Modèle mathématique version sept. 96 M. &amp

CORRIGE FEUILLE D’EXERCICES PROBABILITES
Exercice 1 - Urne
Une urne contient 3 boules : une noire, une rouge et une verte.
1°) 1ère expérience :
On tire une boule de l'urne et après avoir noté sa couleur, on la remet dans l'urne puis on tire une
seconde boule dont on note aussi la couleur.
L'ensemble des résultats possibles Ω = {(R,R);(R,V);(R,N);(N,R);(N,V);(N,N);(V,R);(V,V) ;(V,N)}
Card(Ω) = 9
2°) 2ème expérience :
On tire simultanément deux boules et on note leur couleur.
L'ensemble des résultats possibles Ω = {{R,V} ; {R,N} ; { V;N}) = l'ensemble des combinaisons de 3
éléments pris 2 à 2
⎛3⎞
Card(Ω) = C23 = ⎜ ⎟ = 3
⎝ 2⎠
Exercices probabilités - Page 1
Exercice 2 - dé truqué
Un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 est truqué de telle sorte que chaque face ait la
même probabilité d'apparition sauf l'as qui sort 4 fois plus souvent.
1°) L'ensemble des résultats possibles Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
2°) Notons p1, p2, p3 , p4, p5 ,p6 les probabilités respectives des événements élémentaires
{1} , {2} , {3} , {4} , {5} , {6}
⎧ pp +=p4 x+ p
⎪ p =x
On doit donc résoudre le système suivant : ⎨ p = x
p =x
⎪ p =x
⎩ p =x
1
2
3
+ p4 + p5 + p6 = 1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
4
1
c'est-à-dire p1=
; p2 = p3 = p4 = p5 =p6 =
9
9
⎧ 9p x==41 x
⎪ p =x
⇔⎨ p = x
p =x
⎪ p =x
⎩ p =x
5
6
6
3°) Comme la probabilité d'un événement = la somme des probabilités des événements
élémentaires qui le composent
6 2
alors p(A) = p(" le nombre sorti est au plus égal à 3") = p({ 1, 2 , 3}) = p1 + p2 + p3 =
=
9 3
Exercice 3 - dé truqué
On considère un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. Ce dé est truqué de telle façon que la
probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro porté sur cette face.
On admet que c'est le même coefficient de proportionnalité qui intervient pour chacune des
faces.
1°) L'ensemble des résultats possibles Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
2°) Notons p1, p2, p3 , p4, p5 ,p6 les probabilités respectives des événements élémentaires
{1} , {2} , {3} , {4} , {5} , {6}
⎧ pp +=p x + p
⎪ p =2x
On doit donc résoudre le système suivant : ⎨ p = 3 x
p =4x
⎪ p =5x
⎩ p =6x
1
2
3
+ p4 + p5 + p6 = 1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
c'est-à-dire p1=
; p2 =
;p3 =
;p4 =
; p5 =
; p6 =
21
21
21
21
21
21
⎧ 21p x= =x1
⎪ p =2x
⇔⎨ p = 3 x
p =4x
⎪ p =5x
⎩ p = 6x
1
2
3
4
5
6
3°) Déterminer la probabilité de l'événement A : "le nombre sorti est pair"
Comme la probabilité d'un événement = la somme des probabilités des événements élémentaires
qui le composent
12 4
alors p(A) = p(" le nombre sorti est pair") = p({ 2, 4 , 6}) = p2 + p4 + p6 =
=
21 7
Exercices probabilités - Page 2
Exercice 4 - dé truqué - extrait Bac Antilles -Guyane A Juin 78
On considère un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6.
Ce dé est truqué de telle façon que la probabilité d'obtenir 2 est égale à a où a est un nombre
réel strictement compris entre 0 et 1. Les probabilités des autres faces sont égales.
1°) On lance ce dé 1 fois. Calculer en fonction de a les probabilités des événements suivants :
A : "obtenir un nombre pair"
B : "obtenir un nombre impair"
2°) Déterminer a pour que P(A) = P(B)
Exercice 5 - dé truqué
1 dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 est truqué de la façon suivante : les faces
impaires ont toutes la même probabilité d'apparition ; les faces paires ont toutes la même
probabilité d'apparition ; la probabilité d'apparition d'une face paire quelconque est le triple
d'une face impaire. Définir la loi de probabilité associée à un lancer unique du dé.
Exercice 6 - Feu tricolore
Le cycle d'allumage d'un feu tricolore est le suivant : 45" vert - 5" orange - 20" rouge . En
admettant qu'un automobiliste arrive par hasard devant l'une des 3 positions du feu, déterminer
la loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire.
Exercice 7
On dispose de 6 objets à répartir dans 3 boîtes.
Déterminer la probabilité des 3 événements suivants :
A : "la 1ère boîte ne contient aucun objet"
B :"la 2ème boîte contient 2 objets exactement"
C : "Chaque boîte contient 2 objets exactement"
Exercice 8 - tiercé
Le PMU propose une course de 20 chevaux qui ont tous la même côte.
1°) Un joueur joue un tiercé dans l'ordre. Quelle est sa probabilité de gain ?
2°) Un joueur joue un tiercé dans le désordre. Quelle est sa probabilité de gain ?
Exercice 9
Un sac contient 20 jetons de formes et de couleurs différentes. On compte 5 jetons ronds, 8
jetons rouges et parmi eux 2 sont à la fois ronds et rouges. On tire au hasard un jeton du sac.
1°) Quel est l'ensemble des résultats possibles Ω ?
2°) Déterminer la probabilité de l'événement A : "le jeton tiré est rond"
3°) Déterminer la probabilité de l'événement B : " le jeton tiré est rouge "
4°) En déduire la probabilité pour que le jeton tiré soit rond ou rouge
5°) Quelle est la probabilité pour que le jeton tiré ne soit ni rond, ni rouge.
Exercice 10
On lance 3 fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée.
1°) Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois pile
2°) Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois exactement pile.
Exercice 11 - cartes
On tire simultanément et au hasard 2 cartes d'un jeu de 4 cartes comprenant un trèfle, un
carreau, un cœur et un pique.Quelle est la probabilité pour que les cartes tirées soient de la
même couleur.
Exercice 12 - Dés
Exercices probabilités - Page 3
On lance simultanément 2 dés non truqués numérotés de 1 à 6 mais l'un est rouge et l'autre est
bleu.
1ère expérience : On lance les 2 dés. Quelle est la probabilité pour que le nombre marqué sur le dé
bleu soit le double de celui marqué sur le dé rouge ?
2ème expérience : On lance les 2 dés. Si la somme des points obtenus est strictement supérieur à
7 on gagne sinon on perd . Le jeu est-il favorable à celui qui lance ?
3ème expérience : On lance les 2 dés. Si la valeur absolue de la différence des points obtenus est
1 ou 2 on gagne sinon on perd . Le jeu est-il favorable à celui qui lance ?
Exercice 13 - Le problème du Duc de Toscane
Joueur assidu, le Grand Duc de Toscane avait remarqué qu'en lançant 3 dés et en totalisant les
points obtenus, il était plus fréquent d'obtenir 10 points que 9. Une telle constatation l'étonnait
grandement, puisque 10 aussi bien que 9 se décompose tous deux de 6 manières différentes :
10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 4 + 4
9=1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3
Jérôme CARDAN n'aariva pas à résoudre ce problème. GALILEE lui le résoudra en utilisant la
démarche ci-dessous que vous êtes invités à suivre ;
1°) a) déterminer tous les triplets de points dont la somme est 10
b) déterminer le nombre de ces triplets
c) en déduire la probabilité d'obtenir comme somme 10
2°) Faites le même travail pour déterminer la probabilité d'obtenir 9
3°) Conclure.
Exercice 14 - Bac Antilles-Guyane C Juin 77
Dans un village du Far-West, 2 désespérados Allodius Fillmore et Zébulon Bedloc s'affrontent
dans un duel avec un colt à 6 coups.
A chaque échange de coups de feu, la probabilité m2 pour qu'Allodius atteigne Zébulon est le
double de la probabilité m1 pour que Zébulon atteigne Allodius (Zébulon sort du saloon !!!)
Dans ce genre de rencontre, il n'y a que 2 issues possibles : ou bien on en sort indemmne ou bien
on en sort mort.D'après les statistiques établies par le croque-mort du village, la probabilité à
chaque échange de coups de feu pour que l'un au moins des protagonistes gise mort dans la
5
poussière est de .
8
Soit A l'événement "les antagonistes restent tous les deux vivants après un coup de feu échangé"
Soit B l'événement "les antagonistes sont tués tous les deux après un coup de feu échangé"
1°) Déterminer l'univers Ω traduisant le phénomène aléatoire suivant : "un coup de feu est tiré de
part et d'autre"
2°) Calculer m1 puis la probabilité de chaque événement élémentaire.
3°) Les adversaires tirent jusqu'à épuisement de leur barillet.
Calculer la probabilité pour que, quand la fumée se dissipe, chacun s'aperçoive que son adversaire
est toujours debout.
Exercice 15 - Concours entrée EPF (Ecole Polytechnique Féminine) 1993
Dans un univers Ω contenant un nombre fini d'éventualités, on considère 2 événements A et B de
même probabilité x.
P(A) = P(B) = x et on note y = P(A ∩ B)
2
1°) Dans R , on considère les points de coordonnées (x;y)
a) Que peut-on dire de A, B et Ω correspondant aux points M qui ont, soit une abscisse nulle,
soit une ordonnée nulle ?
b) En évaluant P( A ∪ B) , montrer que 0 ≤ 2 x - y ≤ 1.
En déduire la région acceptable des points M(x ; y) que l'on représentera graphiquement.
Exercices probabilités - Page 4
c) Pour quelles valeurs de x, A et B sont-ils d'intersection non vide ?
d) Existe-t-il des points M(x ; y) pour lesquels A et B forment une partition de Ω ?
2°) Dans cette question, on considère 2 événements quelconques A et B de Ω.
On note x = P(A), y = P(B) et z = P(A ∩ B)
3
Représenter dans R la région acceptable des points M(x ; y ; z)
Exercice 16
1°) Démontrer que pour tout réel x ≥ 0 et pour tout entier n > 0 on a :
n
(1 + x) ≥ 1 + nx
2°) On dispose de n boules numérotées de 1 à n. On les place toutes au hasard dans n boîtes
(chaque boîte pouvant contenir de 0 à n boules).
On désigne par Pn la probabilité que chaque boîte contienne exactement une boule.
n!
Montrer que Pn = n
n
3°) En utilisant le 1°) montrer que pour tout entier n > 0 on a :
En déduire que Pn ≤
Pn
Pn+1
1
2
n-1
Quelle est la limite de Pn lorsque n tend vers + ∝ ?
Exercices probabilités - Page 5
≥2
Feuille 10 - Probabilités -(suite)
Exercice 17
Voici le plan de la salle 308 du Lycée Dupont :
R4
R3
R2
R1
Allée
centrale
Bureau
Le premier jour de l'année scolaire, les élèves de la classe de TS1 sont invités par le professeur
principal à s'installer au hasard des places disponibles dans cette salle.
La classe de TS1 comporte 28 élèves.
1°) Quel est le nombre de répartitions des places inoccupées ?
-4
2°) Calculer à 10 près, les probabilités des évènements suivants :
A : " les 8 places du rang R4 sont toutes occupées"
B : " Il y a autant d'élèves à gauche qu'à droite de l'allée centrale"
3°) Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.
Soit X la variable aléatoire "nombre de places inoccupées au rang R4"
a) Donner la loi de probabilité de X.
b) Calculer son espérance mathématique
Exercice 18
Un dé cubique A possède : une face numérotée 1, deux faces numérotées 2 et trois faces
numérotées 3.
Un deuxième dé cubique B possède : une face numérotée 1, deux faces numérotées 2, une face
numérotée 3 et deux faces numérotées 4.
On suppose que toutes les faces des deux dés ont la même probabilité d'être obtenues.
1°) On lance les deux dés et à chaque lancer, on associe la valeur absolue de la différence des
points marqués sur les faces supérieures des deux dés.
Soit X la variable aléatoire ainsi définie.
a) Déterminer la loi de probabilité de X
b) Déterminer l'espérance mathématique de X
c) Déterminer puis représenter graphiquement la fonction de répartition de X
2°) On lance six fois de suite les deux dés. Calculer la probabilité pour que la valeur absolue de la
différence soit égale à 2, exactement trois fois.
Exercice 19
Un tournoi oppose 2 équipes A et B qui jouent 3 parties successives d'un même jeu.
Le vainqueur du tournoi est l'équipe qui a gagné le plus de parties. Chaque équipe est notée
respectivement A, B ou N suivant que l'équipe A gagne, l'équipe B gagne ou la partie est nulle.
La probabilité pour que A gagne est de 0,5, celle de B O,4 et celle d'un match nul de 0,1 pour
chaque partie.
1°) Dresser la liste des tournois sans vainqueur. Justifier qu'ils sont au nombre de 7.
Montrer que la probabilité pour que le tournoi sans vainqueur est égale à 0,121
2°) a) Calculer la probabilité pour que l'équipe A gagne exactement une partie du tournoi et gagne
le tournoi.
b) Montrer que la probabilité pour que l'équipe A soit vainqueur du tournoi est 0,515
3°) Sachant que l'équipe B est vainqueur du tournoi, calculer la probabilité que l'équipe B ait
gagné exactement 2 parties.
Exercices probabilités - Page 6
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