devoir surveillé n°1 - AEFE Proche

GREM 2011 TS
Lieux géométriques et nombres complexes avec Geoplan
D’après un sujet de Bac
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
d’affixes z A  
(O ; u , v ) On considère les points A, B et C
3
3
i
, zB  z A et zC = –3
2
2
Partie A
1. Écrire les nombres complexes zA et zB sous forme trigonométrique.
2. Placer les points A, B et C.et démontrer que le triangle ABC est équilatéral.
Partie B
Soit f l’application qui, à tout point M d’affixe z du plan, associe le point M’ d’affixe
1
z '  iz 2 .
3
On note O’, A’, B’ et C’ les points respectivement associés par f aux points O, A, B et C.
1. a. Déterminer la forme trigonométrique des affixes des points A’, B’ et C’.
b. Placer les points A’, B’ et C’.
c. Démontrer l’alignement des points O, A et B’ ainsi que celui des points O, B et A’.
1
3
2. Démontrer que si M appartient à la droite (AB) alors M’’ appartient à la parabole d’équation y   x 2  et
3
4
tracer cette parabole.
ACTIVITÉ
y
A
B'
A'
C
o
B
1) En utilisant Geoplan ( mode complexe), créer les points A, B et C d’affixes respectives :
3
3
zA    i
, zB  z A et zC = –3.
2
2
F.SUCCAR
1
GREM 2011
Nommer les affixes de A, B et C respectivement en utilisant créer , affixe d’un point dans
le plan complexe
Quelle semble être la nature du triangle ABC ?
Démontrer cette conjecture.
2) Soit f l’application qui, à tout point M d’affixe z du plan, associe le point M’ d’affixe
1
z '  iz 2 .en utilisant le mode complexe, créer f fonction de
3
dans
3) Placer A’, B’ et C’ images respectives de A, B et C par f
Quelle conjecture peut-on formuler concernant les points O, A et B’ d’une part
ainsi que les points O, B et A’ d’autre part ? Démontrer cette conjecture
4) Soit M d’affixe z un point de la droite (AB) M’’ d’affixe z’=f(z)
Quel semble être le lieu de M ?
1
3
Tracer la parabole d’équation y   x 2  et démontrer votre conjecture
3
4
F.SUCCAR
1
GREM 2011
CORRECTION
3
3
On considère les points A, B et C d’affixes respectives : z A    i
, zB  z A et zC = –3.
2
2
Partie A
1.
3
3
3
3
zA    i
 zA    i
 3 soit  un argument de z A , on a alors
2
2
2
2
3
1
5
et sin  donc  =  2  d'autre part zB  z A  zB  z A = 3 et
2
2
6
5


 5 
 5  
 5 
 5  
arg  zB    arg  z A   
donc z A  3  cos 
  isin 
  et z B  3  cos 
  isin 

6
 6 
 6 
 6 
 6 


2. C est un point de l’axe des réels, A et B sont symétriques par rapport à cet axe car
cos   
 xA  xB    yA  yB 
zB  z A , on a alors CA=CB d’autre part AB 
2
2
 3
2
2
12
3  3
AC   x A  xc    y A  yc      
 3 Par conséquent CA=CB=AB et le
 
4
2  2 
triangle ABC est donc équilatéral.
Partie B
1
Soit f l’application qui, à tout point M d’affixe z du plan, associe le point M’ d’affixe z '  iz 2 .
3
On note O’, A’, B’ et C’ les points respectivement associés par f aux points O, A, B et C.
 '
1 2
 '
1
1
2
 z A '  3 iz A
 z A'  3 i  z A  3  3
1 2

'

a. z A '  iz A  
3
1.
 arg z '  arg  1 iz 2   2   arg z '  arg  i   2 arg  z   2 
A'
A 
A'
A



3

2
2
 
 
 z 'A'  1
 z 'A'  1
 z 'A'  1





donc 
de même
 10
13

'
'
 2   arg  z A'    2   arg  z 'A'    2 
 arg  z A'   
2
6
6
6



'
'
'
 zB '  1
 zB '  1
 zB '  1






 10
7
5
'
'
 2   arg  zB '  
 2   arg  zB' '    2 
 arg  zB '   
2
6
6
6



1
 '
1
 '
zc '   9  3
z


9

3

1
 c' 3

3

De plus zC' '  izC2  
3
 arg  zC' '   arg  i   2 arg  zC   2   arg  z '   arg  i     2 
C'


2

 
 
 5 
 5  '
 
 
D’où z 'A'  cos    i sin   ; zB' '  cos 
  i sin 
 ; zC '  3  cos    i sin   
 6
 6
 6 
 6 
 2
 2 

5
5
 arg  z A  et   arg  z 'A '  
 arg  z B  d’où l’alignement des points
c. On a arg  z B' '  
6
6
O, A et B’ ainsi que celui des points O, B et A’.
F.SUCCAR
1
GREM 2011
2. si M appartient à la droite (AB)
2
3
1  3
 1 9
alors zM '    iy  zM '  i    iy   i   3iy  y 2
2
3  2
 3 4
 xM '  y et yM '
  y2 3 


y

i
 


4

 3
 xM '2 3
 y2 3

  yM ' 
 alors M’appartient à la parabole d’équation
3
4
3
4
1
3
y   x2 
3
4
F.SUCCAR
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GREM 2011