Electromagnétique 6

Electromagnétique 5
Ondes électromagnétiques
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Table des matières
Equations de Maxwell – Equation d'onde
1.1 Eq. de Maxwell dans le vide en dehors des charges et courants
1.2 Equations de propagation
1.3 Les potentiels
1.4 Solutions de l'équation d'onde
1.5 Ondes planes et sphériques
1.6 Propriétés des ondes planes progressives (OPPEM)
Ondes planes monochromatiques
2.1 Définitions
2.2 Période et fréquence
2.3 Polarisations des ondes planes monochromatiques
2.4 Représentation complexe des ondes monochromatiques
Energie électromagnétique
3.1 Considération qualitative
3.2 Puissance cédée par un champ EM à des porteurs de charge
3.3 Identité de Poynting
3.4 Densité et flux d'énergie électromagnétique
3.5 Vecteur de poynting
3.6 Application aux OPPM
Réflexion d'une onde plane sur un conducteur parfait Ondes stationnaires
4.1 Introduction qualitative – Rappels
4.2 Réflexion d'une OPPEM monochr. sur un conducteur parfait
4.3 Structure de l'onde stationnaire
4.4 Aspect énergétique
4.5 Notions de modes propres d'une cavité
Notion sur la propagation guidée
5.1 Préambule
5.2 Cas d'un guide rectangulaire
5.3 Modes de propagation
5.4 Mode TE du guide d'onde rectangulaire
Lignes de transmission
6.1 Modélisation électrique
6.2 Equations des télégraphistes
6.3 Impédance caractéristique
6.4 Coefficients de réflexion : définition
6.5 Adaptation d'impédance
ANNEXE1
Onde dans un guide d'onde : cas général
2
2
3
4
5
6
8
9
9
10
13
17
20
20
21
22
23
24
25
27
27
28
29
31
32
33
33
34
36
37
40
40
41
43
45
46
48
49
2
1. Equations de Maxwell – Equation d'onde
1.1 Eq. de Maxwell dans le vide en dehors des charges et courants
Les équations de Maxwell dans le vide :
divE = ρ
ε0
divB = 0
∂B
rotE = −
∂t
∂E
rotB = µ 0 J + µ 0ε 0
∂t
En dehors des charges et des courants : ρ = 0 et
divE = 0
divB = 0
J =0
∂B
rotE = −
∂t
∂E
rotB = µ 0ε 0
∂t
Les sources du champ E.M. n’apparaissent pas dans les équations de Maxwell.
3
1.2 Equations de propagation
• Champ électrique :
∂B
rotE = −
∂t
∂² E
⇒ ∆E − µ 0ε 0
=0
∂t ²
• Champ magnétique :
∂E
rotB = µ 0ε 0
∂t
∂² B
⇒ ∆B − µ 0ε 0
=0
∂t ²
• Les Potentiels :
1 ∂V
∆V −
=0
c ² ∂t
1 ∂V
=0 ⇒
divA +
c ² ∂t
(jauge de Lorentz)
et
1 ∂² A
∆A −
=0
c ² ∂t ²
Les 2 champs et les potentiels obéissent donc à une équation de la forme :
1 ∂² F
∆F −
=0
c ² ∂t ²
Il s'agit de l'équation d'onde (ou équation de d'Alembert : F )
Exprime une relation entre variation spatiale et temporelle de la variable
La fonction F est une onde qui se propage à la vitesse c.
Les 2 équations en E et B montrent donc que le champ électromagnétique se
manifeste sous la forme d'une onde qui se propage dans le vide à la vitesse :
c=
1
µ 0ε 0
(= 299 792 458 m / s )
Cette équation possède une infinité de solutions → conditions aux limites
4
1.3 Les potentiels
• potentiel scalaire:

∂A
E = − gradV −

∂t

∂
divE = − div( gradV ) − divA = 0 
∂t

⇒
∆V +
∂
divA = 0
∂t
sachant que : div (gradV) = ∆V
• potentiel vecteur
or
⇒
B = rotA
⇒
rotB = rot (rotA) = graddivA − ∆A
 1 ∂V  1 ∂ ² A
1 ∂E
rotB =
= − grad 
−
c ² ∂t
 c ² ∂t  c ² ∂t ²
1 ∂ ² A  1 ∂V 
∆A −
= grad  divA +

c ² ∂t ²
c ² ∂t 

V défini à une Cste près
A défini à un gradient près: ⇒ il existe une infinité de couple (V, A) solution
Ceci autorise une condition supplémentaire sur les potentiels → choix de jauge
1 ∂V
jauge de Lorentz : on impose : divA +
=0
c ² ∂t
1 ∂V
=0
on obtient : ∆V −
c ² ∂t
et
1 ∂² A
∆A −
=0
c ² ∂t ²
Les potentiels obéissent à la même équation d'onde que les champs
• Cette équation possède une infinité de solutions → conditions aux limites
→ symétrie du problème
5
1.4 Solutions de l'équation d'onde
Solution :On montre que la solution d’une telle équation s’écrit :
F = f (t − r ) + g (t + r )
c
c
ou
F = f (r − ct ) + g (r + ct )
avec r (x, y, z)
Signification : 2 couples (r1, t1) et (r2, t2) donneront la même solution ssi :
r1 - ct1 = r2 - ct2
r1 + ct1 = r2 + ct2
⇒ c=±
r2 − r1
t2 − t1
• Il y a donc propagation d’un phénomène à la vitesse c
• f et g sont des ondes progressives se propageant en sens inverses :
f : l’onde s’éloigne de la source (vers les r croissants)
g : l’onde se rapproche de la source (vers les r décroissants)
Dans le cas général, F est la somme de 2 ondes se propageant en sens inverses.
Remarques : opposition : onde progressive – onde stationnaire
Les ondes progressives sont décrites par des fonctions du type :
fp (t , M)= A (M) . f (t , r(M))
Les ondes stationnaires sont décrites par des fonctions du type :
fp = A (M) . f (t)
Les fonctions d'espace et de temps sont dissociées
6
1.5 Ondes planes et sphériques
1.5.1 L' onde plane
Soit 1 direction Ou quelconque définie par :
eu = α ex + β ey + γ ez
z
Σ
y
Soit un point M repéré par :
r = xex + yey + zez
M
O
eu
H
u
x
Si H est la proj. de M suivant eu on note :
u = OH = eu .r = α x + β y + γ z
Lorsque le champ ( E , B ) ne dépend que de u l'onde est dite plane.
En effet, le champ ( E , B ) a la même valeur en tout point du plan Σ
E ( M , t ) = E (u , t ) et
B( M , t ) = B (u , t )
Σ, plan perpendiculaire à la direction Ou, est appelé plan d'onde
L’équation d’onde devient :
∂ ² F (u , t ) 1 ∂ ² F
−
=0
∂u ²
c ² ∂t ²
solution du type :
F = f (t − u ) + g (t + u )
c
c
D'un point de vue pratique on essaie de faire coïncider la direction Ou avec un
des axes du repère. Par exemple si Ou ≡ Oz on obtient des solutions du type :
F = f (t − z ) + g (t + z )
c
c
et le plan d'onde est // au plan Oxy
7
Le concept d'"onde plane" est simple mais représente toujours une
approximation car il n'est valable que dans un espace limité
1.5.2 L'onde sphérique
Concept plus réaliste → émission EM d'une source ponctuelle
Une onde est dite "sphérique" si les composantes du champ en tout point de
l'espace ne dépendent que de la distance r de ce point à la source
1 ∂² F
=0
L'équation d'onde s'écrit : ∆F −
c ² ∂t ²
En coordonnées sphériques : ∆Ψ =
⇒
⇒
1 ∂²
1
∂
∂Ψ
1
∂ ²Ψ
(r. Ψ ) +
(sin θ
)+
r ∂ ²r
r ² sin θ ∂θ
r ² sin ²θ ∂ ²ϕ
∂θ
1 ∂ ²(r.F ) 1 ∂ ² F
+
=0
r ∂ ²r
c² ∂ t ²
∂ ²(r.F ) 1 ∂ ²(r.F )
+
=0
c² ∂ t ²
∂ ²r
⇒ solution de la forme :
rF = f (t − r ) + g (t + r )
c
c
⇒ et donc :
1
1
F = f (t − r ) + g (t + r )
c r
c
r
C'est-à-dire la somme de 2 fonctions, une divergente et une convergente
L'onde sphérique se déforme puisqu'elle s'atténue avec r.
8
1.6 Propriétés des ondes planes progressives (OPPEM)
Considérons Oz comme direction de propagation
Considérons la solution correspondant à la progression vers les z croissants
Considérons le changement de variable suivant : v = z – ct
Soit E(v) le module du champ E (v ) et Ex, Ey et Ez ses composantes
∂E ∂E ∂v ∂E
∂E ∂E ∂v
=
=
=
∂z ∂v ∂z ∂v
∂t ∂v ∂t
Idem pour le champ B(v)
• Première propriété
∂Ex ∂E y ∂Ez
∂Ez
divE = 0
⇒
+
+
=0
⇒
∂x
∂y
∂z
∂z
∂Bx ∂By ∂Bz
∂Bz
divB = 0
⇒
+
+
=0
⇒
∂x
∂y
∂z
∂z
⇒ E et B sont dans le plan _|_ à la dir. de propagation
(à opposer aux ondes longitudinales)
• Deuxième propriété
∂B
On utilise la relation : rotE = −
∂t
∂ ∂ rot. → ∇ ∧ . = (ez ∧ .) = (ez ∧ .)
⇒
or
∂z
∂v
ez ∧ E
B=
(pas de cste d'intégration,
⇒
c
Remarquons que :
une cste ne se propage pas)
⇒
B _|_ E
= −c
∂E
∂v
=0
Ez = 0
=0
Bz = 0
Onde transverse
∂ ∂B
( ez ∧ E ) = c
∂v
∂v
( ez , E et B trièdre direct)
Dans le cas général, pour une propagation suivant un vecteur unitaire n cette
relation devient :
n ∧ E
B=
c
et porte le nom de relation de structure de l'onde plane progressive
• Troisième propriété
E
Le calcul précédent nous montre que : B =
c
Remarquons que B << E
9
2. Ondes planes monochromatiques
2.1 Définitions
Considérons uniquement la solution d'onde se propageant vers les r croissants.
Une onde plane monochromatique est telle que ses champs ont la forme :
r
F = Fm cos( ω ( t − ) + ϕ )
c
F = Fm cos( ω t − kr ) + ϕ )
ou
où Fm : est l'amplitude du champ de coordonées Fx Fy Fz
ω : est la pulsation (rds/s)
k : est le vecteur d'onde de coordonnées : k x k y k z ;
notons : k =
ω
c
(en m-1)
et k // r ( direction de propagation)
r : donne la position du pt où est calculé le champ
et la direction de propagation (coordonnées x, y et z)
ϕ : est la phase à l'origine des temps et de l'espace
On appelle
Φ( r ,t ) = ω t − kr + ϕ
la phase de l'onde en r à l'instant t
2.1.1 Cas particulier :
si la propagation est suivant Oz le champ E s'exprime de la façon suivante :
E x = Emx cos( ω t − kz + ϕ1 )
E( z,t ) : E y = Emy cos( ω t − kz + ϕ 2 )
Ez = 0
2.1.2 Intérêt des ondes planes monochromatiques
L' onde plane progressive monochromatique n'a pas de sens physique réel.
Son intérêt vient du fait que la superposition de telles ondes correspond à des
solutions réalistes.
10
2.2 Période et fréquence
2.2.1 Périodicité
Une telle onde fait apparaître une double périodicité :
2π
1 – période temporelle : T =
période
ω
évolution temporelle d'une grandeur en un point de l'espace
2π
longueur d'onde
k
état de l'espace à un instant donné (photographie)
2 – période spatiale : λ =
Lien entre les périodes : λ = cT
2.2.2 Fréquences
On peut définir des fréquences à partir des périodes
• fréquence temporelle : f ou ν =
1 ω
=
T 2π
• fréquence spatiale ou nombre d'onde : σ =
1
λ
=
k
2π
Ces fréquences permettent de classer les ondes électromagnétiques
11
2.2.3 Classification des ondes monochromatiques
Cas particulier des ondes hertziennes :
NOM
f
λ
Franchissement
d'obstacles
3 kHz 100 km
30 kHz 10 km
Pénétration
d'obstacles
Pénétration
dans l'eau
Réflexion
en surface
Réflexion
ionosphérique
VLF
VERY LOW
FREQUENCIES
LF
LOW
FREQUENCIES
30 kHz
300 kHz
10 km
1 km
-
-
MF
MEDIUM
FREQUENCIES
300 kHz
3000 kHz
1 km
100 m
-
-
HF
HIGHT
FREQUENCIES
3 MHz
30 MHz
100 m
10 m
-
-
VHF
VERY HIGHT
FREQUENCIES
30 MHz
300 MHz
10 m
1m
-
-
-
-
UHF
ULTRA HIGHT
300 MHz 100 cm
FREQUENCIES 3000 Mhz 10 cm
-
-
-
-
SHF
SUPER HIGHT 3000 MHz
FREQUENCIES
30 GHz
10 cm
1 cm
-
-
-
-
EHF
EXTREMELY
HIGHT FREQ.
30 GHz 10 mm
300 GHz
1 mm
-
-
-
-
-
12
2.2.4 Exemple :Onde plane monochromatique associée à un faisceau laser.
Un faisceau laser de longueur d’onde λ émet une OPM polarisée rectilignement
qui se propage dans une direction Ox’ contenue dans le plan Oxy et faisant un
angle de 60° avec l’axe Ox. Le faisceau est polarisé rectilignement suivant Oz.
a) Ecrire les composantes du vecteur d’onde, du champ électrique, du champ
magnétique et du vecteur de Poynting.
b) Calculer leur norme dans le cas d’un laser à Argon (λ = 488nm) qui émet en
continu un faisceau cylindrique de section 1 mm² et de puissance moyenne 1W.
13
2.3 Polarisations des ondes planes monochromatiques
polarisation → problème de l'orientation des champs E et B
Considérons une onde plane monochromatique se propageant suivant Oz :
y
E x = Emx cos( ω t − kz − ϕ1 )
E
E( z,t ) : E y = Emy cos( ω t − kz − ϕ 2 )
Ey
Ez = 0
x
Ex
0
z
M
Bx =
c
cos( ω t − kz − ϕ1 )
e ∧E
E
B= z
: By = mx cos( ω t − kz − ϕ 2 )
c
c
Bz = 0
et
− Emy
2.3.1 Différents états de polarisation dans le plan d'onde
Par commodité on se place dans le plan z = 0 :
y
Ex = Emx cos( ω t − ϕ1 )
E y = Emy cos( ω t − ϕ 2 )
Ds le plan Oxy, l'extrémité du champ E
décrit une courbe inscrite ds un rectangle de
côtés 2Emx et 2Emy
Ey
2Emy
x
Ex
2Emx
Différents cas se présentent :
E
14
a) 1er cas : ϕ2 - ϕ1 = 0 ou π
les composantes oscillent en phase
⇒
Ex Emx
=
E y Emy
le champ garde une direction fixe
⇒
polarisation rectiligne
Oy
E
Emy
Ox
Emx
les deux composantes en phase
b) 2ème cas : ϕ2 - ϕ1 ≠ n.π
Posons ϕ = ϕ2 - ϕ1, on peut écrire : Ex = Emx cos( ω t )
E y = Emy cos( ω t − ϕ )
Ey
Ex
⇒
= cos( ω t )
= cos( ω t )cos( ϕ ) + sin( ω t )sin( ϕ )
Emx
Emy
E
E
⇒
sin( ω t )sin( ϕ ) = y − x cos( ϕ )
Emy Emx
Ex
sin( ϕ )
Emx
On élève au carré les 2 expressions et on les ajoute :
⇒
cos( ω t )sin( ϕ ) =
²
²
 Ex   E y 
 E   Ey 
 − 2  x  
 cos( ϕ ) = sin²( ϕ )

 + 
 Emx   Emy 
 Emx   Emy 
Il s'agit de l'équation d'une ellipse → polarisation elliptique
Oy
Emx
Ox
Emy
E
elliptique
droite
elliptique
gauche
15
c) Remarques
• cas particulier : ϕ2 - ϕ1 = (2n+1).π/2 et Emx = Emy
Dans ce cas la polarisation est circulaire
circulaire
droite
Oy
E
circulaire gauche
Emy
Ox
Emx
• sens de rotation :
àt=0
→
Ey est max
et
∂E y
∂t
= Emy sin( ϕ )
t =0
le sens de rotation est donc donné par le signe de sin(ϕ)
• lumière polarisée et lumière naturelle
- ds le domaine de fréquence du visible on donne le nom de vibration
lumineuse aux ondes électromagnétiques.
- la lumière naturelle n'est pas polarisée
- elle peut se représenter par la somme de 2 ondes rectilignes _|_ sans
relation de phase : ϕ2 - ϕ1 varie aléatoirement au cours du temps
- il est possible de polariser la lumière naturelle :
o soit en superposant à une autre onde polarisée → pol. partielle
o soit à la traversée d'un système optique : polariseur
16
2.3.2 Exercice
On considère le champ E défini par ses composantes :
Ex = 0
E y = E0 y cos(kx − ω t )
E z = E0 z cos(kx − ω t + ϕ )
Préciser l'état de polarisation dans les 6 cas suivants :
a) E0 y = 0
b) E0 z = 0
a) ϕ = 0
b) ϕ = π
c) E0 y = E0 z et ϕ = π/2
d) E0 y = E0 z et ϕ = π/2
ϕ=0
ϕ=π
elliptique gauche
0<ϕ<π
ϕ = π/2
π < ϕ < 3π/2
ϕ = 3π/2
elliptique droite
π/2 < ϕ < π
3π/2 < ϕ < 2π
17
2.4 Représentation complexe des ondes monochromatiques
2.4.1 Ecriture complexe
Considérons l'OPPEM monochromatique suivante :
E x = E0 x cos( kz − ω t + ϕ1 )
E( z,t ) : E y = E0 y cos( kz − ω t + ϕ 2 )
Ez = 0
En utilisant les vecteurs de la base on obtient :
E = E0 x cos(kz − ω t + ϕ1 ).ex + E0 y cos(kz − ω t + ϕ 2 ).ey
Soit encore en utilisant la notation complexe :
E = Re{ E0 x ei ( kz −ωt +ϕ1 )ex + E0 y ei ( kz −ωt +ϕ2 ) ey }
E = Re E0ei ( kz −ωt )
{
ou encore :
}
E0 = { E0 x eiϕ1 .ex + E0 y eiϕ2 .e y }
avec
En résumé, E est la partie réelle d'un vecteur complexe E
E = Re E
{}
E = E0ei ( kz −ω t )
avec
2.4.2 Notation complexe et opérateurs différentiels
Tout l'intérêt de la notation complexe vient de la simplicité des transformations :
 ∂E 
∂E
= Re   = Re{−iω E}
∂t
 ∂t 
on va plutôt choisir :
Et pour les opérateurs :
et
∂E
= −iω E
∂t
divE = ik .E;
 ∂E 
∂E
= Re   = Re{ik x E}
∂x
 ∂x 
et
∂E
= ik x E
∂x
rotE = ik ∧ E ;
∆E = −k ² E
Ces identités ne sont valables que pour des OPPEM monochromatiques
18
2.4.3 Notations complexes et Equations de Maxwell
Pour illustrer écrivons en notations complexes les Equations de Maxwell dans
le vide et en dehors des charges et des courants:
divE = 0
∂B
rotE = −
∂t
divB = 0
∂E
rotB = µ 0ε 0
∂t
En remplaçant les champs par des grandeurs complexes on obtient :
ik .E = 0
ik ∧ E = iω B
ik .B = 0
ik ∧ B = −iωµ 0ε 0 E
Les 2 premières relations montrent que E et B sont _|_ à la dir. de propagation
Les 2 suivantes montrent que le trièdre k , E , B est direct
Ces 2 dernières relations montrent aussi, en égalant les modules :
k .E = ω .B
et donc
⇒
B.k = ωµ 0ε 0 E
B = k.
⇒
E
ω
k ² = ω ² µ 0ε 0
⇒
Le double signe correspond aux 2 sens possible de propagation
Et enfin, en posant k = kn la relation k ∧ E = ω B devient :
n ∧ E = cB
qui est la relation de structure de l'OPPEM
k =±
ω
c
19
2.4.4 Exercices
On considère le champ E défini par ses composantes :
Ex = 0
E y = E0 y cos(kx − ω t )
E z = E0 z cos(kx − ω t + ϕ )
a) l'exprimer en notation complexe.
b) Déterminer le champ B à partir de l'Equation de Maxwell-Ampère
c) Vérifier le résultat à partir de la relation de structure de l'onde plane.
20
3. Energie électromagnétique
3.1 Considération qualitative
• On a vu :
ε E²
- une région où règne un champ E → stockage d’énergie électrique  0 
 2 
 B² 
- une région où règne un champ B → stockage d’énergie magnétique : 

 2µ0 
• Observation : l'onde EM transporte de l'énergie
- les charges en mvt d'une antenne radio engendre un champ EM qui peut
mettre en mvt les charges d'une antenne réceptrice
- le soleil qui nous chauffe et nous éclaire dès qu'il apparaît
→ transport d'énergie dans le vide
• localisation d'énergie dans l'espace, vitesse finie de propagation:
Par exemple, lorsqu'un laser envoie un "pulse" de durée ∆t très faible tel que
∆t=<< t2-t1 (t1 date d'émission et t2 date de réception):
Laser
ct
vvvvv
récepteur
Entre émission et réception, l'énergie se trouve "localisée" dans l'espace.
Donc une onde EM se propage à vitesse finie et transporte de l’énergie.
• Multiples exemples : soleil, onde radios, radiographie …
puissance émise : Emetteur radio
Ampoule électrique
Laser
Soleil
qques 100 kW
qques 10 W
qques mW
3.7 1026 W
21
3.2 Puissance cédée par un champ EM à des porteurs de charge
Soit une charge q animée d'une vitesse v (dans le réf.) ds l'espace où se propage
un champ EM.
elle subit la force :
f = q( E + v ∧ B)
dont le travail pendant dt vaut :
∂W = f .d ℓ = f .v .dt
et la puissance :
P1 = qE.v
⇒
∂W = qE.vdt
Si q appartient à un ensemble de charges de densité n, la puissance fournie aux
dN = n.dτ particules vaut :
dP = dN .P1 = nqE.vdτ = J .E.dτ
où
J = nqv
représente le vecteur densité de courant
Pour l'ensemble des charges contenues dans le volume fini V on obtient :
Pchamp→ch arg es = ∫∫∫ J .E.dτ
V
Si on désigne par Ec l'énergie cinétique des porteurs de charge, le Th. de
l'énergie cinétique donne :
dEc
= ∫∫∫ J .E.dτ
V
dt
22
3.3 Identité de Poynting
On considère 2 des 4 équations de Maxwell :
∂E
(1) rotB = µ 0 J + ε 0 µ 0
∂t
On multiplie (1) par
(1 ) → (3 )
(2 ) → (4 )
et (3) - (4)
avec
E
µ0
et (2) par
∂B
(2) rotE = −
∂t
B
µ0
on obtient:
1 ∂ 1
E.rotB = J .E + ε 0
( E ²)
µ0
∂t 2
1 1 ∂ 1
B.rotE = −
( B ²)
µ0
µ0 ∂ t 2
⇒
∂  ε E ² B² 
 E.rotB − B.rotE  = J .E + 
+


µ0 
∂t  2
2µ0 
1
div(a^b)= b.rot a - a.rot b on a :
⇒



∂ ε E ² B²
E^B
+
+
J
.
E
+
div

=0


∂t  2
2µ0 
µ
 0 
Voilà une équation tirée des Eq. de Maxwell sans aucune restriction ou
condition
Cette équation est appelée : Identité de Poynting
23
3.4 Densité et flux d'énergie électromagnétique
On va donner un sens physique à chacun des termes de l'identité de Poynting
On intègre l'identité sur un volume V
:
S
dτ
dS=dS.n
 E^B
∂  ε 0 E ² B² 
∫∫∫V ∂t  2 + 2µ0 dτ + ∫∫∫V J .E.dτ + ∫∫∫V div  µ0 .dτ = 0
(bilan de puissance)
La surface S étant fixée, on peut transformer cette expression :
(On reconnaît les 2 premiers termes)
 ε 0 E ² B ²   duem
∂  ε 0 E ² B² 
d 
d
+
=
+
τ




dτ  =
∫∫∫
V ∂t
V
µ
µ
2
2
dt
2
2
dt
0 
0 




d
• ∫∫∫ J .E.dτ = ( Ec )
V
dt
E^B
E^B • ∫∫∫ div 
dS
.dτ = ∫∫
V
S µ
µ
0
 0 
• ∫∫∫
Le 3ème peut s'écrire sous la forme d'un flux.
L'identité de Poynting devient alors :
d
E^B (uem + Ec ) = − ∫∫ S µ0 dS = −
∫∫ S R.dS
dt
Ceci traduit que la variation dans le temps de l'énergie totale contenue dans V
E^B
est égale au flux d'un vecteur R =
qu'on appelle vecteur de Poynting
µ0
Ce vecteur est associé à la puissance transportée par le champ EM à travers S.
24
3.5 Vecteur de poynting
Le vecteur de Poynting est défini dans le bilan local puissance:
E^B
R=
(= puissance par unité de surface)
µ0
Ce vecteur est associé à la puissance transportée par le champ EM à travers S.
- C’est un vecteur axial, le trièdre ( E B R ) est direct.
- R est dirigé dans le sens de propagation de l’onde plane
- R est la puissance transportée par unité de surface Unité : W / m².
(en optique on utilise le lux)
- en désignant
dWR
dWR
cette puissance, on écrit alors :
=
dt
dt
∫∫
S
E^B dS
µ0
Théorème de Pointing
REMARQUES :
 E^B
ε E ² B²
• les expressions
+
et 
 ne sont pas linéaires
2
2µ0
 µ0 
- si EM multiplié par k, ces 2 expressions sont multipliées par k²
⇒
utilisation des complexes délicate
Dans le vide et en absence de charge on a :
∂u
divR = − EM
∂t
équivalent au principe de conservation de la charge :
∂ρ
divJ =
∂t
25
3.6 Application aux OPPM
n ∧ E
B=
c
• Dans l'OPPM, les champs E et B sont liés par :
- La densité d'énergie s'écrit : u EM =
et avec :
µ0ε 0c ² = 1
→
ε0E²
2
+
B² ε0 E ²
E²
=
+
2 µ0
2
2 µ0c ²
u EM = ε 0 E ² =
(REM : E = E et B = B )
- Le vecteur de Poynting s'écrit :
B²
µ0
E ∧ B  E ²   cB ²  R=
=
n = 
n
µ0
µ
c
µ
 0 
 0 
• L'énergie transportée par l'onde peut s'exprimer de la manière suivante :
On considère une surface S _|_ à la direction de propagation de l'onde
Le flux ΦR de R à travers S vaut :
Ce qui donne pour l'énergie :
 E² 
Φ R = R.S = 
S
 µ0c 
dWR = ε 0 E ² Scdt = u EM .S .cdt
dWR représente l'énergie contenue ds le cylindre de base S et de longueur cdt
Ceci montre encore que l'énergie se propage à la vitesse c.
• Eclairement
En optique, un faisceau // peut être assimilé à une onde plane
 E² 
Si un écran est placé _|_ à ce faisceau il reçoit la puissance : Φ R = 
S
 µ0c 
ΦR
E²
Le rapport
représente l'éclairement et on le note souvent : ξ =
S
µ0c
REM: ξ est proportionnelle à E² et s'exprime en W/m²
26
• Cas des OPPM
En considérant une direction de propagation suivant Oz on note :
E x = Emx cos( ω t − kz + ϕ1 )
E( z,t ) : E y = Emy cos( ω t − kz + ϕ 2 )
Ez = 0
n ∧ E
Avec la relation : B =
c
on obtient l'expression de R suivante :
1
 E02x cos ²(kz − ω t + ϕ x ) + E02y cos ²(kz − ω t + ϕ y )  ez
R=
cµ0
Si on considère une surface S _|_ à Oz à l'abscisse z0 le flux de R s'écrit :
S
 E02x cos ²(kz − ω t + ϕ x ) + E02y cos ²(kz − ω t + ϕ y ) 
Φ R = Sez .R =
cµ0
Et la valeur moyenne de Φ R dans le temps s'écrit
ΦR =
( cos ²
= 12 ) :
1
 E02x + E02y  .S
2cµ0
REM : Φ R est indépendante de ϕ x et ϕ y donc de la polarisation de l'onde
27
4. Réflexion d'une onde plane sur un conducteur parfait
Ondes stationnaires
4.1 Introduction qualitative – Rappels
Conditions aux limites lors d'une discontinuité caractérisée par σ et js :
σ E2 − E1 = n12
ε0
Ici, milieu 1 = métal
E =σ
ε0
n
B = µ0 jS ∧ n
B2 − B1 = µ 0 . js ∧ n12
métal E = 0 et B = 0
σ
ε0
⇒
E_|_ =
⇒
B// = µ0 jS
avec
2
1
n
vide
js
n12
σ
et
E// = 0
⇒
E est _|_ au plan
et
B_|_ = 0
⇒
B est dans le plan
REM
: 1 - E et B sont les champs au voisinage très proche, dans le métal ils sont nuls.
2- En fait, lors de sa propagation, le champ EM de l'onde ne s'annule pas
brutalement dans le métal mais avec une profondeur de pénétration δ :
−x
et
E = E0e δ ei ( kx−ωt )
ω : pulsation de l'OPPM
δ = 2 µ γω
0
(
)
avec γ : conductivité du milieu ( γ → ∞ pour un conducteur parfait et δ → 0)
Position du problème
une OPPM de pulsation ω se propage en direction d'un conducteur plan
→ on la désigne par l'onde incidente : ( Ei , Bi , ni ...)
Cette onde agit sur les charges du métal qui engendrent alors des courants de
même pulsation ω et qui, à leur tour, émettent une onde.
→ on la désigne par l'onde réfléchie : ( Er , Br , nr ...)
Le champ EM total au niveau du plan sera : E = Ei + Er ;
B = Bi + Br
28
4.2 Réflexion d'une OPPEM monochr. sur un conducteur parfait
4.2.1 Incidence normale
Une OPPM se propage ds le vide
Eix = 0
⇒
- suivant l'axe Ox
- polarisation rectiligne suivant Oz
Eiz = E0ei ( kx −ωt )
Eiy = 0
avec E0 réelle (pas de déphasage) et k = ω / c
Elle rencontre en x = 0 conducteur ( γ → ∞ ) qui occupe tout l'espace x > 0
Les charges de la surface sont mises en mvt et rayonnent un champ EM
Compte tenu des conditions aux limites le champ Er se présente comme suit :
Erx = 0
⇒
Equation d'onde
La solution
k'= +
⇒
ω
c
i ∧ Ei
D'autre part : Bi =
c
k' ² = ω ² / c ²
⇒
Erz = − E0ei ( k ' x −ω t )
Ery = 0
k'= ±
⇒
E = 0 sur tout le plan
et
⇒
ω
c
k'=−
−i ∧ Er
Br =
c
On obtient finalement:
- onde incidente :
- onde réfléchie
Eix = 0
Eiy = 0
Bix = 0
Biy = −
Erx = 0
Ery = 0
Brx = 0
Bry = −
Eiz = E0ei ( kx −ωt )
E0 i ( kx −ω t )
e
c
Biz = 0
Erz = − E0ei ( − kx −ωt )
E0 i ( − kx −ωt )
e
Brz = 0
c
ω
c
= −k
29
4.3 Structure de l'onde stationnaire
Effectuons la somme des champs incident et réfléchi :
Ex = 0
Ey = 0
Bx = 0
By = −
Ez = E0e − iω t ei ( kx ) − ei ( − kx ) 
E0 − iωt i ( kx ) i ( − kx )

e e + e
c
Bz = 0
Ou en notation réelle :
Ex = 0
Ey = 0
Ez = 2 E0 sin(kx)sin(ω t )
E0
cos(kx)cos(ω t )
Bz = 0
c
Les champs E et B sont de la forme : K . f(x).g(t) ⇒
Bx = 0
By = −
onde stationnaire
L'onde stationnaire est à opposer à l'onde progressive
Particularités de l'onde stationnaire
• les variables temps et espace sont séparées (c'est sa définition)
• E et B sont en quadrature de phase (un en sinus l'autre en cosinus)
• ⇒ E et B présente un "décalage" spatial
• ⇒ il existe des plans où E ou B sont nuls →
plan nodaux
- les plans nodaux de E sont définis par : sin(kx)=0 ⇒ kx = nπ
nλ
⇒ x=
2
(2 p + 1)π
- les plans nodaux de B sont définis par : cos(kx)=0 ⇒ kx =
2
⇒
x= p
λ
+
λ
2 4
• Entre 2 plans nodaux de E ou B ∈ des plans où E ou B sont max :
→ plans ventraux
30
∂B
Exemples : a) Montrer qu'on peut calculer B à partir de : rotE = −
∂t
c) Réflexion → A2
31
4.4 Aspect énergétique
Expressions de E et B de l'onde stationnaire :
E = 2 E0 sin(kx)sin(ω t ).ez
2E
B = − 0 cos(kx)cos(ω t ).ey
c
ε0E²
B²
+
2
2µ
0
E∧B
- le vecteur de Poynting : R =
µ0
En notation réelle on peut calculer : - la densité d'énergie : u EM =
avec ε0 µ0 c² = 1 on obtient :
u EM = 2ε 0 E02 [sin ²(kx)sin ²(ω t ) + cos ²(kx)cos ²(ω t )]
et
4 E02
R=
sin(kx)cos(kx)sin(ω t )cos(ω t ) . ex
µ0c
ou encore
E02
R=
sin(2kx)sin(2ω t ). ex
µ0c
REMARQUES
:
• R s'annule au niveau des plans nodaux de E et B
sin(2kx) = 0 ⇒
2kx =
4π
λ
x = n.π
⇒
x = n.
λ
4
⇒ l'énergie reste confinée entre ces 2 plans (plans distants de λ/4)
• Le calcul de la moyenne dans le temps, à une abscisse x donnée, donne :
u EM
t
= ε 0 E02
R =0
t
⇒
⇒ la valeur moy. de la densité d'énergie est indép. de x
le flux moyen d'énergie à travers un plan _|_ à Ox est nul
32
4.5 Notions de modes propres d'une cavité
4.5.1 Onde stationnaire entre 2 plans métalliques parallèles
Une onde stationnaire peut exister entre 2
plans nodaux si ces plans coïncident avec
des plans nodaux de E.
Soit ℓ la distance entre les 2 plans on obtient : ℓ = n. λ
(n entier)
2
Les ondes stationnaires sont elles que leur période est une fraction du
temps nécessaire à l'onde pour faire un aller-retour:
Tn = 2ℓ
c = 2ℓ
ou encore
nc
nT
4.5.2 Résolution plus formelle
On cherche une solution de l'Equation d'onde de la forme : E = f ( x)e −iωt ez
L'équation d'onde donne :
d² f
+ k² f = 0
dx ²
avec
k =ω
La solution d'une telle équation est de la forme :
f ( x) = A1 cos(kx) + A2 sin(kx)
Les conditions aux limites imposent :
f ( x = 0) = 0 ⇒ A1 = 0
f ( x = ℓ) = 0 ⇒ A2 sin(k ℓ) = 0 ⇒ k ℓ = n.π
c'est-à-dire
⇒
ℓ=n
λ
2
c
33
5. Notion sur la propagation guidée
5.1 Préambule
• La transmission électromagnétique entre divers éléments s'effectue de
différentes façons :
- f < 1 kHz → simples fils, cas des circuits électriques.
- 1 kHz < f <1 GHz, les fils se comportent comme des antennes qui rayonnent
avec une puissance P ≈ f 4
→ on utilise alors des câbles coaxiaux
→ pour les connexions téléphoniques on utilise simplement des fils torsadés
- f > 1 GHz, les OEM peuvent se propager dans un tube métallique creux
→ guide d'onde
- f ≈ 1015 Hz (lumière) : les OEM se propagent dans des milieux particuliers
→ fibres optiques
• Un guide d'onde est une "canalisation" métallique cylindrique soit vide soit
remplie d'un diélectrique, où peuvent se propager des OEM
• La propagation des OEM ds le guide d'onde est soumise à certaines conditions
et elle diffère alors de la propagation des OEM libres
• Pour un guide d'onde de géométrie donnée, propagation si ω > ωc
→ pulsation de coupure
→ la vitesse dépend alors de la pulsation
→ phénomène de dispersion (v≠c=ω/k)
• Autre particularité, E et/ou B peuvent avoir une composante longitudinale
34
5.2 Cas d'un guide rectangulaire
Considérons un guide d'onde à parois rectangulaires orienté comme suit :
y
y
x
E
z
a
x
Rappelons les conditions aux limites des 2 champs : Etangentiel = 0 Borthogonal = 0
Choisissons intuitivement 1 champ qui devrait pouvoir se propager ds ce guide:
E : Ex = 0
E y = E0 sin(
πx
i ( k g z −ωt )
Ez = 0
a
Onde polarisée suivant Oy, se propageant suivant Oz et E s'annule en x = 0 et a
D'autre part notons les composantes en y = 0 et y = b sont nulles également
).e
Cherchons B et la relation qui lie ω et kg
Equations de Maxwell :
• divE = 0
•
∂
B
rotE = −
• divB = 0
→
vérifiée
⇒
∂t
→

 k g E0   π x  i ( kg z −ω t )
 Bx = − 
e
 sin 
ω
a





rotE = iω B ⇒  By = 0


 iπ E0 
 π x  i ( kg z −ωt )
B
=
−
cos
z



e

 aω 
 a 

vérifiée
 1  ∂E
• rotB =  
conduit à :
 c ²  ∂t
k =
2
g
ω² π 
− 
c²  a 
2
(on n'a plus : k g2 =
ω²
c²
)
35
Conclusions :
1 - On voit bien que :
o Bx s'annule en x = 0 et a
o By étant toujours nulle,
⇒ les conditions aux limites sont respectées
2 - La dernière relation k =
2
g
ω² π 
2
− 
c²  a 
montre que : k g ≠
2
ω²
c²
)
Cette relation porte le nom de : relation de dispersion
vϕ =
ω
kg
est la vitesse de phase qui n'est plus constante → dispersion
d'autre part l'OEM ne peut se propager que si :
ω > ωg =
πc
a
3 - B a une composante suivant Oz → l'onde n'est pas transverse.
Dans le cas général on choisira une onde de la forme :
i ( k z −ωt )
E = ( E0 x ex + E0 y ey + E0 z ez )e g
i ( k z −ωt )
B = ( B0 x ex + B0 y ey + B0 z ez )e g
où E0 x , E0 y , E0 z et B0 x , B0 y , B0 z sont des fonctions dépendantes de x et y
On montre (Eq. de Max.) que E0 x ( x, y ), E0 y ( x, y ), B0 x ( x, y ), et B0 y ( x, y )
s'expriment en fonction des composantes : E0 z ( x, y ) et B0 z ( x, y )
Ces composantes vérifient alors les équations :
∂ ² E0 z ∂ ² E0 z  ω ²

+
+  − k g2  E0 z = 0
∂x ²
∂y ²  c ²

∂ ² B0 z ∂ ² B0 z  ω ²

+
+  − k g2  B0 z = 0
∂x ²
∂y ²  c ²

et
36
5.3 Modes de propagation
Dans le 1er exemple nous avons trouvé : E0 z = 0
B0 z ≠ 0
et
Mais dans le cas général, les 2 composantes E0 z et
B0 z sont non nulles.
Par raisons de commodité on classe les OEM en mode :
A - Mode Transversal électrique : TE
OEM pour les quelles la composante E0 z = 0
et
B0 z ≠ 0
B - Mode Transversal magnétique : TM
OEM pour les quelles la composante E0 z ≠ 0
et
B0 z = 0
Le cas général correspond à la superposition d'un mode TE et TM.
C - Mode Transversal Electromagnétique : TEM
D'après les équations générales précédentes, si E0 z = 0 et B0 z = 0 on a :
k g2 =
→ pas de dispersion
ω²
c²
On montre que ce type d'OEM ne peut exister que si le guide contient un ou
plusieurs conducteurs à l'intérieur.
37
5.4 Mode TE du guide d'onde rectangulaire
Reprenons les équations générales :
∂ ² E0 z ∂ ² E0 z  ω ²
∂ ² B0 z ∂ ² B0 z  ω ²


+
+  − k g2  E0 z = 0 et
+
+  − k g2  B0 z = 0
∂x ²
∂y ²  c ²
∂x ²
∂y ²  c ²


Mode TE → E0z = 0 ⇒ 1ère équation vérifiée
Pour la seconde on pose : B0 z = f ( x ).g ( y )
α² =
et
ω²
c²
− k g2
d ² f ( x)
d ² g ( y)
+ f ( x)
+ α ² f ( x) g ( y ) = 0
dx ²
dy ²
1 d ² f ( x)
1 d ² g ( y)
Ou encore :
=−
−α²
f ( x) dx ²
g ( y ) dy ²
1 d ² f ( x)
1 d ² g ( y)
Ce qui impose :
= A et
= −( A + α ²)
f ( x) dx ²
g ( y ) dy ²
On obtient : g ( y )
f et g s'annulent ssi : A < 0
et
A + α² >0
(si A>0 sol. exponnentielle)
d ² g ( y)
d ² f ( x)
= −k22 g ( y )
= −k12 f ( x) et
dx ²
dy ²
ω² 2
2
2
avec k1 + k2 = α ² =
− kg
c²
ce qui conduit à :
B0 z = A1 cos(k1 x + ϕ1 ). A2 cos(k2 y + ϕ 2 )
La solution est finalement :
Avec les relations (9) à (12) on obtient les composantes E0 x , E0 y , B0 x et B0 y
On peut alors exprimer les conditions aux limites ce qui conduit à :
ϕ1 = ϕ2 = 0 et k1 = mπ/a et k2 = nπ/b (avec m et n entiers)
Et finalement, avec k1 + k2 = ω ² c ² − k g , on obtient :
2
2
2
k g2 =
ω ²  m²
n² 
−
+ π ²
c ²  a ² b² 
relation de dispersion
38
Etude du mode T1,0
Les entiers m et n de la relation de dispersion définissent le mode TEm,n
Le mode TE1,0 correspond donc à m = 1 et n = 0
→
k1 =
π
a
et k2 = 0
k =
2
g
⇒
avec
ω² π 
c²
2
− 
a
ω > ω0 =
πc
a
Les champs E et B s'expriment alors par :
E0 x = 0;
B0 x = −ik g
E0 y =
πx 
B0 sin 
;
π
 a 
a
iω
π x 
aB0 sin 
;
π
 a 
B0 y = 0;
E0 z = 0;
πx 
B0 z = B0 cos 
;
 a 
Le mode TE1,0 correspond à ω la plus petite
Exemple : pour un guide d'onde a = 22,86mm et b = 10,16mm
• Le mode TE1,0 : ω1 = 6,56 GHz
• Le mode TE2,0 : ω1 = 13,12 GHz
• Le mode TE0,1 : ω1 = 14,76 GHz
• Le mode TM1,1 : ω1 = 16,15 GHz
Ainsi ,une OEM de fréquence 9 GHz, suel le mode TE1,0 est excité
39
Interprétation du mode TE1,0
Je reprends l'expression du champ électrique du mode TE10
iω
 π x  i ( k z −ωt ) E = aB0 sin   e g ey
π
 a 
 iπ x 
 iπ x 
 π x  1   a   − a  
i sin 
−e

 = e
 a  2 

or
On peut donc écrire : E = E1 + E2 avec
ω aB0 i πax + kg z −ωt  E1 =
e
ey et
2π
πx
ω aB0 i − a +kg z −ωt  E2 = −
e
ey
2π
C'est-à-dire 2 OPPM de vecteurs d'onde :
π 
K1 =   ex + k g ez
a
π 
K 2 = −   ex + k g ez
a
et
se propageant dans le vide puisque : K1 = K 2 =
2
2
ω²
c²
Le mode TE1,0 est finalement la superposition de 2 OPPM se propageant de
façon symétrique par rapport à l'axe de la génératrice du guide d'onde:
x
a
K1
θ
θ
K2
y
z
La vitesse moyenne de l'onde suivant Oz vaut :
vz = c.cos(θ ) =
ck g
k g2 + (π a )²
= c 1−
= vitesse de groupe ≠ vitesse de phase
ωg
ω
40
6. Lignes de transmission
6.1 Modélisation électrique
• la ligne est à la base des méthodes de télécommunication.
• Elle permet de propager un signal électrique via les champs E et B générés
entre les conducteurs. La ligne est avant tout un guide d'onde
• Comme il est plus facile de parler de courants et de tensions, on modélise les
lignes à l'aide de constantes réparties qui sont :
- capacité linéique engendrée CL par la répartition des charges entre les
conducteur qui crée le champ électrique
- inductance linéique LL due aux courants qui circulent dans les
conducteurs et qui engendrent le champ magnétique
- une résistance linéique RL liée à l'imperfection des conducteurs
- une conductance linéique GL issue des fuites de courant entre les
conducteurs.
i (z,t)
i(z+dz), t)
LLdz
RLdz
CLdz
u(z, t)
GLdz
u(z+dz, t)
cellule élémentaire qui lie les (u, i) de la position z à ceux de la position
z+dz
• Types de lignes classiques :
a
a
a
b
b
2πε 0
ln(b / a )
µ
LL = 0 ln(b / a )
2π
Câble coaxial
CL =
b
πε 0
CL =
ln(b / a )
µ
LL = 0 ln(b / a )
π
ligne bifilaire
CL =
ε 0a
b
µb
LL = 0
a
ligne à rubans
41
6.2 Equations des télégraphistes
• loi des mailles
∂i
+ RL dzi ( z , t ) + u ( z + dz , t )
∂t
u ( z + dz , t ) − u ( z , t )
 ∂i

= −  LL + RLi ( z , t ) 
dz
 ∂t

u ( z , t ) = LL dz
⇒
⇒
∂u
 ∂i

= −  LL + RLi 
∂z
 ∂t

(1)
• loi des nœuds
∂u
+ GL dzu ( z , t ) + i ( z + dz , t )
∂t
i ( z + dz , t ) − i ( z , t )
 ∂u

= −  CL
+ GLu ( z , t ) 
dz
 ∂t

i ( z , t ) = CL dz
⇒
⇒
∂i
 ∂u

= −  CL
+ GLu 
∂t
 ∂t

(2)
• en dérivant (1) et (2) par rapport à z et t on obtient :
∂ ²i
∂i 
 ∂ ²u

 ∂z ² = −  LL ∂z∂t + RL ∂z 




 ∂ ²u = −  L ∂ ²i + R ∂i 
L
 L

 ∂z∂t
∂t 
 ∂t ²
∂ ²u
∂u 
 ∂ ²i

 ∂z ² = −  CL ∂z∂t + GL ∂z 




 ∂ ²i = −  C ∂ ²u + G ∂u 
L
 L

 ∂z∂t
∂t 
 ∂t ²
(3)
(4)
(5)
(6)
42
• on reporte (6) et (2) dans le second membre de (3) on obtient :
∂ ²u
∂u 

 ∂ ²u
 ∂u

= −  − LL  CL
+ GL  − RL  CL
+ GLu  
∂z ²
∂t 
 ∂t ²
 ∂t


⇒
∂ ²u
∂ ²u
∂u
− LLCL
= − ( RLCL + LLGL ) + RLGLu
∂z ²
∂t ²
∂t
(7)
• on reporte (4) et (1) dans le second membre de (5) on obtient :
∂ ²i
∂i 
  ∂ ²i
 ∂i

= −  CL  LL
+ RL  + GL  LL + RLi  
∂z ²
∂t 
 ∂t

  ∂t ²
⇒
∂ ²i
∂ ²i
∂i
− CL LL
= ( RLCL + GL LL ) + RLGLi
∂z ²
∂t ²
∂t
(8)
• Enfin si on néglige les pertes dans les lignes on obtient :
∂ ²u
∂ ²u
− LLCL
=0
∂z ²
∂t ²
∂ ²i
∂ ²i
− CL LL
=0
∂z ²
∂t ²
• On retrouve l'équation d'une onde se propageant à la vitesse :
1
1
v² =
=
⇒
v=c
LLCL µ0ε 0
• Conclusion : dans une ligne sans perte, un signal électrique se propage sous la
forme d'une onde à la vitesse c
• Exemple : une tension sinusoïdale de fréquence 3 GHz est appliquée en bout
de ligne. Donner le signal sur la ligne en 1 pt situé à 1.5 λ.
Solution de l'équation :
en z = 0 : on a
en z1 = 1.5λ, on a
V(z, t) = Vmsin(ωt-kz+ϕ)
V(0, t) = Vmsin(ωt)
→ c'est la source (ϕ = 0)
V1(z,t) = Vmsin(ωt-(2π/λ).1.5λ)
V1(z,t) = Vmsin(ωt-3π)
V1(z,t) = -Vmsin(ωt)
43
6.3 Impédance caractéristique
Considérons :
- une ligne sans perte
- un signal de fréquence f (notation complexe):
u(z,t) = U(z,t).ej ω t
i(z,t) = I(z,t).ej ω t
Equation des télégraphistes appliquée à u donne :
d ²U
− ( jω )²CL LLU = 0
dz ²
équation caractéristique : r ² − ( jω )²CL LL = 0
qui aboutit à la solution :
et finalement :
U ( z, t ) = U ie
u( z, t ) = U ie
r = ± jω CL LL = ± j
⇒
ω
−j z
v
j (ωt −
ω
v
+ U re
z)
ω
v
ω
+j z
v
+ U re
j (ωt +
ω
v
z)
solution qui correspond à des ondes se propageant en sens inverses
Cette solution appliquée à l'équation (1) donne :
 jω  j (ωt − v z )
 jω  j (ωt + v z )
u( z, t ) = U i  −
e
+
U
= − LL ( jω ) I ( z )e jω t

r
e
 v 
 v 
ω
ω
j (ωt − z )
j (ωt + z )

1 
v
v
i( z, t ) =
− U re
U ie

LL v 

ω
⇒
⇒
CL
i( z, t ) =
LL
ω
ω
ω
j (ωt − z )
j (ωt + z )


v
v
U
e
−
U
e
r
 i



Comme tension et courtant sont liés via l'impédance, u = Z i on obtient une
impédance dite "impédance caractéristique" Zc qui vaut :
Zc =
LL
CL
Notons que pour l'onde réfléchie on : u = - Zi car le courant se propage dans le
sens des z négatifs
44
Exemple : câble de télévision
- diamètre de l'âme : d = 0.584 mm
- diamètre de la gaine : D = 3 mm
- diélectrique εr = 3.71 → on remplace ε0 par ε0εr
2πε 0ε r
≈ 87.4 pF / m
ln( D / d )
µ
LL = 0 ln( D / d ) ≈ 0.471µH / m
2π
CL =
⇒
L'impédance caractéristique Zc vaut :
Zc =
LL ln( D / d ) µ0
=
≈ 73.4Ω
CL
2π
ε 0ε r
en pratique elle fait 75 Ω
La vitesse de propagation des signaux sera de :
v=
c
εr
≈ 1.56.108 m / s ≈ c / 2
45
6.4 Coefficients de réflexion : définition
Si la ligne est fermée en z = z0 par une impédance complexe Z, la loi d'Ohm
permet d'écrire :
i(z0,t)
u(z0,t)= Z i(z0,t)
Z
u(z0,t)
On peut écrire tension et courant en termes d'ondes incidente et réfléchie :
u ( z , t ) = ui ( z , t ) + ur ( z , t )

1

i ( z , t ) = Z [ui ( z , t ) − ur ( z , t )]

c
j (ω t − kz )
ui ( z , t ) = U i e

j (ω t + kz )
ur ( z , t ) = U r e
avec :
On définit alors les coefficients de réflexion en tension et en courant par :
ρu =
u r ( z0 , t )
ui ( z0 , t )
ρi =
et
ir ( z0 , t )
= − ρu
ii ( z0 , t )
On peut maintenant écrire la loi d'Ohm aux bornes de Z (en z = z0):
ui ( z0 , t ) + ur ( z0 , t ) =
Z
[ui ( z0 , t ) − ur ( z0 , t )]
Zc
⇒
 u (z ,t) 
 u (z ,t) 
Z c 1 + r 0  = Z 1 − r 0 
 ui ( z0 , t ) 
 ui ( z0 , t ) 
⇒
ρu =
Finalement :
u r ( z0 , t ) Z − Z c
=
ui ( z0 , t ) Z + Z c
ρu =
et
Z − Zc
= − ρi
Z + Zc
ρi =
ir ( z0 , t ) −ur ( z0 , t ) / Z c
=
= − ρu
ii ( z0 , t ) ui ( z0 , t ) / Z c
46
6.5 Adaptation d'impédance
La valeur de l'impédance en bout de ligne est donc importante pour le
phénomène de réflexion
• Si l'extrémité est fermée avec l'impédance caractéristique, Z = Zc
ρu = ρi = 0
on supprime toute réflexion d'onde dans une ligne de transmission.
→ adaptation d'impédance
• Si l'extrémité est "ouverte" → Z = ∞ :
ρu = 1
et
ρi = -1
il y a réflexion totale avec inversion de l'amplitude de courant
• Si l'extrémité est "fermée", court-circuit → Z = 0 :
ρu = -1
ρi = 1
et
il y a réflexion totale avec inversion de l'amplitude de la tension
Exemple 1 :
GBF
25m
U
Z = oo
t
oscilloscope
Z=0
0.32 µs
Le circuit Rc est là pour fabriquer un pulse étroit.
Zc = 75 Ω v = 1.56 108 m/s
⇒
1 A/R = 50/v = 0.32 µs
47
Exemple 2 : Soit une ligne de transmission (Zc = 75Ω) fermée sur une
impédance Z = 50Ω sur laquelle se propage des ondes électriques sinusoïdales
de la forme :
i(x,t) = Ii ej(ω t - kx) + Ir ej(ω t + kx)
Avec l'expression de la puissance électrique moyenne dissipée:
<P> = ½ Re{u.i*}
on peut déterminer le coefficient de réflexion en puissance :
ondes incidente :
*
1
1
2
< Pi >= Re Z c I i e j (ωt −kx ) .  I i e j (ω t −kx )  = Z c I i
2
2
onde réfléchie :
*
1
1
< Pr >= Re − Z c I r e j (ωt + kx ) .  I r e j (ωt + kx )  = Z c I r
2
2
⇒
< Pr > I r
Z −Z
2
R=
=
= ρI = c
= 0.04
< Pi > I i
Zc + Z
2
2
2
4% de l'énergie est réfléchie, le reste est dissipé dans l'impédance Zc
Si Z = Zc ⇒ R = 0 → la puissance est entièrement absorbée par l'impédance
de bout de ligne
48
7. ANNEXE1
Franchissement d'obstacles :
Cette propriété définit la capacité d'une onde à pouvoir passer par dessus un obstacle naturel
de type montagneux. En utilisation courante, seule la HF a cette propriété. La VHF et l'UHF n'en
sont pas capables.
Pénétration d'obstacles :
Cette propriété définit la capacité d'une onde à pénétrer un obstacle (immeubles, tunnels, zones
urbaines denses, ...). En utilisation courante, c'est l'UHF qui est recommandée pour cela. La VHF
est un peu moins bonne et la HF en est incapable.
Pénétration dans l'eau :
Cette propriété définit la capacité d'une onde à pénétrer dans l'eau. Seule la VLF le peut. C'est
pour cela qu'elle est utilisée par les sous marins.
Réflexion en surface :
Cette propriété définit la capacité d'une onde à se propager en direct à la surface de la Terre
et ce, sans utiliser les couches ionosphériques. Le déplacement des ondes se fait en ligne droite.
Leur portée est donc limitée par la courbure de la terre et les obstacles qu'elles rencontrent. La
réflexion en surface peut atteindre 80 à 100 Km.
La puissance d'émission, les phénomènes de diffraction (déviation des ondes lorsqu'elles
rencontrent un obstacle) et de réflexion, dus à la traversée de l'humidité de l'air peuvent, sous
certaines conditions précises mais aléatoires, porter ces distances à 500 Km. Plus la fréquence
est élevées, plus la portée des ondes en surface diminue. Une onde HF parcourra une
distance directe (c'est à dire sans utiliser la réflexion ionosphérique) bien supérieure à la même
onde émise sur une fréquence UHF.
Réflexion ionosphériques :
Cette propriété définit la capacité d'une onde à se réfléchir sur les couches ionosphériques (de
70 à 375 Km de la Terre). Cette réflexion sur ces couches hautes ou basses augmente
notablement la porté des ondes. De plus, dès que les ondes ont quitté l'atmosphère proche de
la Terre (jusqu'à 8 Km) qui les freine, elles se déplacent dans un vide relatif. Elles ne subiront un
nouveau frein qu'à leur retour dans l'atmosphère. Cette aptitude permet de faire le tour de la
Terre avec quelques dizaines de watts de puissance. En utilisation courante, seule la HF
bénéficie de cette possibilité de réflexion ionosphérique.
49
8. Onde dans un guide d'onde : cas général
i ( k z −ωt )
E = ( E0 x ex + E0 y ey + E0 z ez )e g
i ( k z −ωt )
B = ( B0 x ex + B0 y ey + B0 z ez )e g
où E0 x , E0 y , E0 z et B0 x , B0 y , B0 z sont des fonctions dépendantes de x et y
Equations de Maxwell :
• divB=0 →
∂Bx ∂By ∂Bz
+
+
=0 ⇒
∂x
∂y
∂z
∂B0 x ∂B0 y
+
+ ik g B0 z = 0
∂x
∂y
• divE=0 →
∂Ex ∂E y ∂Ez
+
+
=0 ⇒
∂x
∂y
∂z
∂E0 x ∂E0 y
+
+ ik g E0 z = 0
∂x
∂y
∂B
• rotE = −
→
∂t
 ∂Ez ∂E y
 ∂y − ∂z = iω Bx

 ∂Ex ∂Ez
−
= iω By

∂
z
∂
x

 ∂E y ∂Ex
 ∂x − ∂y = iω Bz

⇒
⇒
⇒
 1  ∂E
• rotB =  
→
 c ²  ∂t
 ∂Bz ∂By
 iω 
 ∂y − ∂z = −  c ²  Ex ⇒
 

 ∂Bx ∂Bz
 iω 
−
=
−

  Ey ⇒
∂
z
∂
x
 c² 

 ∂By ∂Bx
 iω 
−
= −   Ez ⇒

∂y
 c² 
 ∂x
∂E0 z
− ik g E0 y = iω B0 x
∂y
∂E
ik g E0 x − 0 z = iω B0 y
∂x
∂E0 y ∂E0 x
−
= iω B0 z
∂x
∂y
(3)
(4)
(5)
∂B0 z
 iω 
− ik g B0 y = −   E0 x (6)
∂y
 c² 
∂B
 iω 
ik g B0 x − 0 z = −   E0 y (7)
∂x
 c² 
∂B0 y ∂B0 x
 iω 
−
= −   E0 z (8)
∂x
∂y
 c² 
50
Maintenant on exprime E0 x , E0 y , B0 x et B0 y en fonction de : E0 z et B0 z
Avec (3) et (7) on arrive à :
∂E
∂B
ω² 

i  k g2 −  E0 y = k g 0 z − ω 0 z
c² 
∂y
∂x

ω ∂E0 z
∂B
ω ²

i  − k g2  B0 x =
− kg 0 z
c ² ∂y
∂x
 c²

Avec (4) et (6) on arrive à :
∂E
∂B
ω² 

i  k g2 −  E0 x = k g 0 z − ω 0 z
c² 
∂x
∂y

ω² 
ω ∂E0 z
∂B

i  k g2 −  B0 y =
− kg 0 z
c² 
c ² ∂x
∂y

Ce qui conduit finalement à (en admettant k g ≠ ω ² c ² ):
2
E0 x = i
B0 x = i
E0 y = i
B0 y = i
ω (∂B0 z ∂y ) + k g (∂E0 z ∂x)
ω ² c ² − k g2
k g (∂B0 z ∂x) − ω (∂E0 z ∂y )
ω ² c ² − k g2
−ω (∂B0 z ∂x) + k g (∂E0 z ∂y )
ω ² c ² − k g2
k g (∂B0 z ∂y ) + ω ² c ² (∂E0 z ∂x)
(9)
(10)
(11)
(12)
ω ² c ² − k g2
2
Le cas particulier k g = ω ² c ² doit être traité à part
En introduisant ces 4 relations dans les équations (1), (2), (5) et (8), on obtient:
et
∂ ² E0 z ∂ ² E0 z  ω ²

+
+  − k g2  E0 z = 0
∂x ²
∂y ²  c ²

∂ ² B0 z ∂ ² B0 z  ω ²

+
+  − k g2  B0 z = 0
∂x ²
∂y ²  c ²
