devoir surveillé n°1 - AEFE Proche

F.SUCCAR 1 GREM 2011
GREM 2011 TS Lieux géométriques et nombres complexes avec Geoplan
D’après un sujet de Bac
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
( ; , )O u v
On considère les points A , B et C
d’affixes
33
22
A
zi
,
BA
zz
et zC = –3
Partie A
1. Écrire les nombres complexes zA et zB sous forme trigonométrique.
2. Placer les points A , B et C .et démontrer que le triangle ABC est équilatéral.
Partie B
Soit f l’application qui, à tout point M d’affixe z du plan, associe le point M ’ d’affixe
2
1
'3 z iz
.
On note O ’, A ’, B ’ et C ’ les points respectivement associés par f aux points O , A , B et C .
1. a. Déterminer la forme trigonométrique des affixes des points A ’, B ’ et C ’.
b. Placer les points A ’, B ’ et C ’.
c. Démontrer l’alignement des points O , A et B ’ ainsi que celui des points O , B et A ’.
2. Démontrer que si M appartient à la droite ( AB ) alors M ’’ appartient à la parabole d’équation
2
13
34
yx  
et
tracer cette parabole.
ACTIVITÉ
y
o
A
C
B
A'B'
1) En utilisant Geoplan ( mode complexe), créer les points A, B et C d’affixes respectives :
33
22
A
zi
,
BA
zz
et zC = –3.

F.SUCCAR 1 GREM 2011
Nommer les affixes de A, B et C respectivement en utilisant créer , affixe d’un point dans
le plan complexe
Quelle semble être la nature du triangle ABC ?
Démontrer cette conjecture.
2) Soit f l’application qui, à tout point M d’affixe z du plan, associe le point M ’ d’affixe
2
1
'3 z iz
.en utilisant le mode complexe, créer f fonction de dans
3) Placer A’, B’ et C’ images respectives de A, B et C par f
Quelle conjecture peut-on formuler concernant les points O , A et B ’ d’une part
ainsi que les points O , B et A ’ d’autre part ? Démontrer cette conjecture
4) Soit M d’affixe z un point de la droite ( AB ) M ’’ d’affixe z’=f(z)
Quel semble être le lieu de M ?
Tracer la parabole d’équation
2
13
34
yx
et démontrer votre conjecture

F.SUCCAR 1 GREM 2011
CORRECTION
On considère les points A , B et C d’affixes respectives :
33
22
A
zi
,
BA
zz
et zC = –3.
Partie A
1.
3 3 3 3 3 soit un argument de ,on a alors
2 2 2 2
A A A
z i z i z
3 1 5
cos et sin donc = 2
2 2 6
d'autre part = 3 et   
B A B A
z z z z
5 5 5 5 5
arg arg donc 3 cos sin 3 cos sin
6 6 6 6 6
B A A B
z z z i et z i
2. C est un point de l’axe des réels, A et B sont symétriques par rapport à cet axe car
BA
zz
, on a alors CA=CB d’autre part
22
3    
A B A B
AB x x y y
2
2
22
3 3 12 3
2 2 4
A c A c
AC x x y y
Par conséquent CA=CB=AB et le
triangle ABC est donc équilatéral.
Partie B
Soit f l’application qui, à tout point M d’affixe z du plan, associe le point M ’ d’affixe
2
1
'3 z iz
.
On note O ’, A ’, B ’ et C ’ les points respectivement associés par f aux points O , A , B et C .
1. a.
'2 '2
''
'2
'' 2 '
''
111
3
3
133
31
arg arg 2 arg arg 2arg 2
3
AA AA
AA
A A A A
z iz z i z
z iz
z iz z i z
donc
' ' '
' ' '
' ' '
' ' '
1 1 1
10 13
arg 2 arg 2 arg 2
2 6 6 6
A A A
A A A
z z z
z z z
de même
' ' '
' ' '
' ' '
' ' '
1 1 1
10 7 5
arg 2 arg 2 arg 2
2 6 6 6
B B B
B B B
z z z
z z z
De plus
'
''
'
'2
'''
''
1
193
93
13
3
3arg arg 2arg 2 arg arg 2
2
c
c
CC
CC
C
z
z
z iz z i z zi
D’où
' ' '
' ' '
55
cos sin ; cos sin ; 3 cos sin
6 6 6 6 2 2
A B C
z i z i z i
c. On a
''5
arg arg
6
BA
zz
et
''5
arg arg
6
AB
zz
d’où l’alignement des points
O , A et B ’ ainsi que celui des points O , B et A ’.

F.SUCCAR 1 GREM 2011
2. si M appartient à la droite ( AB )
alors
22
2
''
3 1 3 1 9 3
3
2 3 2 3 4 3 4
MM y
z iy z i iy i iy y y i
2
''
3
et 34
MM
y
x y y
2
'
'3
34
M
Mx
y
alors
M ’appartient à la parabole d’équation
2
13
34
  yx