K = kk ′ donc c divise a.
Propriété 2
Combinaison linéaire entière
Soient a , b et c des entiers relatifs.
Si c divise a et b, alors pour tous les entiers relatifs n et n‘, c divise n × a + n '× b .
Remarque
Autrement dit, si c divise a et b alors il divise toutes les combinaisons linéaires
entières de a et b.
Démonstration
Comme c divise a et b , il existe deux entiers k et k ’ tels que a = kc et b = k’c.
Alors :
na + n ' b = n (kc ) + n '(k ′c )
= (nk + n 'k ′)c
= Kc où K = nk + n 'k ′
et ainsi c divise n × a + n '× b .
Exemple 1
10
© Cned - Académie en ligne
Déterminer l’ensemble de tous les diviseurs de 42.
Séquence 1 – MA03
Solution
On a : 42 = 1× 42 donc 1 et 42 sont des diviseurs de 42 ;
42 = 2 × 21 donc 2 et 21 sont des diviseurs de 42 ;
42 = 3 × 14 donc 3 et 14 sont des diviseurs de 42 ;
42 = 6 × 7 donc 6 et 7 sont des diviseurs de 42.
De plus, 42 n’est divisible ni par 4 ni par 5 donc nous avons trouvé tous les diviseurs entiers naturels de 42. Il faut compléter la liste des diviseurs positifs de 42
par leur opposé. Ainsi, l’ensemble E des diviseurs de 42 est :
E = {–42 ; –21 ; –14 ; –7 ; –6 ; –3 ; –2 ; –1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42}.
Exemple 2
Raisonnement par disjonction de cas
En raisonnant par disjonction de cas, démontrer que, pour tout entier k,
l’entier k(k+1) est pair.
Solution
1er cas : supposons que k est un entier pair.
Si k est un entier pair, alors il existe un entier n tel que k = 2n.
Alors k(k + 1) = 2n(2n + 1) donc k(k + 1), multiple de 2, est donc un entier pair.
2e cas : supposons que k est un entier impair.
Si k est un entier impair, alors il existe un entier n tel que k = 2n + 1.
Alors k(k + 1) = (2n + 1)(2n + 1 + 1) = (2n + 1)(2n + 2) = 2(2n + 1)(n + 1) donc
k(k + 1), multiple de 2, est donc un entier pair.
Exemple 3
Raisonnement par contraposée
En utilisant un raisonnement par contraposée, démontrer que, pour tout entier n,
si n 2 est impair alors n est impair.
Remarque
La proposition contraposée de la proposition « A implique B » est « non B
implique non A ». Ces deux implications sont équivalentes. Ainsi, pour démontrer
qu’une implication est vraie, il suffit de démontrer que sa contraposée l’est : pour
montrer que la proposition « A implique B » est vraie en raisonnant par contraposée, il suffit de prouver que la proposition « non B implique non A » est vraie.
Solution
La proposition contraposée de « si n 2 est impair alors n est impair » est « si n
n’est pas impair alors n 2 n’est pas impair » soit « si n est pair alors n 2 est pair ».
Supposons donc que n est entier pair. Alors, il existe un entier k tel que n = 2k.
2
Alors n = ( 2k
)2 = 2 × (2k 2 ).
Ainsi, n 2 est pair.
Nous avons prouvé que pour tout entier n, si n est pair alors n 2 est pair donc, en
raisonnant par contraposée, nous avons prouvé que, pour tout entier n, si n 2 est
impair alors n est impair.
Séquence 1 – MA03
11
© Cned - Académie en ligne
Remarque
Divisibilité et calculatrice
À la calculatrice, une méthode pour déterminer si b divise a consiste à regarder
 b b
si E   = où E désigne la fonction « partie entière ».
a a
 b b
Ceci repose sur l’équivalence suivante : b divise a si, et seulement si, E   = .
a a
Exemple 4
Écrire un algorithme donnant tous les diviseurs d’un entier N donné.
Comment utiliser une feuille de calculs pour obtenir les diviseurs d’un entier
entré dans la cellule C2 ?
Solution
A
1
2
« =1 »
3
« =A1+1 »
B
C
Diviseurs
Nombre ?
« =SI(ENT($C$2/A2)=$C$2/A2) »
4
5
On saisit les formules entre « » dans chaque cellule puis on les « copie-glisse »
dans les colonnes A puis B.
12
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
D
Exercice 1
Exercices d’apprentissage
Vrai/Faux
Justifier les réponses.
a) Si un entier est divisible par 49 et par 35 alors cet entier est divisible par
49 × 35 = 1715.
b) Si un nombre est divisible par 3 alors il est divisible par 9.
c) Si a divise b et c alors a divise b − c .
d) La somme de deux diviseurs d’un entier est encore un diviseur de cet entier.
e) Le produit de deux entiers pairs est pair.
f) Le produit de deux entiers impairs est impair.
Exercice 2
Démontrer que, pour tout entier n, si n 2 est pair alors n est pair.
Exercice 3
Nombres amis
Deux entiers distincts sont dits « amis » si la somme des diviseurs positifs de
A excepté A est égale à B et la somme des diviseurs positifs de B excepté B est
égale A.
a) Démontrer que 220 est un nombre ami d’un autre entier.
b) Écrire un programme qui, prenant en entrée une borne, affiche tous les couples
de nombres amis entre 1 et cette borne. Implémenter cet algorithme sur Algobox. (On pourra reprendre et compléter l’algorithme qui calcule la somme de
tous les diviseurs positifs d’un nombre donné).
c) Afficher tous les couples de nombres amis compris entre 1 et 1 500.
Exercice 4
Sur le catalogue d’une entreprise de vente par correspondance, la référence de
chaque article est constituée d’un nombre à cinq chiffres xyztu (le premier de ces
chiffres x étant différent de zéro), suivi d’une lettre majuscule choisie entre A et
N, à l’exception de la lettre I.
À cette lettre majuscule est associé un nombre appelé « clé » selon le tableau
suivant :
Lettre
A
B
C
D
E
F
G
H
J
K
L
M
N
Clé
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
À des fins de contrôle, on impose, pour chaque référence, que la somme du
nombre à cinq chiffres et de la clé obtenue grâce au tableau, soit un nombre
divisible par 13.
Les deux références suivantes vérifient-elles la condition précédente ? Justifier.
13587 M
45905 A
Séquence 1 – MA03
13
© Cned - Académie en ligne
On veut retrouver la lettre d’une référence dont il ne reste que le nombre à
cinq chiffres 26014. Déterminer la lettre manquante.
Exercice 5
Déterminer tous les couples d’entiers naturels (a ; b ) tels que (a + 4 )(b − 1) = 14.
Exercice 6
Raisonnement par récurrence
En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier
n
n
naturel n , 7 − 2 est un multiple de 5.
Exercice 7
Démontrer que, pour tout entier naturel non nul n :
n
An = (n + 1)(n + 2)...(2n − 1)(2n ) est divisible par 2 .
Exercice 8
On considère le nombre A = n (n + 1)(n + 2).
a) Démontrer que A est divisible par 2.
b) Démontrer que A est divisible par 3.
c) Si A est divisible par 8, n est-il pair ?
14
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
3 Division euclidienne
A
Objectifs du chapitre
En utilisant à nouveau le problème des clés de contrôle, nous allons approfondir
la notion de division euclidienne.
B
Activité 2
Pour débuter
Numéro d’inscription au répertoire (ou numéro de sécurité sociale)
Toute personne née en France métropolitaine et dans les départements d’outremer (DOM) est inscrite au répertoire national d’identification des personnes
physiques (RNIPP). L’inscription à ce répertoire entraîne l’attribution du numéro
d’inscription au répertoire (NIR) par l’I.N.S.E.E. (Institut National des Statistiques
et des Etudes Economiques). Ce numéro est utilisé notamment par les organismes d’assurance maladie pour la délivrance des « cartes vitales ».
Le NIR est communément appelé « numéro de sécurité sociale » ou «numéro INSEE » .
Ce numéro est constitué de 15 chiffres. En lisant de gauche à droite :
le premier chiffre est 1 s’il s’agit d’un homme et 2 s’il s’agit d’une femme ;
les deux chiffres suivants désignent les deux derniers chiffres de l’année de naissance ;
les deux chiffres suivants désignent le mois de naissance ;
les cinq chiffres suivants désignent le lieu de naissance : en général, les deux
chiffres du numéro de département de naissance suivis des trois chiffres répertoriant la commune de naissance ;
les trois chiffres suivants désignent le numéro d’inscription sur le registre d’état
civil ;
les deux chiffres suivants résultent d’un calcul.
Nous allons voir comment peut être détectée une erreur dans un numéro de
sécurité sociale.
Voici des numéros de sécurité sociale :
z 2 77 08 44 109 048 91
z 1 16 10 17 192 162 26
z 2 26 04 29 189 222 66
zvotre numéro si vous le connaissez.
Séquence 1 – MA03
15
© Cned - Académie en ligne
À l’aide de la fonction « MOD » du tableur, calculer le reste r de la division
euclidienne des 13 premiers chiffres des numéros de sécurité sociale précédents par 97 puis calculer 97-r (enlever les espaces du numéro de sécurité
sociale pour faire le calcul). Que constatez-vous ?
Quel sera le numéro de sécurité sociale d’un garçon né le 26 juillet 2011 dans
le département de Seine-et-Marne (77) dans la commune de Meaux (284) et
enregistré au registre des naissances de l’état civil sous le numéro 136 ?
Parmi les numéros de sécurité sociale suivants, déterminer ceux qui ne sont
pas corrects :
z2 85 07 86 183 084 15
z2 85 07 86 183 048 15
z2 85 07 86 183 049 15
Remarques
C
Les
deux derniers chiffres du numéro de sécurité sociale constituent la clé de
contrôle du numéro (encore appelée clé). C’est grâce à cette clé que l’on peut
détecter des erreurs.
Ce système ne permet pas de déceler toutes les erreurs mais il détecte les erreurs
les plus courantes. Par exemple, l’inversion de deux chiffres ou une erreur sur un
chiffre. (L’exercice 26 propose une démonstration partielle de cela).
Le calcul du numéro de sécurité sociale fait appel à la division euclidienne
qui fait l’objet de ce chapitre.
Cours
1. Définition
Théorème 1
Division euclidienne dans Soient a et b deux entiers naturels avec b non nul. Il existe un unique couple (q ; r )
d’entiers naturels tel que :
a = bq + r et 0 ≤ r < b.
Définition 2
Division euclidienne dans L’entier naturel a est le dividende et b est le diviseur.
L’entier naturel q s’appelle le quotient et r s’appelle le reste de la division
euclidienne de a par b.
a : dividende b : diviseur
..
q : quotient
.
r : reste
16
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
Remarques
Si
r = 0 (reste nul), alors a = bq, donc a est un multiple de b, ce qu’on traduit
encore par b est un diviseur de a, ou par a est divisible par b.
La réciproque est vraie : si a est divisible par b alors le reste dans la division
euclidienne de a par b est nul.
Observons
les écritures suivantes :
343 12
103 28
7
343 12
103 27
19
343 12
103 26
31
343 = 12 w 28 + 7 et 0 f7< 12 343"12 w 27 + 19 343 = 12 w 26 + 31
La condition sur le reste n’est vérifiée que dans la première écriture : c’est cette
condition qui assure l’unicité du couple (q ; r ).
Interprétation
géométrique :
tmultiple de b
a
0
Démonstration
bq
b (q + 1)
Nous admettons la propriété suivante :
Dans , une partie non vide admet un plus petit élément. (*)
Existence de q et r
tPremier cas : si 0 ≤ a < b , le couple (0 ; a) convient pour quotient et pour reste.
t Second cas : supposons maintenant a ≥ b. Les entiers naturels a et b sont alors
strictement positifs.
Soit M l’ensemble des multiples de b strictement supérieurs à a. L’entier 2ba
appartient à M car 2ba est un multiple de b strictement plus grand que a.
L’ensemble M est donc non vide dans et admet un plus petit élément m
d’après (*). L’entier m est tel que le multiple de b précédent est inférieur ou égal
à a.
Notons n le multiple de b qui précède m.
L’entier m étant strictement positif, n est positif (éventuellement, n peut être égal
à 0 qui est bien un multiple de b).
Comme n est un multiple de b, il existe un entier q tel que n = bq et comme
n ≤ a , on a bq ≤ a et q ∈ .
Comme m est le multiple de b qui suit n, m = b (q + 1).
Comme m est strictement supérieur à a, on a a < m et ainsi a < b (q + 1).
Ainsi, il existe un entier q tel que bq ≤ a < b (q + 1).
Posons r = a − bq . Comme a, b et q sont des entiers, r est un entier.
De bq < a, on déduit que r ≥ 0 et donc que r ∈. De a < b (q + 1), on déduit
que a − bq < b et ainsi que r < b.
Séquence 1 – MA03
17
© Cned - Académie en ligne
On a donc trouvé deux entiers naturels q et r tels que a = bq − r avec 0 ≤ r < b.
t Bilan : dans tous les cas, il existe un couple d’entiers naturels (q ; r ) tels
que a = bq + r et 0 ≤ r < b.
Unicité de q et r
Supposons qu’il existe deux couples d’entiers (q ; r ) et (q’ ; r’ ) tels que :
a = bq + r = bq ′ + r ′ (1), avec r et r ’ tels que 0 ≤ r < b et 0 ≤ r ′ < b (2).
Montrons que ces couples sont égaux.
De (1), on déduit que bq − bq ′ = r ′ − r donc que b (q − q ′ ) = r ′ − r . Comme q − q ′
est un entier, on déduit que r ′ − r est un multiple de b.
De (2), on déduit que −b < −r ≤ 0 et donc que −b < r ′ − r < b.
Donc r ′ − r est un multiple de b strictement compris entre –b et b. Il y en a un
seul : c’est 0.
Donc r ′ − r = 0 et r = r ′.
On a alors b (q − q ′ ) = r ′ − r = 0 d’où b (q − q ′ ) = 0. Comme b ≠ 0, q − q ′ = 0
et q = q ′.
Il y a donc unicité du couple (q ; r ).
Théorème 2
Division euclidienne dans La définition précédente s’étend au cas où a et b sont des entiers relatifs avec b
non nul.
Il existe un unique couple (q ; r ) avec q ∈ et r ∈ tel que a = bq + r et
0 ≤ r <| b | .
Remarque
Exemple 5
Solution
Ce théorème est admis. La démonstration découle de la démonstration précédente.
Effectuer la division euclidienne de 431 par –17 puis de –121 par –9.
On a 431 = –17 × (–25) + 6 avec 0 ≤ r <| −17 | donc q = −25 ∈ et r = 6 ∈. On a −121 = –9 × 14 + 5 avec 0 ≤ r <| −9 | donc q = 14 ∈ et r = 5 ∈.
Exemple 6
18
© Cned - Académie en ligne
Quels peuvent être le diviseur et le quotient d’une division euclidienne dont le
dividende est 557 et le reste est 85 ?
557
?
85
?
Séquence 1 – MA03
Solution
Notons d le diviseur cherché et q le quotient cherché.
Ces nombres doivent vérifier :
557 = dq + 85 et 85 < d .
Ainsi, dq = 557 – 85 = 472.
On peut procéder par essais successifs :
Si
q = 1
d = 472
on a bien d > 85
Si
q = 2
d = 236
on a bien d > 85
Si
q = 3
d ∉N
Si
q = 4
d = 118
Si
q = 5
d ∉N
Si
q = 6
d ∉N
Si
q = 7
d ∉N
Si
q = 8
d = 59
on a bien d > 85
mais d < 85
Il est inutile de continuer car la condition d > 85 ne sera plus respectée.
Nous avons trouvé trois couples éventuels. Conviennent-ils ?
Division euclidienne de 557 par 472 : 557 = 472 × 1+ 85.
Division euclidienne de 557 par 236 : 557 = 236 × 2 + 85.
Division euclidienne de 557 par 118 : 557 = 114 × 4 + 85.
Les trois couples conviennent.
Les solutions sont donc q = 1 et d = 472 ; q = 2 et d = 236 ; q = 4
et d = 118
Ainsi, ᏿ = {(1 ; 472) ; (2 ; 236) ; (4 ; 118)}.
Exemple 7
Vrai/Faux
Soient n et p deux entiers naturels.
a) Si n a pour reste 2 dans la division euclidienne par 7 alors 2n a pour reste 14
dans la division euclidienne par 7.
b) Si 5 divise np alors 5 divise n et 5 divise p.
c) Si le reste dans la division euclidienne de n par p est 3 alors le reste dans la
division euclidienne de n² par p est 9.
Solution
a) Faux.
Il existe un unique entier naturel q tel que n = 7q + 2 donc 2n = 7 × 2q + 4 soit
2n = 7q ′ + 4 avec 0 ≤ 4 < 7.
Ainsi, le reste de la division euclidienne de 2n par 7 est 4.
b) Faux.
Voici un contre-exemple : n = 5 et p = 7.
Séquence 1 – MA03
19
© Cned - Académie en ligne
On a 5 divise 5 × 7 = 35 donc 5 divise np ; 5 divise 5 donc divise n mais 5 ne
divise pas 7 donc ne divise pas p.
c) Faux.
La condition 0 ≤ 9 < p n’est pas toujours vérifiée.
Voici un contre-exemple : n = 17 et p = 7.
La division euclidienne de 17 par 7 donne 17 = 2 × 7 + 3 avec 0 ≤ 3 < 7.
Mais la division euclidienne de 17² par 7 donne 172 = 289 = 41× 7 + 2 avec
0 ≤ 2 < 7 (et non pas 172 = 289 = 40 × 7 + 9 car 9 ≥ 7 ).
2. Algorithmique
L’algorithme qui suit permet d’obtenir le quotient q et le reste r de la division
euclidienne d’un entier naturel a par un entier naturel b non nul.
Langage naturel
Entrées :
Initialisation :
a ; b
q =0
r =a
Traitement :
Sorties :
20
© Cned - Académie en ligne
Algobox
Séquence 1 – MA03
Tant que r ≥ b faire
Tant que le reste est supérieur ou égal
au diviseur :
Mettre q + 1 dans q
– on augmente le quotient de 1
Mettre r − b dans r
– on soustrait le diviseur du reste
Fin du Tant que
Afficher q et r.
Langages « calculatrice »
La plupart des calculatrices ne permettent pas de déterminer directement le quotient et le reste dans la division euclidienne d’un entier a par un entier b.
On peut remédier à cela en implémentant l’algorithme précédent sur calculatrice :
Texas Instrument
Remarques
Casio
Sur une calculatrice, un moyen beaucoup plus rapide pour déterminer le
quotient et le reste d’une division euclidienne consiste à utiliser la fonction
 b
« Partie Entière » : q = E   et r = a – bq.
a
Sur le tableur, on peut utiliser les fonctions ENT pour obtenir le quotient et
MOD pour obtenir le reste.
Sur le logiciel Algobox, on peut utiliser % : x%y nous donne le reste de la division euclidienne de x par y.
Séquence 1 – MA03
21
© Cned - Académie en ligne
3. Codages : chiffrement de César
et chiffrement de Vigenère
Définition 3
Chiffrer : écrire un message en un code conventionnel et secret.
Crypter : réaliser une opération par laquelle un message est rendu inintelligible à
quiconque ne possède pas la clé permettant de retrouver la forme initiale.
Déchiffrer : traduire en clair.
Décrypter : traduire en clair un message chiffré dont on ignore la clé.
Clé de chiffrement : paramètre (nombre, mot …) qui permet de chiffrer et/ou déchiffrer un message.
« Le monde arabe connaît la cryptographie consistant à permuter les lettres de
l’alphabet ; Al Kindi (vers 805-873) explique qu’il est facile de déchiffrer des messages si on connaît la fréquence de chaque caractère dans la langue d’écriture
du message (la résolution de l’énigme de la superbe nouvelle, Le scarabée d’or,
d’Edgar Poe (1809-1849) est basée sur la même idée).
Gabriel de Lavinde, secrétaire d’un pape d’Avignon, imagine en 1379 la première
nomenclature : coder les mots par des nombres arbitraires ; le système de Lavinde
chiffrait une vingtaine de mots essentiels (pape, etc.) et laissait le reste du texte
en clair ; on le perfectionna en augmentant le nombre de mots chiffrés. Autour de
1900, les nomenclatures formaient des dictionnaires avec une centaine de mots
chiffrés par page ; en cas de vol par l’ennemi, tout était à refaire.
Alberti (1404-1472) eut une autre idée : changer de temps en temps la permutation des lettres de l’alphabet. Systématisé par Bellaso (né en 1505), le système aboutit à la grille de Vigenère (1523-1596) où la permutation est changée
à chaque lettre en fonction des lettres d’un mot clé, seul à mémoriser entre correspondants. Ce système, un peu difficile à appliquer sans erreur, fut longtemps
considéré comme indéchiffrable, jusqu’à ce qu’on invente des méthodes pour le
casser dans les années 1850. »
Revue Diagonales, Cryptographie, no 1, 2009-2010, Cned
a) Chiffrement de César
Le chiffrement de César est une méthode de chiffrement qui fonctionne par décalage des lettres de l’alphabet.
Partie A Chiffrement
Étudions le chiffrement de César sur un exemple :
Étape 1
Choisissons un décalage, par exemple 3 et un mot à chiffrer, par exemple
HYPOTHESE.
Étape 2
La lettre H est décalée de 3 vers la droite et devient K.
22
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
La lettre Y est décalée de 3 vers la droite et devient B (on considère que notre
alphabet est circulaire c’est-à-dire après la lettre Z, on a la lettre A), etc.
On obtient ainsi le code : KBSRWKHVH
Y
X
W
V
U
T
S
A
Z
A
Z
B
C
D E
B C
F
Y
D
X
G
E
H
W
F
I
Y
X
W
V
J
K
L
R
T
Q
O
S R
Q P
P
O
M
N
G
U
H
T
I
M
U
V
J
N
K
L
L
M
Z
A
B
P Q
N O
C
R S
D
T
K
J
I
E
U F
V G
W H
X I
S H
Y
G
J
R F
Z
E D
A
Q
K
C B
P
L
O N M
En utilisant un décalage de 15, chiffrer le message suivant : CHIFFREMENT DE
CESAR
Exemple 8
La lettre C est décalée de 15 vers la droite et devient R.
La lettre H est décalée de 15 vers la droite et devient W, etc.
Solution
Texte clair
C
H
I
F
F
R
E
M
E
N
T
D
E
C
E
S
A
R
Texte chiffré
R
W
X
U
U
G
T
B
T
C
I
S
T
R
T
H
P
G
On obtient ainsi le code :
RWXUUGTBTCISTRTHPG
Partie B Déchiffrement
On utilise le même principe pour déchiffrer en effectuant un décalage des lettres
vers la gauche.
Décoder le message suivant sachant que le décalage est de 15 :
YTIGPKPXAATATHBPIWTBPIXFJTH.
Exemple 9
La lettre Y est décalée de 15 vers la gauche et devient J.
La lettre T est décalée de 15 vers la gauche et devient E, etc.
Solution
Texte
chiffré
Y
T
I
G
P
K
P
X
A
A
T
A
T
H
P
I
W T
Texte
déchiffré
J
E
T
R
A
V
A
I
L
L
E
L
E
S M A
T
H
B
B
P
I
X
F
J
T
H
E M A
T
I
Q U
E
S
Séquence 1 – MA03
23
© Cned - Académie en ligne
En utilisant un décalage de 15, coder le message BONJOUR sur le tableur. À
chaque lettre, on associera sa position dans l’alphabet (A : 0 ; B : 1, etc.) et on
pourra utiliser la fonction MOD.
Exemple 10
Solution
b) Chiffrement de Vigenère
Partie A Chiffrement
Étudions le chiffrement de Vigenère sur un exemple.
Étape 1
Choisissons un mot pour clé de chiffrement, par exemple le mot CODE, et un mot
à chiffrer, par exemple HYPOTHESE.
Étape 2
Faisons coïncider le texte et la clé de chiffrement en répétant la clé autant de fois
que nécessaire :
Texte
H
Y
P
O
T
H
E
S
E
Clé
C
O
D
E
C
O
D
E
C
Étape 3
À une lettre de l’alphabet correspond un nombre selon le tableau suivant :
Lettre
Nombre
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
Étape 4
Comme à la lettre C correspond le nombre 2, la 1re lettre du code (H) sera décalée
de 2 lettres vers la droite. Ainsi H devient J.
Comme à la lettre O correspond le nombre 14, la 2e lettre du code (Y) sera décalée de 14 lettres vers la droite (on considère que notre alphabet est circulaire i.e.
après la lettre Z, on a la lettre A). Ainsi Y devient M.
Comme à la lettre D correspond le nombre 3 , la 3e lettre du code (P) sera décalée
vers la droite de 3 lettres. Ainsi P devient S etc.
On obtient ainsi le code : JMSSVVHWG.
Remarques
24
© Cned - Académie en ligne
Dans cet exemple, la lettre E est chiffrée différemment suivant sa position dans
le texte : ceci rend plus difficile le décryptage du code par un ennemi.
Deux lettres différentes peuvent être chiffrées par une même lettre. Dans
l’exemple, le S chiffre à la fois le P et le O.
Séquence 1 – MA03
En utilisant pour clé le mot CODE, chiffrer le message suivant : CHIFFREMENT DE
VIGENERE
Exemple 11
On pourra compléter le tableau suivant :
Texte clair
C
H
I
F
F
R
E
M
E
N
T
D
E
V
I
G
E
N
E
R
E
Clé
Décalage
Texte chiffré
Solution
Texte clair
C
H
I
F
F
R
E
M
E
N
T
D
E
V
I
G
E
N
E
R
E
Clé
C
O
D
E
C
O
D
E
C
O
D
E
C
O
D
E
C
O
D
E
C
Décalage
2
14
3
4
2
14
3
4
2
14
3
4
2
14
3
4
2
14
3
4
2
Texte chiffré
E
V
L
J
H
F
H
Q
G
B
W
H
G
J
L
K
G
B
H
V
G
Partie B Déchiffrement
On utilise le même principe pour déchiffrer en effectuant un décalage des lettres
vers la gauche :
Comme à la lettre C correspo nd le nombre 2, la 1re lettre du code J sera décalée
de 2 lettres vers la gauche. Ainsi J devient H…
Texte
chiffré
J
M
S
S
V
V
H
W
G
Clé
C
O
D
E
C
O
D
E
C
Décalage
2
14
3
4
2
14
3
4
2
Texte clair
H
Y
P
O
T
H
E
S
E
Déchiffrer le texte suivant en utilisant la clé CODE : LSVYKGHRVSUQKBDPG
On pourra compléter le tableau suivant :
Exemple 12
Texte chiffré
L
S
V
Y
K
G
H
R
V
S
U
Q
K
B
D
P
G
Clé
Décalage
Texte clair
Solution
Texte chiffré
L
S
V
Y
K
G
H
R
V
S
U
Q
K
B
D
P
G
Clé
C
O
D
E
C
O
D
E
C
O
D
E
C
O
D
E
C
Décalage
2
14
3
4
2
14
3
4
2
14
3
4
2
14
3
4
2
Texte clair
J
E
S
U
I
S
E
N
T
E
R
M
I
N
A
L
E
Séquence 1 – MA03
25
© Cned - Académie en ligne
Afin de faciliter le chiffrement et le déchiffrement d’un message, Vigenère a mis
au point le tableau ci-dessous.
Remarque
Par exemple, en reprenant le codage du H précédent, on repère la ligne correspondant au H et à la colonne correspondant au C.
À l’intersection, on obtient la lettre codée à savoir le J.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Clé K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
26
© Cned - Académie en ligne
A
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
B
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
A
C
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
A
B
D
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
A
B
C
Séquence 1 – MA03
E
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
A
B
C
D
F
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
A
B
C
D
E
G
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
A
B
C
D
E
F
H
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
Lettres
I J K
I J K
J K L
K L M
L M N
M N O
N O P
O P Q
P Q R
Q R S
R S T
S T U
T U V
U V W
V W X
W X Y
X Y Z
Y Z A
Z A B
A B C
B C D
C D E
D E F
E F G
F G H
G H I
H I J
L
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
M
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
N
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
O
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
P
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
Q
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
R
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
S
S
T
U
V
W
X
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
T
T
U
V
W
X
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
U
U
V
W
X
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
V
V
W
X
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
W
W
X
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
X
X
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
Y
Y
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Z
Z
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
c) Comparaison des deux méthodes de chiffrement précédentes
Voici une approximation en pourcentage de la fréquence d’apparition théorique
des lettres de l’alphabet en français :
Fréquence d’apparition des lettres en français
16
14
12
10
8
6
4
2
0
A B C D E
F G H
I
J
K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Séquence 1 – MA03
27
© Cned - Académie en ligne
Exemple 13
Un même texte en français a été chiffré en utilisant le chiffrement de César puis
le chiffrement de Vigenère. Voici le résultat obtenu et la fréquence d’apparition
des différentes lettres de l’alphabet :
Chiffrement de César
Chiffrement de Vigenère
TMAWQ ZUIZQ MMABD MVCMU MKPMZ KPMZM BUILM UIVLM
AQRMD WCTIQ AUMUI ZQMZI DMKMT TMRIQ LQBYC MKMTI
UMBIQ BMOIT MBYCM VWCAX WCZZQ WVATM NIQZM AQMTT
MTMDW CTIQB MTTMI DWCTC AIDWQ ZITWZ AAQRM TIQUI QARIQ
ZMXWV LCKWU UMRMT IDIQA LMRIN IQBCV MNWQA YCMKM
TIVMA QOVQN QIQBZ QMVUI QAYCM AIVAL WCBMR MVMTI
QUIQA XIAXW CZYCW QUMXW CAMZI TWZAI BMTTM LQBRM
TCQIQ MFXTQ YCMYC MKMTI VIDIQ BICKC VMQUX WZBIV KMMBY
CMAQM TTMTM LMAQZ IQBVW CAXWC DQWVA VWCAU IZQMZ
LIQTT MCZAK MBIQB MTTMY CQTML MUIVL IQBMB UWQRM
UMKWV BMVBI QALML QZMWC QMTTM IWJAM ZDMIT WZAYC
MTMUI ZQIOM MBIQB CVMKP WAMOZ IDMRI QZMXW VLCVW
VMTTM AMABB CMCVU WUMVB MBMTT MUIZM OIZLM MVAQT
MVKMX CQAMT TMIXI ZTMMT TMDWC TIQBA QUXTM UMVBA
IDWQZ AQRIC ZIQAI KKMXB MTIUM UMXZW XWAQB QWVDM
VIVBL CVMIC BZMNM UUMIY CQRMA MZIQA IBBIK PMLMT
IUMUM NIKWV RIQLQ BVIBC ZMTTM UMVBM TTMAM ABLMU
IVLMI TWZAA QMTTM UIQUI QBMBU WQRMV MXWCD IQAZQ
MVAID WQZAC ZKMXW QVBIX ZMACV ICBZM UWUMV BLMAQ
TMVKM MTTMI UCZUC ZMYCM RMBIQ AJQHI ZZMYC MTTMU
IQUIQ BAIVA LWCBM IKICA MLMKM TIUIQ AYCMX MCBMB ZMCVR
WCZRM TILMO WCBMZ IQAXW CZTMA UMUMA ZIQAW VAKWU
UMRMU MBIQA IQAVI GIVBZ QMVII RWCBM ZMTTM UIXZQ ATMJZ
IAMVA WCZQI VBMBM TTMIL MKTIZ MYCMT TMDWC TIQBA MUIZQ
MZIDM KUWQR IQZMX WVLCY CMVWC ATMNM ZQWVA LMAYC
MTTMT MDWCL ZIQBR MTCQI QXIZT MITWZ ALMTI XZWXW
AQBQW VLCXI BZWVM BUIZQ MUILQ BYCMT TMIQU MZIQB KWVVI
QBZMX IZQAR MTCQI QIXXZ QAYCM RGIDI QADMK CLIVA CVBMU
XAMBM TTMUI LMUIV LMKWU UMVBK MBIQB RMTCQ IQLQB
KMABA ITMQT GILMA XQOMW VAMBL MAKWC ZAVWQ ZMATM
AOMVA WVBTI XMICJ TIVKP MXCQA VWCAI DWVAU IZKPM MBBZI
DMZAM TIDQT TMXIZ AMAOZ IVLMA ZCMAT MANMU UMAMB
IQMVB JMTTM AMBRI QLMUI VLMIU IZQMA QMTTM TMZMU
IZYCI QBMTT MUILQ BYCMW CQMBY CMTTM UMKWU XZMVI
QBXMV LIVBC VUWUM VBVWC AVIDW VAXTC AXIZT MRMDW
CTIQA KMXMV LIVBY CMTTM ZMABM IDMKU WQMBR MTCQI
QLQBY CMVWC AXWCD QWVAL QVMZM VAMUJ TMKPM HKMTM
ABMMT TMMVI DIQBJ QMVMV DQMUI QAMTT MIDIQ BINIQ
ZMVWC AMBQW VAXZM ALMKP MHUWQ MBRMT CQIQL QBICZ
MDWQZ MTTMU IZMOI ZLMBC VMDMC FXIAA IDWQZ KMYCM
RIQIN IQZMR MDWCT IQAJQ MVTMA IDWQZ UIQAR MVGID IQAXI
AXMVA MMBKM ABKMY CMTTM IDIQB TIQZL MUMZM XZWKP
MZITW ZALMD IVBUW VIQZM UXMBZ MMTTM IMVKW ZMZQM
BMTTM IMCDM ZAUWQ CVUWC DMUMV BLMBW CBTMK WZXAX
WCZUM BMVLZ MAIJW CKPM
LYTCC KPUEU SQWGO NRMYU WTLXF WYRVZ XDSOE BLNJI
WBSIH SMFIA EUWMM RZGYE MGGXL TXUEU HUXUW PCXPM
QRMRW NKKSF VEUME OZYDP AYIYI ZRLLM YDMKS MBIWL
VPWKW LLTQH RCLTI YSYEY LOPTN VEOSJ WKXNX TTMEV IYDEA
AIBOE FBCWE XIWXP MZNBN HVBLJ SZHWU IWGML ZYWGR
EAVWE WTSZT VTAXX WRSXE ZKEOW DEFGO SCEXX YGINE BFEKZ
PLWJF MRFJI GMMIG OJQFI PHJGP ISDLM WIFXR LPINK IBINP
QKYUZ SKWBU RJZSM GTUKM FSVSG OEWSB WJJEU WLSCH
DFVXS QZAAR GMCRG YJGOC NTSFV RBNKV EWMVD DIAWP
WJFAP KLDIG WWPWF IKSIV HQMBQ PIGXT XCVSI YIVSA WEVLT
WMWIQ BZIFJ WYCEV ICNHL VMHUD CCWYF IEHQC VBTKM
ZKEAL YBTCX IWUAZ LHIME DVVHO VWUPV NUFPI HIWWX
FYGVQ FQNNB PEMPO YEASP KDLQG SDMQW PNIIQ FIFGS TSUSU
EOIFC TWYSP PRZXE MEBLG TSVKW SNSKI AAYAC VNBBA KOEGV
LPLAR SXTDD HOMJH CHQPR ZOZXQ NWISO BJVJX AGVNU
PMAWD EGLIY EXMJG TIVYT SYMEE RATQU NRKHB TVTEY DIXPI
OPNMI XPRLV GNJIE UEOIS LPCWD IQPCL MLMFA QMHXF CCCIY
EGSMK IZSKQ SAJAK WLVWN VVSJT NRXDT JIKJR TCMVW HOSYR
LMIEI CGUCM WWPRT QGVZN MIHMP NWKOK ZFZRE KAIIY
RELME MWZFZ HFTFW JCHYP ETSIM WOIUS WEULB GKNIR INMIV
YEFRD FMRYT FYDMZ GOKQF IMLHC JGZWS UXMQG EADSB
PWGHO TEZYQ JHIAI UMBRS CNGTZ AWBNG AOHWW FYQQP
QCWRC VDYSD OFZVK OAVRE FXVKE TDPEV HGYTJ NUZIC XEDGF
PSXHA RSSUI RJLZW RAQPN SLVQD BCDHJ UPBBD WXIYI ELOVK
WSMJY RETIC TJILW IIWFY LPLLU ADLVT PEERV UHXEE XMFTG
KMHXO DXYFU BCARH XHEIA EUTDK AQKYP PTEMP ICUUB
GFRWA QECMT DLASK PPXCN KOFJZ TDQAI KJAIC PAJYF OQDRT
LVLHQ KWVKI XPWYA FLAIE HWUSO DMFIC MXNBC JMXUZ
CPHTH PKLXE PDECM MUWHM CUUQS ALNXV YAUFY KGHFV
VZWCW DGTYS URXEJ TQEMV TSZKZ EBUZU USLUE OOVLX EDGTI
IVERT ZQVFX COPOP DYGLV KETRV LNPIJ YUPWE EAYHQ FSMXX
LIVRL QMCLX ASGAA XLHQE GHXOG FWMIV MWPDT PXZXQ
SMQAU MLNPX EDCKI BIFIB NMQXD NZPCW XIUFA RYIES MMYIF
HNGTC FYCZJ EHAHM WTOIT YWGDI MHLVD SUIDZ NZUBW
EIIXR FHNEU OVDLT GYQTM TNYTY CQIMB SAJWS ILBTC IRNJU
FRSYO KVNIX MSSZW DMIVF DIPAE HUWZR YKERO DSYSF GEKAB
CHFYE HWRHI ASKPU ISZRZ TIXLM JHRBN KNXNS EEPZW DHWRV
MMSGL EGBPP MXOKK MLDYD SIDIE XLWSZ JVQKT VQHTC FXJYN
BCTAW RKCCI VVYIQ YHMRI UAFPN MGSNO EKWUB IVGVW
SNSWG MQCWZ YVJMZ DMNTR KPMGS GLTSY WXRIU XIWFQ
IZRMC LITCL IPYJE QCSFB RTOBI ZDOEB EOEMB PHQFY PJRWV
FVTDH EZRTF VQVAQ TGSZM RIMNI TJUGX UVQBN EEUQN KFLXZ
IGRXG AGHSJ PILFH NRZRD IFTKS MWPW
28
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
18
18
16
16
14
14
12
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
A B C D E F G H I J K L MN O P Q R S T U V Y X Y Z
A B C D E F G H I J K L MN O P Q R S T U V Y X Y Z
Que constatez-vous ? Quel semble être le code le plus robuste ?
Quelle lettre semble coder le « E » dans le texte chiffré par le code de César ?
En déduire la longueur du décalage et déchiffrer la première ligne.
Facultatif : copier le code de César dans une feuille de traitement de texte et
le déchiffrer en remplaçant chaque lettre du texte chiffré par la lettre qu’elle
code en minuscule. Pour cela, on pourra utiliser la fonction « remplacer » du
traitement de texte.
Solution
Avec le chiffrement de César, il y a une grande différence de fréquence d’ap-
parition des différentes lettres (de 0 à 18,5 %) alors qu’avec le chiffrement
de Vigenère cette fréquence est comprise entre 2,6 et 6,7 % pour toutes les
lettres. Le code de César sera plus facile à décrypter.
En utilisant la fréquence d’apparition théorique des lettres de l’alphabet en
français, on peut supposer que la lettre « M » chiffre le « E » dans le code de
César : d’où un décalage de 8 lettres.
LE SOIR MARIE EST VENUE ME CHERCHER ET M A DEMANDE (Extrait de
L’Étranger, Albert Camus).
Remarque
La clé du code de Vigenère est la suivante :
AU BOUT D UN MOMENT JE SUIS RETOURNE VERS LA PLAGE ET JE ME SUIS MIS
A MARCHER C ETAIT LE MEME ECLATEMENT ROUGE SUR LE SABLE LA MER
HALETAIT DE TOUTE LA RESPIRATION RAPIDE ET ETOUFFEE DE SES PETITES
VAGUES JE MARCHAIS LENTEMENT VERS LES ROCHERS ET JE SENTAIS MON
FRONT SE GONFLER SOUS LE SOLEIL TOUTE CETTE CHALEUR S APPUYAIT SUR
MOI ET S OPPOSAIT A MON AVANCE ET CHAQUE FOIS QUE JE SENTAIS SON
GRAND SOUFFLE CHAUD SUR MON VISAGE JE SERRAIS LES DENTS JE FERMAIS
LES POINGS DANS LES POCHES DE MON PANTALON JE M ETENDAIS TOUT
ENTIER POUR TRIOMPHER DU SOLEIL ET DE CETTE IVRESSE OPAQUE QU IL ME
DEVERSAIT A CHAQUE EPEE DE LUMIERE JAILLIE DU SABLE D UN COQUILLAGE
BLANCHI OU D UN DEBRIS DE VERRE MES MACHOIRES SE CRISPAIENT J AI
MARCHE LONGTEMPS
Séquence 1 – MA03
29
© Cned - Académie en ligne
D
Exercice 9
Exercices d’apprentissage
a) Quand on le divise par 6, le reste est 5, mais quand on le divise par 7, le reste
est 3 et le quotient reste inchangé. Quel est ce nombre ?
b) Le reste de la division euclidienne de l’entier naturel a par 45 est 9. Quel est le
reste de la division euclidienne de a par 15 ? par 9 ? par 5 ? par 3 ?
c) Dans la division euclidienne de 394 par l’entier naturel non nul b, le quotient
est 17 et le reste r. Quelles sont les valeurs possibles pour b et r ?
d) Dans une division euclidienne, on augmente le dividende de 36 et le diviseur
de 3 ; le quotient et le reste sont alors inchangés. Quelle est la valeur du
quotient ?
Exercice 10
Déterminer les entiers naturels n tels que n + 3 divise 2n − 3.
Exercice 11
La division euclidienne d’un entier naturel a par 64 donne le quotient q et le reste
q 3.
Quels sont les nombres de qui possèdent cette propriété ?
Exercice 12
Le code ISBN (International Standard Book Number) est un nombre à 9 chiffres
abcdefghi suivi d’une clé K.
Pour déterminer la clé, on calcule le nombre N = 10a + 9b + 8c +7d + 6e + 5f +
4g + 3h + 2i puis le reste R de la division euclidienne de N par 11. Si R = 0, alors
K = 0 ; si R = 1, alors on remplace K par la lettre X, sinon K = 11− r .
a) Calculer la clé des codes 204730284, 221984028 et 204396892.
b) Vérifier que le code 247684123 7 est erroné.
c) Proposer un algorithme permettant de déterminer la clé à partir de la donnée
des 9 chiffres a, b, ... et i.
Exercice 13
30
© Cned - Académie en ligne
Déterminer reste de 2n 2 − n + 2 par 2n selon les valeurs de l’entier naturel n.
Séquence 1 – MA03
4
A
Congruence
dans Objectifs du chapitre
Nous allons étudier la notion de congruence dans
problèmes de codage.
B
Activité 3
qui sera utilisée dans des
Pour débuter
Le 1er janvier 2012 était un dimanche.
Quel jour de la semaine était-on n jours plus tard pour n = 1, 2, 3, ..., 20 (on
regroupera ces résultats dans un tableau, la 1re colonne correspondant au
lundi...).
Que peut-on dire de deux nombres d’une même colonne ?
Quel jour de la semaine sera-t-on 1 000 jours après le 1er janvier 2012 ?
Quel jour sera-t-on le 1er janvier 2020 ?
C
Cours
1. Définition
Définition 4
Soit n un entier naturel non nul donné, et soient x et y deux entiers relatifs quelconques.
On dit que x est congru à y modulo n si la différence x − y est un multiple de n.
Dans ce cas, on note :
x ≡ y mod n ou encore x ≡ y [n ] ou encore x ≡ y (n )
et on lit « x congru à y modulo n ».
Séquence 1 – MA03
31
© Cned - Académie en ligne
Remarques
Si
x – y est un multiple de n , y − x est aussi un multiple de n.
Donc, si x ≡ y [n ] on a aussi y ≡ x [n ] : la relation de congruence est symétrique.
On a toujours x ≡ x [n ] : la relation de congruence est réflexive.
On a toujours x ≡ y [1]. (La congruence modulo 1 ne présente donc pas grand
intérêt.)
Conséquences
z Un nombre est congru à 0 modulo n si, et seulement si, c’est un multiple de n.
z Tout nombre pair est congru à 0 modulo 2 ; tout nombre impair est congru
à 1 modulo 2.
z Tout nombre est congru à son chiffre des unités modulo 10.
Démonstration
Conséquence
Soit
immédiate de la définition.
n un nombre pair. Le nombre n est divisible par 2 donc n ≡ 0 [2].
Soit n un nombre impair. Le nombre n − 1 est donc divisible par 2 ce qui prouve
que n ≡ 1 [2].
Soit
n un nombre entier. Écrivons n = am am −1...a1a0 où a0 représente le chiffre
des unités de n, a1 représente le chiffre des dizaines de n, etc. Ainsi,
n = am × 10m + am −1 × 10m −1 + ... + a1 × 10 + a0 .
L’entier n − a0 = 10 × am × 10m −1 + am × 10m −2 + ... + a1  est donc divisible par 10
ce qui prouve n ≡ a0 [10]. Remarque
Exemple 14
La barre dans la notation am am −1...a1a0 sert à différencier l’écriture avec le chiffre
des unités, le chiffre des dizaines etc., de l’écriture du produit am × am −1 × ...a1 × a0 .
a) Les nombres –13 et –8 sont-ils congrus modulo 5 ?
b) Les nombres 7 et 8 sont-ils congrus modulo 5 ?
Solution
a) On a : –13 – (–8) = –5. Le nombre –5 est un multiple de 5 donc –13 et –8 sont
congrus modulo 5 :
−13 ≡ −8 [ 5].
b) On a : 7 – 8 = –1. Le nombre –1 n’est pas un multiple de 5 donc 7 et 8 ne sont
pas congrus modulo 5 :
−13 ≡/ −8 [ 5].
Exemple 15
Les règles d’un jeu sont les suivantes :
Un joueur A propose un nombre entier entre 1 et 4, le joueur B ajoute à ce
nombre 1, 2, 3 ou 4 et à tour de rôle, les joueurs A et B ajoutent 1, 2, 3 ou 4 au
nombre obtenu. Le 1er qui arrive à 87 a gagné.
32
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
Déterminer le reste de la division euclidienne de 87 par 5.
Comment le joueur A peut-il s’y prendre pour gagner à coup sûr ?
Solution
On a 87 = 17 × 5 + 2 et 0 ≤ 2 < 5 donc le reste de la division euclidienne
de 87 par 5 est 2.
Pour être sûr de gagner, A peut commencer par le nombre N = 2 puis, après le
coup de B, il s’arrange pour que le nombre obtenu soit congru à 2 modulo 5
(en fait, si B ajoute x, il ajoute ensuite 5 – x).
À tout moment, A proposera ainsi un nombre congru à 2 modulo 5 et B un
nombre congru à 3, 4, 0 ou 1 modulo 5.
En théorie des jeux, on dit que, pour ce jeu, les nombres congrus à 2 modulo
5 constituent un ensemble de situations gagnantes :
t le nombre 87 est une situation gagnante ;
t à partir d’une situation qui n’est pas gagnante, on peut toujours jouer de
telle sorte d’être à la suite du coup en situation gagnante ;
t à partir d’une situation gagnante, on se retrouve, après avoir joué, forcément en situation perdante.
La situation initiale (N = 0) n’est pas gagnante donc le joueur A a une stratégie
gagnante (toujours proposer un nombre congru à 2 modulo 5).
2. Lien entre congruence et division euclidienne
Propriété 3
Tout nombre est congru modulo n au reste de sa division euclidienne par n.
Démonstration
Si on effectue la division euclidienne de x par n , on sait qu’il existe q appartenant à et r appartenant à tels que x = qn + r avec 0 ≤ r < n.
On a alors x − r = qn donc x − r est un multiple de n et ainsi x est congru à r
modulo n.
Conséquences
zModulo n, tout nombre est congru à un nombre r tel que 0 ≤ r ≤ n − 1.
zSi a ≡ r [n ] et 0 ≤ r <n alors r est le reste de la division euclidienne de a par n.
Exemple 16
À quel entier naturel inférieur à 27 le nombre 523 est-il congru modulo 27 ?
Solution
Par division euclidienne de 523 par 27, on obtient : 523 = 19 × 27 + 10 donc
523 ≡ 10 [27].
Séquence 1 – MA03
33
© Cned - Académie en ligne
3. Propriétés
Propriété 4
Transitivité
La relation de congruence modulo n est transitive c’est-à-dire que si on a :
x ≡ y [n ] et y ≡ z [n ] alors on a : x ≡ z [n ].
Démonstration
La congruence x ≡ y [n ] se traduit par : il existe un entier k tel que x − y = kn ;
la congruence y ≡ z [n ] se traduit par : il existe un entier k’ tel que y − z = k ′n.
Or, x − z = x − y + y − z = kn + k’n = (k+k’ )n donc x ≡ z [n ].
Propriété 5
Addition et soustraction de congruences de même module
La relation de congruence modulo n est compatible avec l’addition et avec la soustraction dans ; c’est-à-dire que si on a : x ≡ y [n ] et x ′ ≡ y ′ [n ] alors on a
aussi :
x + x ′ ≡ y + y ′ [n ]
et :
x − x ′ ≡ y − y ′ [n ].
Cela veut dire que si on a deux congruences modulo n, on peut les ajouter
membre à membre ou les retrancher membre à membre et on obtient encore une
congruence modulo n.
Démonstration
La congruence x ≡ y [n ] se traduit par x − y multiple de n.
La congruence x ′ ≡ y ′ [n ] se traduit par x ′ − y ′ multiple de n.
On en déduit que la « somme » ( x − y ) + ( x ′ − y ′ ) est encore un multiple
de n, c’est-à-dire ( x + x ′ ) − ( y + y ′ ) est multiple de n ; ceci veut dire
que x + x ′ ≡ y + y ′ [n ] .
On raisonne comme précédemment en remplaçant la somme par la différence
pour obtenir x − x ′ ≡ y − y ′ [n ].
Exemple
On a −13 ≡ −8 [5] et 46 ≡ 21[5].
En utilisant la propriété 5, on obtient : 33 ≡ 13 [5] et –59 ≡ −29 [5].
Propriété 6
Multiplication de congruences de même module
La relation de congruence modulo n est compatible avec la multiplication dans ;
c’est-à-dire que si on a : x ≡ y [n ] et x ′ ≡ y ′ [n ] alors on a aussi : xx ′ ≡ yy ′ [n ].
34
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
Cela veut dire que si on a deux congruences modulo n, on peut les multiplier
membre à membre et on obtient encore une congruence modulo n.
Remarque
On ne peut pas diviser par un même nombre les deux membres d’une congruence.
Par exemple, 15 ≡ 5 [10] mais 3 ≡/ 1 [10].
Démonstration
On a x ≡ y [n ] donc il existe k de tel que x − y = kn d’où x = y + kn.
On a x ′ ≡ y ′ [n ] donc il existe k ′ de tel que x ′ − y ′ = k ′n d’où x ′ = y ′ + k ′ n.
On a donc :
xx ′ = ( y + kn )( y ′ + k ′n )
= yy ′ + n (ky ′ + k ′y + kk ′n ).
Posons K = (ky ′ + k ′y + kk ′n ) ; K appartient à et xx ′ − yy ′ = Kn.
Ainsi, xx ' ≡ yy ' [n ].
Propriété 7
Multiplication par un entier
Si x ≡ y [n ] alors, pour tout k appartenant à , on a : kx ≡ ky [n ].
Démonstration
Exemple 17
On applique la propriété 7 à x ≡ y [n ] et k ≡ k [n ].
Dresser la table de multiplication modulo 7.
Déterminer un entier n tel que 52n congru à 1 modulo 7.
Solution
Soient a et b deux entiers naturels inférieurs ou égaux à 6.
On calcule le reste dans la division euclidienne de ab par 7.
Par exemple, 3 × 4 = 12 et 12 ≡ 5 [7].
À l’aide de la fonction MOD du tableur, en saisissant en B2 la formule
=MOD($A2*B$1;7) puis en la « copiant-glissant », on obtient la table suivante :
On a 52 ≡ 3 [7]. En utilisant la table ci-dessus, on voit que 3 × 5 ≡ 1 [7] et ainsi
n = 5 convient.
Séquence 1 – MA03
35
© Cned - Académie en ligne
Propriété 8
Élévation à une puissance
Si x ≡ y [ p ] alors, pour tout entier naturel n non nul, on a : x n ≡ y n [ p ].
Démonstration
Cette propriété est une conséquence de la propriété 6 ; on l’établit en faisant un
raisonnement par récurrence.
Considérons la proposition définie pour tout entier naturel n non nul, « si
x ≡ y [ p ] alors x n ≡ y n [ p ] ».
Initialisation : au rang n = 1, la proposition s’écrit x 1 ≡y 1 [p ]. Cette proposition
est vraie par hypothèse. Ainsi la propriété est vraie au rang n = 1.
Hérédité : on suppose que la proposition « si x ≡ y [ p ] alors x n ≡ y n [ p ] » est
vraie pour un certain rang n = k, autrement dit, on suppose que « si x ≡ y [ p ]
alors x k ≡ y k [ p ] ».
Regardons la propriété au rang k + 1. Comme x ≡ y [ p ] et x k ≡ y k [ p ], appliquons leur la propriété 6 :
xx k ≡ yy k [p ] soit x k +1 ≡ y k +1 [ p ].
Donc, la proposition « si x ≡ y [ p ] alors on a : x n ≡ y n [ p ] » est vraie au rang
n = k +1: la proposition est héréditaire.
Conclusion : la propriété « si x ≡ y [ p ] alors on a : x p ≡ y p [n ] » est vraie pour
n = 1 et elle est héréditaire donc, pour tout entier naturel n non nul, si x ≡ y [ p ]
alors x n ≡ y n [ p ].
Exemple 18
a) Montrer que 74 ≡ 1[5].
b) En déduire que le reste de la division euclidienne de 72012 et 72013 par 5.
Solution
a) On sait que 7 ≡ 2 [5].
Donc 72 ≡ 22 [5] c’est-à-dire 72 ≡ 4 [5] ou encore 72 ≡ −1[5].
De même, 73 ≡ 23 [5] c’est-à-dire 73 ≡ 8 [5] ou encore 73 ≡ 3 [5].
Et 74 ≡ 24 [5] c’est-à-dire 74 ≡ 16 [5] ou encore 74 ≡1 [5].
Pour cette dernière ligne, on peut aussi procéder de la façon suivante :
4
de 72 ≡ −1[5], on déduit (72 )2 ≡ ( −1)2 [5] c’est-à-dire 7 ≡ 1[5].
( )
503
et ainsi 72012 ≡ 1 [5].
b) Comme 2012 = 503 × 4 , 72012 = 74
2012
≡ 1 [5] et 0 ≤ 1 < 5, 1 est le reste de la division euclidienne de
Comme 7
2012 par 5.
7
2013
= 7 × 72012 d’où 72013 ≡ 7 × 1 [5] soit 72013 ≡ 2 [5].
On a 7
Comme 72013 ≡ 2 [5] et 0 ≤ 2 < 5, 2 est le reste de la division euclidienne de
72012 par 5.
36
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
Remarque
Exemple 19
Solution
Cette dernière idée est importante : si a ≡ −1 [n ] alors a p ≡ ( −1)p [n ].
Déterminer le reste de la division euclidienne de 62013 par 7.
Comme
6 ≡ −1 [7], 62003 ≡ ( −1)2003 [7] soit 62003 ≡ −1 [7] ou encore 62003 ≡ 6 [7].
Comme 0 ≤ 6 < 7, le reste de la division euclidienne de 62013 par 7 est 6.
3. Exemples d’utilisations des congruences
Exemple 20
a) Déterminer le reste de la division euclidienne de 2012 × 2011× 2010 par 7.
b) Déterminer le reste de la division euclidienne de 2012104 par 7.
c) Quel est le chiffre des unités de 2013104 ?
Solution
a) On a : 2012 ≡ 3 [7] ; 2011 ≡ 2 [7] ; 2010 ≡ 1[7].
Par compatibilité avec la multiplication, on a
2012 × 2011× 2010 ≡ 3 × 2 × 1[7] ≡ 6 [7].
Comme 0 ≤ 6 < 7, le reste de la division euclidienne de 2012 × 2011× 2010 par
7 est 6.
b) 2012 ≡ 3 [7] donc, par compatibilité des puissances, 2012104 ≡ 3104 [7].
k
Cherchons alors k tel que 3 soit congru à 1 ou –1 modulo 7.
Comme 3 ≡ 3 [7], on a : 32 ≡ 9 [7] soit 32 ≡ 2 [7] ; 3 × 32 ≡ 3 × 2 [7]
soit 33 ≡ −1 [7].
Ainsi, ( 33 )2 ≡ ( −1)2 [7] soit 36 ≡ 1[7].
Ce résultat a des conséquences importantes :
(36 )2 ≡ 12 ≡ 1[7]
(36 )3 ≡ 13 ≡ 1[7]
(36 )k ≡ 1k ≡ 1[7] pour tout k ∈
On effectue la division euclidienne de 104 par 6 :
104 = 17 × 6 + 2 donc 2012104 = 201217× 6+ 2
donc 2012104 ≡ 317× 6+ 2 ≡ ( 36 )17 × 32 [7].
Ainsi, 2012104 ≡ 117 × 32 ≡ 2 [7].
Comme 0 ≤ 2 < 7, le reste de la division euclidienne de 2012104 par 7 est 2.
c) Déterminons à quel nombre compris entre 0 et 9 est congru 2013104 modulo
10. Le nombre 2013 est congru à son chiffre des unités modulo 10 donc
Séquence 1 – MA03
37
© Cned - Académie en ligne
2013 ≡ 3 [10] et 2013104 ≡ 3104 [10].
Comme 32 = 9, 32 ≡ −1 [10].
Ainsi,
( )
3104 = 32
52
≡ ( −1)52 [10]
≡ 1 [10].
Ainsi 2013104 est congru à 1 modulo 10 et le chiffre des unités de 2013104 est 1.
Exemple 21
Critère de divisibilité par 11
On note abcd = 1000a + 100b + 10c + d
dix) dont les chiffres sont a, b, c et d.
l’écriture d’un nombre (en base
Par exemple, 5432 = 1000 × 5+100 × 4+10 × 3+2.
a) Déterminer le reste de la division euclidienne de 100 par 11, puis de 1000 par 11.
b) Montrer que si un nombre entier n vérifie n = 10 [11] alors on peut aussi
écrire n = −1 [11].
c) En déduire que abcd est divisible par 11 si, et seulement si, −a +b −c +d est
divisible par 11.
Solution
a) On a 100 = 9 × 11+ 1 donc 100 ≡ 1[11] ; 1000 = 90 × 11+ 10
donc 1000 ≡ 10 [11].
b) Si n ≡ 10 [11] alors comme 10 ≡ −1 [11], on a par transitivité n ≡ −1 [11].
Ainsi, 1000 ≡ −1[11].
c) Comme abcd = 1000a + 100b + 10c + d et 1000 ≡ −1[11] ; 100 ≡ 1[11] ;
10 ≡ −1[11] on a :
abcd ≡ 1000a + 100b + 10c + d [11]
≡ −1a + 1b − 1c + d [11]
≡ −a + b − c + d [11].
Donc, abcd est divisible par 11 si, et seulement si, −a +b −c +d est aussi divisible
par 11.
Exemple 22
Clé de RIB
Le R.I.B. (Relevé d’Identité Bancaire) est un nombre N constitué de gauche à
droite de la façon suivante :
38
© Cned - Académie en ligne
Code de la banque
Code du guichet
Numéro du compte
Clé
5 chiffres
5 chiffres
11 chiffres
2 chiffres
Séquence 1 – MA03
Pour calculer la clé de contrôle d’un RIB, on considère le nombre a formé par les
21 premiers chiffres ; on calcule le reste r de la division euclidienne de N = 100 × a
par 97 ; la clé RIB est 97 − r.
Calculer à l’aide de la calculatrice la clé du RIB suivant (l’écriture décimale de N
comportant « trop de chiffres » pour la calculatrice, on pourra se demander comment les congruences peuvent nous aider à mener ce calcul) :
Solution
Code de la banque
Code du guichet
Numéro du compte
Clé
12345
25896
35715942681
?
On a : N = 100 × 123 452 589 635 715 942 681
=12 345 2588 963 571 594 268 100.
Le nombre N est trop grand (23 chiffres alors que l’affichage de la calculatrice en
montre entre 9 et 12) pour que l’on puisse utiliser la calculatrice ; on peut, par
exemple, utiliser les puissances de 10 et leur congruence modulo 97.
On a :
100 = 1 donc 100 ≡ 1 mod 97 ;
101 = 10 donc 101 ≡ 10 mod 97 ;
102 =100=1 × 97+3 donc 102 ≡ 3 mod 97.
Utilisons la compatibilité des congruences avec la multiplication :
103 =101 × 102 donc 103 ≡ 10 × 3 mod 97 soit 103 ≡ 30 mod 97.
104 =102 × 102 donc 104 ≡ 3 × 3 mod 97 soit 104 ≡ 9 mod 97 ;
on obtient ainsi le tableau suivant :
Puissance de 10
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
1010
10n ≡ ...mod 97
1
10
3
30
9
90
27
76
81
34
49
Puissance de 10
1011
1012
1013
1014
1015
1016
1017
1018
1019
1020
1021
1022
10n ≡ ...mod 97
5
50
15
53
45
62
38
89
17
73
51
25
Écrivons par exemple :
N = 1234 × 1019 + 525896 × 1013 + 357159426 × 104 + 81× 102.
On obtient alors par compatibilité des congruences avec l’addition
N ≡ 1234 × 17 + 525896 × 15 + 357159426 × 9 + 81× 3 mod 97 soit
N ≡ 3222344495 mod 97.
Comme 3222344495 ≡ 97 × 33220046 + 33, on en déduit que N ≡ 33 mod 97 et
que la clé du RIB est 64 car 97 − 33 = 64.
Séquence 1 – MA03
39
© Cned - Académie en ligne
4. Application : écriture des nombres en
base b (résultats non exigibles)
a) Introduction
Notre système de numération est de base 10. Cela tient à la façon de compter
les éléments.
Supposons que l’on dispose d’une certaine collection d’objets. On les regroupe
par 10. On obtient q1 groupes de 10 objets et u objets que l’on n’a pas pu inclure
dans un groupe (u < 10). On appelle groupement du 1er ordre ces groupes de
10 objets. Supposons, par exemple, que pour notre collection, u = 3.
On regroupe alors par 10 ces q1 groupements du 1er ordre. On obtient alors
q 2 groupements du 2e ordre (c’est-à-dire un groupe de 10 groupements du
1er ordre) et il reste d groupements du 1er ordre isolés. Supposons, par exemple,
que d = 7.
On regroupe alors ces groupements du 2e ordre par 10. Supposons qu’il reste
c = 6 groupements du 2e ordre et que l’on ait obtenu m = 5 groupements du
3e ordre (on ne peut donc pas faire de « groupement du 4e ordre »).
Notons N le nombre d’objets de la collection. On peut décrire les regroupements
précédents par les divisions euclidiennes suivantes :
N = 10q1 + u , q1 = 10q 2 + d et q 2 = 10m + c .
On en déduit :
)
(
)
N = 10q1 + u = 10 × (10q 2 + d + u = 10 × 10 × (10m + c ) + d + u
= m × 103 + c × 102 + d × 10 + u = 5673.
On dit que m, c, d et u sont les chiffres composant l’écriture en base 10 du
nombre N (u : chiffre des unités, d des dizaines, c des centaines et m des milliers).
On regroupe maintenant les objets par 8, on obtient q1′ 8-groupements du
1er ordre et e objets isolés.
Comme 5 673 = 8 × 709 + 1, on a q1′= 709 et e = 1.
On regroupe alors les q1′ 8-groupements du 1er ordre par 8. On obtient q 2′
8-groupements du 2e ordre et d 8-groupements du 1er ordre isolés.
Comme 709 = 8 × 88 + 5, on a q 2′ = 88 et d = 5.
On regroupe alors les q 2′ 8-groupements du 2e ordre par 8. On obtient q 3′
8-groupements du 3e ordre et c 8-groupements du 2e ordre isolés.
Comme 88 = 8 × 11+ 0, on a q 3′ = 11 et c = 0.
On regroupe alors les q 3′ 8-groupements du 3e ordre en q 4′ 8-groupements du
4e ordre et b 8-groupements du 3e ordre isolés.
Comme 11 = 8 × 1+ 3, on a q 4′ = 1 et b = 3.
On ne peut pas effectuer de regroupement d’ordre supérieur avec le groupement
du 4e ordre restant (a = 1). On déduit des précédentes divisions euclidiennes :
40
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03





 


 

N = 8 ×  8 ×  8 × ( 8a + b ) + c  + d  + e = a × 84 + b × 83 + c × 82 + d × 8 + e.

 

q 3′

 




q 2′

q1′
8
8
On dit que abcde est l’écriture en base 8 de N. Ici : 5673 = 13051 .
b) Définition
Propriété 9 admise
Soit b élément de
N \ {0 ; 1}.
Tout entier naturel n peut s’écrire d’une manière unique :
n = np b p + np − 1b p − 1 + ... + n1b1 + n0 b 0
avec np ≠ 0 et pour tout i de {0 ; 1 ; ... ; p } , 0 ≤ ni < b.
Définition 5
Soit b élément de
N \ {0 ; 1}.
Si l’entier naturel n s’écrit n = np b p + np − 1b p − 1 + ... + n1b1 + n0 b 0 , avec np ≠ 0 et
pour tout i de {0 ; 1 ; ... ; p } , 0 ≤ ni < b , alors :
b
tl’écriture en base b de n est np np −1...n1n0 ;
tles nombres np , np −1, ..., n1 et n0 sont les chiffres de l’écriture en base b de
n.
Remarque
Exemple 23
Solution
La barre que l’on met au-dessus n’a qu’un seul rôle : c’est celui de faire comprendre que les chiffres sont écrits côte à côte dans l’ordre donné. Sans la barre,
on pourrait croire que les x i se multiplient entre eux, et ici ce n’est pas le cas.
7
Écrire x = 402 en base 10.
7
x = 402 = 4 × 72 + 0 × 71 + 2 × 70
= 4 × 49 + 2
10
= 198 (=198 ).
Séquence 1 – MA03
41
© Cned - Académie en ligne
Remarques
Dans le système décimal (base dix) les chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Dans le système binaire (base deux) les chiffres sont : 0, 1.
Au-delà de la base 10, on complète par d’autres symboles pour avoir le nombre
de « chiffres » voulus.
Dans le système de base onze, les onze chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α .
Dans le système de base douze (duodécimal), les douze chiffres sont : 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, α , β.
Exemple 24
Solution
Écrire 534 en base 8.
Méthode 1
On cherche la plus grande puissance de 8 inférieure ou égale à 534.
On a : 83 ≤ 534 < 84 (soit 512 ≤ 534 < 4096 ).
On cherche maintenant la plus grande puissance de 8 inférieure ou égale
à 534 − 83 = 22.
On a : 81 ≤ 22 < 82.
On cherche maintenant la plus grande puissance de 8 inférieure ou égale
à 22 − 81 = 14.
On a : 81 ≤ 14 < 82.
On cherche maintenant la plus grande puissance de 8 inférieure ou égale
à 14 − 81 = 6. On a 6 < 8, on s’arrête alors et on a :
14 = 81 + 6, 22 = 81 + 14 = 81 + 81 + 6,
534 = 83 + 22 = 83 + 81 + 81 + 6
= 83 + 2 × 81 + 6 donc 534 = 1× 83 + 0 × 82 + 2 × 81 + 6.
8
On déduit de la dernière égalité : 534 = 1026 .
Méthode 2
On s’inspire des calculs effectués dans l’introduction.
On a :
534 = 8 × 66 + 6 (donc 6 éléments isolés) ;
66 = 8 × 8 + 2 (donc 2 groupements du 1er ordre isolés) ;
8 = 8 × 1+ 0 (donc 0 groupements du 2e ordre isolé) ;
1 groupement du 3e ordre.
8
Cela nous donne bien 534 = 1026 .
42
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
On peut présenter les calculs précédents de la façon suivante :
534 8
6 66 8
2 8
0
8
1
1
8
0
Condition d’arrêt
c) Critères de divisibilité
Soit le nombre n = x p x p −1...x 1x 0
10
(il s’agit de l’écriture avec les chiffres écrits
les uns à côté des autres).
Critère de divisibilité par 2
On a n = x p x p −1...x 1 × 10 + x 0 or 10 ≡ 0 [2] donc n ≡ x 0 [2].
Il en résulte que n est divisible par 2 si, et seulement si, son chiffre des unités est
divisible par 2, c’est-à-dire s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
Critère de divisibilité par 3
On a n = x p 10p + x p −110p −1 + ... + x 1101 + x 0 or 10 ≡ 1 [3] donc, pour tout
k ∈ , 10k ≡1 [ 3].
Ainsi, n ≡ x p + x p −1 + ... + x 1 + x 0 [ 3].
Il en résulte que n est divisible par 3 si, et seulement si, la somme de ses chiffres
est divisible par 3.
Critère de divisibilité par 5
On a n = x p x p −1...x 1 × 10 + x 0 or 10 ≡ 0 [5] donc n ≡ x 0 [5].
Il en résulte que n est divisible par 5 si, et seulement si, son chiffre des unités est
divisible par 5, c’est-à-dire s’il se termine par 0 ou 5.
Critère de divisibilité par 9 et « preuve par 9 »
On a n = x p 10p + x p −110p −1 + ... + x 1101 + x 0 or 10 ≡ 1 [9] donc, pour tout
entier k, 10k ≡ 1k [9] soit 10k ≡ 1 [9].
Ainsi, n ≡ x p + x p −1 + ... + x 1 + x 0 [9].
Il en résulte que n est divisible par 9 si, et seulement si, la somme de ses chiffres
est divisible par 9.
Séquence 1 – MA03
43
© Cned - Académie en ligne
Le fait qu’un nombre soit congru modulo 9 à la somme des chiffres de son écriture décimale permet d’obtenir facilement et « de tête » le reste de la division
euclidienne d’un entier naturel par 9. C’est cette idée qui est à l’origine de la
preuve par 9 qui permet aux jeunes élèves apprenant la multiplication de « vérifier un calcul ».
Exemple
456 238
w
795 613
4
w
4
=
362 998 884 894
6
1
On a :
456 238 ≡ 4+5+6+2+3+8 ≡ 28 ≡ 2+8 ≡ 10 ≡ 1 [9] donc 456 238 a pour reste 1
dans la division euclidienne par 9 ;
795 613 ≡ 7+9+5+6+1+3 ≡ 31 ≡ 3+1 ≡ 4 [9] donc 795 613 a pour reste 4 ;
456 238 × 795 613 ≡ 1× 4 ≡ 4 [9] donc le produit a pour reste 4 dans la division
euclidienne par 9.
362 998 884 894 ≡ 6 [9] donc 362 998 884 894 a pour reste 6 et ne peut donc
pas être égal au produit.
Bien sûr, la preuve par 9 ne peut pas nous prouver qu’un calcul est exact.
Critère de divisibilité par 10
On a n = x p x p −1...x 1 × 10 + x 0 donc n − x 0 est divisible par 10
donc n ≡ x 0 [10].
Il en résulte que n est divisible par 10 si, et seulement si, son chiffre des unités est
divisible par 10, c’est-à-dire s’il se termine par 0.
D
Exercice 14
Exercices d’apprentissage
a) À quel entier naturel inférieur à 11 le nombre 7 654 est-il congru modulo 11 ?
b) Les nombres 14 533 et 6 742 sont-ils congrus modulo 7 ?
Exercice 15
Sans utiliser la calculatrice, déterminer le reste dans la division euclidienne :
a) de 1473 × 1474 × 1475 × 1476 par 7 ;
b) de 19328 par 3 ;
c) de 7202 par 5.
44
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
Exercice 16
Démontrer que, pour tout entier naturel n, 7n – 2n est un multiple de 5.
Exercice 17
a) Montrer que 1999 est congru à 4 modulo 7.
b) Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à 2007 modulo 7.
Soit n un nombre entier naturel congru à 5 modulo 7.
a) Déterminer un nombre entier naturel congru à n 3 modulo 7.
b) En déduire que (n 3 + 1) est divisible par 7.
Montrer que si n est un nombre entier naturel congru à 4 modulo 7 alors
(n 3 − 1) est divisible par 7.
On considère le nombre A = 19993 + 20073 .
Sans calculer A, montrer en utilisant les résultats précédents que A est divisible par 7.
Exercice 18
Quel est le reste de la division euclidienne de 5 par 8 ? Quel est le reste de la
division euclidienne de 52 par 8 ?
Quel est le reste de la division euclidienne de 586 par 8 ? Quel est le reste de
la division euclidienne de 587 par 8 ?
Quel est le reste de la division euclidienne de 96587 par 8 ?
Soit n un entier naturel. Montrer que 52n +1 + 52n + 2 est un multiple de 8.
Exercice 19
Donner l’écriture de 3210
4
en base 10.
16
Donner l’écriture décimale (en base 10) de AD78
.
2
Donner l’écriture de 100101 en base 10.
Donner l’écriture de 31 427 en base 8.
Donner l’écriture de 1 792 en base 2.
Exercice 20
Arthur et Wilson sont deux jumeaux qui ont l’habitude de communiquer à l’aide
de messages codés. Ils réalisent toujours leur chiffrement de la façon suivante :
Chaque lettre de l’alphabet munie de son numéro d’ordre n est remplacée par la
lettre de l’alphabet munie du numéro d’ordre p ( 1 ≤ p ≤ 26 ) obtenu à l’aide de
la formule p ≡ 3 × n + 7 [26].
Par exemple, la forme chiffrée de L est Q car 3 × 12 + 7 = 43 et 43 ≡ 17 [26].
Compléter la table de chiffrement donnée ci-dessous.
Lettre
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
p
17
Forme
chiffrée
Q
Séquence 1 – MA03
45
© Cned - Académie en ligne
Lettre
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
n
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
p
Forme
chiffrée
Arthur a envoyé le message suivant à Wilson : MIJUZ CZRI OJ IVRLLHOV.
Retrouver la forme déchiffrée du message.
Wilson désire lui répondre : MERCI.
Donner la forme chiffrée de ce message.
a) Montrer que si p ≡ 3n + 7 [26] alors n ≡ 9p + 15 [26].
b) En déduire une façon de retrouver une lettre à partir de sa forme chiffrée.
Exercice 21
Soit a un entier, en étudiant les différents restes possibles dans la division
euclidienne par 5, montrer que a 5 − a est divisible par 5. En déduire le chiffre
des unités de a 5 − a ?
Étudier les différents restes possibles des carrés modulo 4. En déduire que
2015 n’est pas la somme de deux carrés.
46
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
5 Nombres premiers
A
Objectifs du chapitre
Nous allons définir ce qu’est un nombre premier.
B
Activité 4
Pour débuter
Voici un algorithme : Algorithme 1
Entrée :
N (entier naturel supérieur ou égal à 2)
d (entier naturel)
Traitement :
Demander N
Pour d allant de 2 à N – 1 faire
Si d divise N
afficher d et s’arrêter
Sinon
d prend la valeur d +1
Fin du Si
Fin du Pour
a) Implémenter et tester l’algorithme pour N = 143 ; N = 147 et N = 149. (Le
logiciel Algobox ne permet pas de quitter une boucle : on pourra alors utiliser
la fonction Pause et arrêter).
b) Que fait cet algorithme ? Que peut-on en déduire lorsqu’aucun résultat ne
s’affiche ?
Voici un deuxième algorithme : Algorithme 2
Entrée :
N (entier naturel supérieur ou égal à 2)
d (entier naturel)
Traitement :
Demander N
Pour d allant de 2 à E
( N ) faire
Si d divise N
afficher d et s’arrêter
Sinon
d prend la valeur d +1
Fin du Si
Fin du Pour
Séquence 1 – MA03
47
© Cned - Académie en ligne
a) Implémenter et tester l’algorithme ci-dessus pour N = 143 ; N = 147 et
N = 149 et comparer aux résultats obtenus avec l’algorithme 1.
b) Quelle amélioration apporte cet algorithme par rapport à l’algorithme 1 ?
Modifier l’algorithme 2 pour obtenir la liste de tous les diviseurs de l’entier N
compris entre 1 et N .
C
Cours
1. Nombres premiers
Définition 6
Un nombre entier naturel n est un nombre premier lorsqu’il admet exactement deux
diviseurs positifs distincts qui sont 1 et n.
Exemple
Les nombres 2, 3, 5 et 7 sont des nombres premiers.
Le nombre 6 n’est pas un nombre premier car 1, 2, 3 et 6 divisent 6.
L’entier naturel 1 n’est pas un nombre premier car 1 n’admet qu’un seul diviseur
positif.
Propriété 10
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1.
t L’entier naturel n admet au moins un diviseur premier.
t Si n n’est pas premier, n admet au moins un diviseur premier p tel que p ≤ n .
Démonstration
Si n est premier, la propriété est vérifiée.
Si n n’est pas premier, c’est qu’il admet dans d’autres diviseurs que 1 et n.
Soit p le plus petit diviseur de n tel que : 1 < p < n.
Raisonnons par l’absurde.
Si p n’est pas un nombre premier, alors il admet lui-même au moins un diviseur
p’ tel que 1 < p’ < p.
Mais comme p’ divise p, p’ divise aussi n, et ceci est en contradiction avec le fait
que p est le plus petit diviseur de n compris strictement entre 1 et n.
D’où p est premier.
Conclusion : n entier et n > 1 admet au moins un diviseur premier.
Soit n > 1 un entier non premier ; on appelle p le plus petit diviseur de n tel
que 1 < p < n. On a vu dans la démonstration précédente que p est premier.
De plus, il existe un entier k tel que n = kp. Ainsi, k est un diviseur de n supérieur ou égal à p d’où n = pk ≥ p 2 donc n ≥ p.
48
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
Théorème 3
Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration
Raisonnons par l’absurde.
Soit P l’ensemble des nombres premiers. Supposons que P est fini et que P
contient n éléments p1, p2 , ... , pn .
Considérons l’entier naturel k = p1 × p2 × ... × pn + 1.
On a k ≥ 2 donc k possède au moins un diviseur premier q.
Le nombre q est l’un des pi donc q divise p1 × p2 × ... × pn , par suite q divise
k − p1 × p2 × ... × pn donc q divise 1 donc q = 1. Ceci est impossible car 1 n’est
pas premier.
L’hypothèse « P fini » a conduit à une impossibilité donc P est infini.
2. Méthode de recherche des nombres
premiers
a) Crible d’Erastothène (mathématicien, astronome
et philosophe grec du IIIe siècle avant J.-C.)
Recherche des nombres premiers inférieurs à 100
On écrit la liste de tous les entiers de 0 à 99.
À chaque étape de la recherche, on supprime de la liste tous les multiples d’un
entier donné. À la fin, il ne reste dans la liste que les entiers qui ne sont multiples
d’aucun entier, c’est-à-dire des nombres premiers.
On commence par surligner 0 et 1 qui ne sont pas premiers.
Le nombre 2 est premier et on surligne tous ses multiples, c’est-à-dire les entiers
pairs à partir de 4.
Le premier nombre non surligné suivant est 3 ; il est premier ; on surligne alors
tous les multiples de 3 qui sont encore en présence.
L’entier suivant non surligné est 5 ; il est premier ; on surligne alors tous les multiples de 5 qui sont encore en présence.
Et ainsi de suite jusqu’à 10. En effet, d’après la propriété précédente, si n n’est
pas premier, n admet au moins un diviseur inférieur ou égal à n .
Ici, n = 100 donc n = 10.
Séquence 1 – MA03
49
© Cned - Académie en ligne
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
On obtient ainsi la liste des nombres premiers inférieurs à 100.
b) Déterminer si un nombre donné est premier
Exemple 25
Solution
Les nombres 367 et 511 sont-ils premiers ?
Nous allons utiliser la contraposée de la proposition « si n n’est pas premier, n
admet au moins un diviseur premier p tel que p ≤ n » à savoir « si n n’admet
pas de diviseur premier p tel que p ≤ n »alors n est premier ».
On a 367 ≈ 19, 2. Les nombres premiers inférieurs à 367 sont 2, 3, 5, 7, 11,
13, 17 et 19.
Le nombre 2 ne divise pas 367 qui est un nombre impair.
De plus, 3 ne divise pas 367 car 3 ne divise pas la somme de ses chiffres :
3 + 6 + 7 = 16 et 1 + 6 = 7 non divisible par 3
et 5 ne divise pas 367.
On a :
367 = 7 × 52 + 3 donc 7 ne divise pas 367 ;
367 = 11× 33 + 4 donc 11 ne divise pas 367 ;
367 = 13 × 28 + 3 donc 13 ne divise pas 367 ;
367 = 17 × 21+ 10 donc 17 ne divise pas 367 ;
367 = 19 × 19 + 6 donc 19 ne divise pas 367.
Il n’existe aucun nombre premier inférieur à
donc 367 est un nombre premier.
367 qui soit un diviseur de 367
On a 511 ≈ 22, 61. Les nombres premiers inférieurs à 511 sont 2, 3, 5, 7, 11,
13, 17 et 19.
Le nombre 2 ne divise pas 511 qui est un nombre impair.
De plus, 3 ne divise pas 511 car 3 ne divise pas la somme de ses chiffres :
3 + 6 + 7 = 16 et 1 + 6 = 7 non divisible par 3
et 5 ne divise pas 511.
On a 511 = 7 × 73 donc 7 divise 511 donc 511 n’est pas un nombre premier.
50
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
3. Décomposition en produit de facteurs
premiers
Théorème 4
Tout entier naturel n, strictement supérieur à 1, peut s’écrire comme un produit de
nombres premiers. Cette décomposition en facteurs premiers est unique à l’ordre
des facteurs près.
Démonstration
Unicité : admise.
Existence.
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 donc n admet un diviseur premier p1 : n = p1 × n1 avec 1 ≤ n1 < n.
Si n1 = 1, la démonstration est terminée.
Sinon, n1 admet un diviseur premier p2 et n1 = p2 × n2 où 1 ≤ n2 < n1.
Ainsi n = p1 × p2 × n2.
Si n2 = 1, la démonstration est terminée.
Sinon, n2 admet un diviseur premier p 3 et n2 = p 3 × n3 où 1 ≤ n 3 < n2.
Et ainsi de suite ...
On fabrique deux suites (éventuellement finies) d’entiers naturels
telles que n = p1 × p2 × ... × pk × nk .
( pi )
et (ni )
La suite d’entiers naturels (ni ) étant strictement décroissante est finie donc le
processus s’arrête pour un entier k tel que nk = 1.
Les termes de la suite des entiers naturels ( pi ) ne sont pas tous nécessairement
distincts. En regroupant les éléments égaux, on obtient une décomposition du
type : n = p1 α1 × p2 α 2 × ... × pN αN où p1, p2 , ... et pN sont des nombres premiers distincts et α1, α 2 , ... et αN des entiers naturels non nuls.
Exemple 26
Décomposer 300 en produit de facteurs premiers.
Décomposer 280 en produit de facteurs premiers. En déduire le nombre de
diviseurs de 280.
Solution
On peut présenter de la manière suivante en épuisant successivement tous les
diviseurs premiers de 300 :
300
150
75
25
5
1
2
2
3
5
5
condition d’arrêt
Ainsi 300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 22 × 3 × 55.
Séquence 1 – MA03
51
© Cned - Académie en ligne
280
140
70
35
7
1
2
2
2
5
7
condition d’arrêt
Ainsi 280 = 23 × 5 × 7.
Liste des diviseurs de 280 :
1 est un diviseur de 280.
Diviseurs premiers : 2, 5 et 7 ;
Diviseurs produits de deux facteurs premiers :
2 × 2 = 4 , 2 × 5 = 10, 2 × 7 = 14 , 5 × 7 = 35 ;
Diviseurs produits de trois facteurs premiers :
2 × 2 × 2 = 8, 2 × 2 × 5 = 20, 2 × 2 × 7 = 28 et 2 × 5 × 7 = 70 ;
Diviseurs produits de quatre facteurs premiers :
2 × 2 × 2 × 5 = 40, 2 × 2 × 2 × 7 = 56 et 2 × 2 × 5 × 7 = 140 ;
Diviseurs produits de cinq facteurs premiers : 2 × 2 × 2 × 5 × 7 = 280.
Ainsi, 280 possèdent 16 diviseurs.
Ce qui précède se généralise et on a le théorème suivant :
Théorème 5
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 dont la décomposition en produit
de facteurs premiers est :
n = p1 α1 × p2 α 2 × ... × pk αk .
Alors les diviseurs de n dans
N sont les entiers naturels
p1 β1 × p2 β2 × ... × pk βk
où pour tout 1≤ i ≤ k , 0 ≤ βi ≤ αi .
Démonstration
Les entiers naturels de la forme N = p1 β1 × p2 β2 × ... × pk βk où pour tout
1≤ i ≤ k , 0 ≤ βi ≤ αi sont des diviseurs de n.
En effet, si N ′ = p1 γ 1 × p2 γ 2 × ... × pk γ k où pour tout 1≤ i ≤ k , γ i = αi − βi
alors :
(
β
N × N ′ = p1 1 × p2
= p1
=n.
52
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
β1 + γ 1
β2
× p2
×... × pk
β2 + γ 2
βk
)(
γ
× p1 1 × p2
×... × pk
βk + γ k
γ2
= p1
×... × pk
α1
× p2
α2
γk
)
×... × pk
αk
Montrons que tous les entiers naturels de n sont de la forme voulue.
Soit d un diviseur de n, on peut donc écrire n = d × d ′. Celle-ci étant unique, la
décomposition en produit de facteurs premiers de n est le produit des décompositions de d et de d ’ de sorte que d est bien de la forme p1 β1 × p2 β2 × ... × pk βk
où pour tout 1≤ i ≤ k , 0 ≤ βi ≤ αi .
Exemple 27
Solution
Déterminer l’ensemble des diviseurs de 308.
On a : 308 = 22 × 7 × 11. L’arbre suivant nous donne alors les diviseurs positifs de 308.
70
20
71
70
21
71
70
22
71
110
20 ⫻ 70 ⫻ 110 = 1
111
20 ⫻ 70 ⫻ 111 = 1
110
7
111
77
110
2
111
22
110
14
111
154
110
4
111
44
110
28
111
308
Plus généralement, en appliquant un raisonnement similaire, on a le corollaire
suivant.
Corollaire
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 dont la décomposition en produit
de facteurs premiers est :
n = p1 α1 × p2 α 2 × ... × pk αk .
Alors le nombre de diviseurs positifs de n est ( α1 + 1) × ( α 2 + 1) × ... × ( αk + 1).
Exemple 28
Solution
Quel est le nombre de diviseurs positifs de 102014 ?
La décomposition en produit de facteurs premiers de 102014 est 22014 × 52014.
Il admet donc ( 2014 + 1) × ( 2014 + 1) = 4 060 225.
Séquence 1 – MA03
53
© Cned - Académie en ligne
D
Exercice 22
Exercices d’apprentissage
Décomposer 45 045 en produit de facteurs premiers. En déduire le nombre de
diviseurs de 45 045.
Décomposer 24 206 en produit de facteurs premiers.
Simplifier
Exercice 23
45 045
.
24 206
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x 2 + x + 41.
Pour 1 ≤ n ≤ 15, calculer f (n ). Que constatez-vous ?
Le nombre f (n) est-il premier pour tout n de
N?
Exercice 24
Déterminer tous les nombres premiers p tels que 11p + 1 soit le carré d’un entier.
Exercice 25
Soit n un entier naturel non nul. Montrer que n est un carré d’entier si, et seulement si, il admet un nombre impair de diviseurs positifs (on pourra écrire la
décomposition en produit de facteurs premiers de n).
Exercice 26
Soit N le nombre formé par les 15 chiffres du numéro INSEE. Ce numéro se
décompose en 13 premiers chiffres qui forment un nombre n et en deux derniers
chiffres qui constituent la clé c de N (revoir l’activité 2 pour le calcul de la clé).
Le but de l’exercice est de montrer que, s’il y a un chiffre erroné dans le numéro
INSEE, alors le numéro n’est pas valide.
Soit M le nombre M = N + c. Montrer que, pour tout numéro INSEE correct, M
est divisible par 97.
Soit N un numéro INSEE et N ’ le numéro erroné dont un chiffre diffère de celui
de N (on supposera que N > N ’).
a) Calculer M – M ’.
b) Justifier que 97 ne divise pas M – M ’.
c) Conclure.
54
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
6 Synthèse
A
Synthèse de la séquence
1. Divisibilité dans Définition
Soient a et b deux entiers relatifs quelconques.
On dit que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a s’il existe un
entier relatif k tel que a = b × k . Propriété
Transitivité
Soient a , b et c des entiers relatifs.
Si b divise a et si c divise b , alors c divise a.
Propriété
Combinaison linéaire entière
Soient a , b et c des entiers relatifs.
Si c divise a et b, alors pour tous les entiers relatifs n et n‘, c divise n × a + n '× b .
2. Division euclidienne
Définition et théorème
Division euclidienne dans Soient a et b sont des entiers relatifs avec b non nul.
Il existe un unique couple (q ; r ) avec q ∈ et r ∈ tel que a = bq + r
et 0 ≤ r <| b | .
Séquence 1 – MA03
55
© Cned - Académie en ligne
3. Congruence
Définition
Soit n un entier naturel non nul donné, et soient x et y deux entiers relatifs quelconques.
On dit que x est congru à y modulo n si la différence x − y est un multiple de n.
Dans ce cas, on note x ≡ y mod n ou encore x ≡ y [n ] ou encore x ≡ y (n )
et on lit « x congru à y modulo n ».
Conséquences
Un nombre est congru à 0 modulo n si, et seulement si, c’est un multiple de n.
Tout nombre pair est congru à 0 modulo 2 ; tout nombre impair est congru
à 1 modulo 2.
Tout nombre est congru à son chiffre des unités modulo 10.
Propriété
Tout nombre est congru modulo n au reste de sa division euclidienne par n.
Propriété
Transitivité
La relation de congruence modulo n est transitive c’est-à-dire que si on a :
x ≡ y [n ] et y ≡ z [n ] alors on a : x ≡ z [n ].
Propriété
Addition, soustraction et multiplication de congruences de même module
La relation de congruence modulo n est compatible avec l’addition, avec la soustraction et avec la multiplication dans ; c’est-à-dire que si on a : x ≡ y [n ]
et x ′ ≡ y ′ [n ] alors on a aussi : x + x ′ ≡ y + y ′ [n ], x − x ′ ≡ y − y ′ [n ] et
xx ' ≡ yy ' [n ].
Cela veut dire que si on a deux congruences modulo n, on peut les ajouter membre
à membre, les retrancher membre à membre ou les multiplier membre à membre et
on obtient encore une congruence modulo n.
56
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
Propriété
Multiplication par un entier
Si x ≡ y [n ] alors, pour tout k appartenant à
, on a : kx ≡ ky [n ].
Propriété
Élévation à une puissance
Si x ≡ y [ p ] alors, pour tout entier naturel n, on a : x n ≡ y n [ p ].
4. Nombres premiers
Définition
Un nombre entier naturel n est un nombre premier lorsqu’il admet exactement deux
diviseurs positifs qui sont 1 et n.
Propriété
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 :
tMFOUJFSn admet au moins un diviseur premier.
tTJn n’est pas premier, n admet au moins un diviseur premier p tel que p ≤ n .
Théorème
Il existe une infinité de nombres premiers.
Théorème
Tout naturel n, strictement supérieur à 1, peut s’écrire comme un produit de nombres
premiers. Cette décomposition en facteurs premiers est unique à l’ordre près.
Séquence 1 – MA03
57
© Cned - Académie en ligne
Théorème
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 dont la décomposition en produit
de facteurs premiers est :
n = p1 α1 × p2 α 2 × ... × pk αk .
β
β
β
Alors les diviseurs de n dans N sont les entiers naturels p1 1 × p2 2 × ... × pk k
où pour tout 1≤ i ≤ k , 0 ≤ βi ≤ αi .
Corollaire
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 dont la décomposition en produit
de facteurs premiers est :
n = p1 α1 × p2 α 2 × ... × pk αk .
Alors le nombre de diviseurs positifs de n est ( α1 + 1) × ( α 2 + 1) × ... × ( αk + 1).
B
Exercice I
Exercices de synthèse
On appelle (E) l’ensemble des entiers naturels qui peuvent s’écrire sous la
forme 9 + a 2 où a est un entier naturel non nul ; par exemple 10 = 9 + 12 ;
13 = 9 + 22 etc.
On se propose dans cet exercice d’étudier l’existence d’éléments de (E) qui sont
des puissances de 2, 3 ou 5.
Étude de l’équation d’inconnue a : a 2 + 9 = 2n où a ∈N, n ∈N, n ≥ 4.
a) Montrer que si a existe, a est impair.
b) En raisonnant modulo 4, montrer que l’équation proposée n’a pas de solution.
Étude de l’équation d’inconnue a : a 2 + 9 = 3n où a ∈ , n ∈ , n ≥ 3.
n
a) Montrer que, pour tout entier naturel n, si 3 est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
b) Montrer que si a existe, a est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c) On pose n = 2p où p est un entier naturel, p ≥ 2. Déduire d’une factorisation de 3n − a 2 , que l’équation proposée n’a pas de solution.
Étude de l’équation d’inconnue a : a 2 + 9 = 5n où a ∈ , n ∈ , n ≥ 2.
a) En raisonnant modulo 3, montrer que l’équation n’a pas de solution si n
est impair.
58
© Cned - Académie en ligne
Séquence 1 – MA03
b) On pose n = 2p. En s’inspirant du 2 c démontrer qu’il existe un unique
entier naturel a tel que a 2 + 9 soit une puissance entière de 5.
Exercice II
Cette question constitue une restitution organisée de connaissances
a) Soient a, b, c et d des entiers relatifs. Démontrer que :
si a ≡ b mod 7 et c ≡ d mod 7 alors ac ≡ bd mod 7.
b) En déduire que pour a et b entiers relatifs non nuls :
si a ≡ b mod 7 alors pour tout entier naturel n, a n ≡ b n mod 7.
Pour a = 2 puis pour a = 3, déterminer un entier naturel n non nul tel que
a n ≡ 1 mod 7.
Soit a un entier naturel non divisible par 7.
a) Montrer que : a 6 ≡ 1 mod 7.
b) On appelle ordre de a mod 7, et on désigne par k, le plus petit entier
naturel non nul tel que a k ≡ 1 mod 7. Montrer que le reste r de la division euclidienne de 6 par k vérifie a r ≡ 1 mod 7. En déduire que k divise
6. Quelles sont les valeurs possibles de k ?
c) Donner l’ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6.
À tout entier naturel n, on associe le nombre An = 2n + 3n + 4n + 5n + 6n .
Montrer que A2012 ≡ 6 mod 7.
Exercice III
Partie A
Démontrer que pour tout entier naturel non nul
n : 10n ≡ 1 mod 9.
On désigne par N un entier naturel, on appelle S la somme de ses chiffres.
Justifier que N peut s’écrire de la façon suivante :
N = a0 + a1 × 10 + ... + ak −1 × 10k −1 + ak × 10k avec :
0 ≤ a0 ≤ 9 ; 0 ≤ a1 ≤ 9 ; ... ; 0 ≤ ak −1 ≤ 9 et 0 ≤ ak ≤ 9.
Démontrer que N est divisible par 9 si, et seulement si, S est divisible par 9.
Partie B
Sur les billets de banque en euros figure un code de 11 chiffres précédé d’une
lettre. On remplace la lettre par son rang dans l’alphabet habituel comportant
26 lettres. On obtient ainsi un nombre à 12 ou 13 chiffres et on cherche le reste
de la division euclidienne de ce nombre par 9. Ce reste est le même pour tous les
billets authentiques et vaut 8.
Séquence 1 – MA03
59
© Cned - Académie en ligne
Exemple
Code : X27385267637
Rang dans l’alphabet de la lettre X : 24
Nombre obtenu : 2427385267637
Reste pour ce billet : 8
Le code u01308937097 figure sur un billet de banque.
a) Donner le nombre à 13 chiffres correspondant à ce code.
b) Calculer le reste de la division euclidienne par 9 de la somme des 13 chiffres
de ce nombre.
c) Que peut-on dire de ce billet ?
Sur un billet authentique figure le code s0216644810x, x pour le dernier chiffre
illisible. Montrer que x + 42 est congru à 8 modulo 9. En déduire x.
Sur un autre billet authentique, la partie du code formé par les 11 chiffres est
16122340242, mais la lettre qui les précède est effacée. On appelle n le rang
dans l’alphabet de la lettre effacée.
a) Déterminer les valeurs possibles de n.
b) Quelles sont les possibilités pour la lettre effacée ?
Exercice IV
« La lutte incessante entre concepteurs et briseurs de codes a permis une série de
remarquables percées scientifiques. Les concepteurs ont cherché à élaborer des
codes toujours plus sophistiqués pour protéger les communications, alors que les
décrypteurs imaginaient perpétuellement des méthodes plus performantes pour
les attaquer... Leur travail a accéléré le développement technologique, notamment dans le cas de l’ordinateur... L’art de la communication secrète, aussi appelé
cryptographie, fournira à l’âge de l’information ses verrous et ses clefs. »
Simon Singh, Histoire des codes secrets, Livre de Poche, 2001.
Le code ASCII (American Standard Code for Information Interchange) en informatique, permet d’associer à chaque caractère (lettre, signe de ponctuation,
chiffre...) un nombre entier n , compris entre 0 et 255.
Compléter le tableau ci-dessous à l’aide de la fonction CODE du tableur pour
obtenir le code ASCII attribué aux lettres de l’alphabet :
Lettre
A
code ASCII
Lettre
© Cned - Académie en ligne
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
66
N
code ASCII
60
B
Séquence 1 – MA03
O
« Chiffrement » à clé utilisant l’arithmétique :
Le procédé suivant permet de masquer le mot initial : à chaque nombre n,
du Code ASCII correspondant à une lettre donnée, on associe le reste de la
division euclidienne de 7n par 256.
Exemple
Considérons la lettre B, son code ASCII est 66.
On a 7 × 66 = 462 et 462 = 256 × 1+206. Donc la lettre B est codée par : 206.
De même, le mot BONJOUR sera codé :
MOT
B
O
N
J
O
U
R
Code ASCII
66
79
78
74
79
85
82
Nouveau codage
206
41
34
6
41
83
62
Chiffrer le mot CLE.
« Déchiffrement » :
Soit x le nouveau code de la lettre à découvrir et n son code ASCII avec
0 ≤ n ≤ 255 .
a) Justifier que x ≡ 7n mod 256.
b) En déduire que 183x ≡ n mod 256.
c) Décoder le mot suivant :
234
Exercice V
255
34
On note 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α , β les chiffres de l’écriture d’un nombre en
base 12.
Par exemple :
12
βα 7 = 11× 122 + 10 × 12 + 7 × 1
= 11× 144 + 10 × 12 + 7
10
= 1711 (=1711 ).
Soit N1 le nombre s’écrivant en base 12 : N1 = β 1α
12
. Déterminer l’écriture
de N1 en base 10.
Soit
N2 le nombre s’écrivant en base 10 : N2 = 1131.
Déterminer l’écriture de N2 en base 12.
Dans toute la suite, un entier naturel N s’écrira de manière générale en base
12
12 : N = an an −1...a1a0 .
a) Démontrer que N ≡ a0 [3]. En déduire un critère de divisibilité par 3 d’un
nombre écrit en base 12.
b) À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N2 est divisible par 3.
Confirmer avec son écriture en base 10.
Séquence 1 – MA03
61
© Cned - Académie en ligne
a) Démontrer que N ≡ an + an −1 + ... + a1 + a0 [11]. En déduire un critère de
divisibilité par 11 d’un nombre écrit en base 12.
b) À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N1 est divisible par 11.
Confirmer avec son écriture en base 10.
Un nombre N s’écrit x 4 y
12
. Déterminer les valeurs de x et de y pour les-
quelles N est divisible par 33.
Exercice VI
À tout n entier naturel (n > 1), on applique l’algorithme suivant :
Si n = 1 le processus s’arrête, sinon :
n
tTJn est pair, on le transforme en ;
2
tTJn est impair, on le transforme en 3n + 1.
On note à nouveau n le résultat obtenu et on ré-applique l’algorithme à ce n.
Lorsque, pour l’entier n, l’algorithme aboutit à 1, on appelle « suite de Syracuse
associée à n » la suite (finie) des entiers rencontrés pour passer de n à 1.
On note L(n) le nombre d’entiers de cette suite finie. Le nombre L(n) est la longueur de la suite de Syracuse associée à n.
Exemple
Pour n = 5 on obtient successivement les nombres 5−16−8−4−2−1 et donc
L(5) = 6.
a) À l’aide d’un tableur, appliquer cet algorithme aux entiers compris entre 1
et 10.
b) Compléter alors la feuille de calcul en donnant les suites de Syracuse des
100 premiers entiers.
c) Préciser les valeurs de L(26) et L(27).
d) Écrire l’algorithme qui prend en entrée un entier n et qui renvoie le nombre
L(n). L’implémenter sur une calculatrice.
Étude de quelques résultats particuliers relatifs aux longueurs des suites L(n)
pour n entier naturel.
a) Quelle est la longueur des suites de Syracuse associées aux nombres de la
forme 2p pour p entier naturel non nul ?
b) Que peut-on conjecturer quant aux longueurs des suites de Syracuse associées aux nombres de la forme 8k + 4 et 8k + 5 pour k ∈* ?
c) Démontrer conjecture émise en 2.b.
Démontrer que si le reste de la division euclidienne de n par 4 est 0, 1 ou
2, alors l’algorithme amène nécessairement, au bout d’un certain nombre
d’étapes, à un entier strictement inférieur à n.
Remarque
62
© Cned - Académie en ligne
La conjecture de Syracuse affirme que pour tout entier non nul n le processus
aboutit à 1. La longueur de la suite, quant à elle, n’est pas, à l’heure actuelle
prévisible, en toute généralité.
Séquence 1 – MA03
Exercice VII
Nombres de Mersenne (érudit et mathématicien français du XVIIe siècle)
On appelle nombre de Mersenne tout nombre Mn de la forme Mn = 2n − 1 où n
est un entier supérieur ou égal à 2.
a) Calculer les nombres de Mersenne pour n compris entre 2 et 11.
b) Quels sont ceux qui sont premiers ?
c) À quelles valeurs de n correspondent-ils ? Émettre une conjecture.
Les entiers naturels p et q étant non nuls, quel est le reste de la division euclidienne de 2pq par p
? En déduire que 2pq − 1 est divisible par p
(
)
(2 − 1)
2 −1
et par 2q − 1 .
a) Démontrer que si Mn est premier, alors n est premier.
b) La réciproque de cette propriété est-elle vraie ?
Exercice VIII
Montrer que si 7 divise x 2 + y 2 alors 7 divise x et 7 divise y.
Séquence 1 – MA03
63
© Cned - Académie en ligne