RAPPELS MATHEMATIQUES (université de Djelfa)

RAPPELS MATHÉMATIQUES
RAPPELS MATHÉMATIQUES
I. VECTEURS ET ALGÈBRE VECTORIEL
Certaines grandeurs physiques ne nécessitent qu’un nombre réel pour leur
caractérisation, comme la longueur, la masse ou les intervalles de temps.

Ces quantités sont appelées scalaires.
A
Pour d’autres grandeurs physiques il nous faut à la fois, un nombre réel dit
module, une direction dans l’espace et un sens suivant cette direction. De
telles grandeurs sont appelées grandeurs vectorielles ou vecteurs et sont
représentées géométriquement dans l’espace euclidien à trois dimensions
par un segment de droite orientée. Un vecteur est symbolisé

mathématiquement par une lettre surmontée d’une flèche ( A par exemple).


La longueur du segment exprime la valeur de la grandeur A ou son module noté A  A .
I.1. DÉFINITIONS
1. Deux vecteurs sont égaux s’ils ont le même module, la même direction et le même sens,
quelles que soit leurs origines.
 

 A  B

A
A

B


2. Un vecteur ayant le même module, la même direction que A mais le sens opposé est noté  A



3. La somme (ou la résultante) de deux vecteurs A  et B  est un autre vecteur C défini
comme suit :


  
C  A2  B 2  2.A.B.cos
C  A  B 


le vecteur C part de l’origine du vecteur A et rejoint

l’extrémité du vecteur B tout en plaçant l’origine de


B sur l’extrémité de A .
0   


A

C
 


4. La différence de deux vecteurs A et B est notée A  B , et elle est équivalente à la


somme du vecteur A et du vecteur (  B ).

 

5. Le produit du vecteur A par un scalaire p est le vecteur A  p. A  A. p tel que :


 A  p . A 


 A à la même direction que A .


 Il a le même sens que A si p est positif ; le sens opposé à A si p est négatif.

6. Le vecteur nul 0 est un vecteur de module égal à zéro et de direction non définie.
1

B
RAPPELS MATHÉMATIQUES
I.2. VECTEUR UNITAIRE
Tout vecteur dont le module est égale à l’unité (01) est dit vecteur unitaire.




Donc A  A.e A
où e A est le vecteur unitaire dans la même direction et de même sens que A .
I.3. VECTEURS UNITAIRES ORTHOGONAUX
N’importe quel vecteur de l’espace euclidien peut être écrit en fonction de trois vecteurs
linéairement indépendants (dans notre cas trois vecteurs non parallèles deux à deux et non
coplanaires globalement).



Par convention nous appelons trièdre directe trois vecteurs A ,  B et C  linéairement
indépendants ayant la même origine et obéissant à la règle de la main droite.
Pour simplifier nous considérons comme repère un ensemble de trois vecteurs unitaires formant
  
  
un trièdre directe et perpendiculaires deux à deux notée i , j , k ou e x , e y , ez .
  
L’ensemble (O, e x e y ez ) est dit base orthonormée.
Z
Z

ex

A

ez

ez

O ey

Ax
Y

ex
x
O

Az

ey
Y

Ay
X
X
I.4. COMPOSANTES D’UN VECTEUR DANS UN REPÈRE ORTHONORMÉ
Tout vecteur peut être décomposé en une somme de trois vecteurs orthogonaux
 






A  Ax  Ay  Az
Ay  Ay .e y
tel que :
Ax  Ax .ex
donc




A  Ax .ex  Ay .e y  Az .ez
En utilisant le théorème de Pythagore on trouve que
ou bien


Az  Az .e z
A 
 x 
A Ay 
A 
 z

2
2
2
A  A  Ax  Ay  Az

  
Ax , Ay et Az sont dits composantes du vecteur A dans le repère orthonormé (O, e x e y ez ).
Ax , Ay et Az sont des valeurs algébriques.



  
Exemple : Les composantes de e x , e y et ez dans le repère orthonormé (O, e x e y ez ) sont
1
 
ex  0 
 0
 
0
  
ey  1 
0
 
 0
 
ez  0 
1
 
2
RAPPELS MATHÉMATIQUES



Les composantes de la résultante de deux vecteurs C  A  B deviennent alors
C x  Ax  Bx

C y  Ay  B y
C  A  B
z
z
 z
I.5. LOIS DE L’ALGÈBRE VECTORIEL


Si A et B sont des vecteurs et si p et q sont des scalaires alors :
   
 A  B  B  A loi de commutativité pour l’addition
     
 A  B  C  A  B  C loi d’associativité pour l’addition



 p. q. A   p.q . A  q. p. A
loi d’associativité pour la multiplication



  p  q . A  p. A  q. A loi de distributivité
 


 p. A  B  p. A  p.B loi de distributivité


 



 

Remarque : tout être mathématique qui obéit à ces lois est dit vecteur et l’ensemble de ces
vecteurs définissent un espace vectoriel.
I.6. PRODUIT SCALAIRE
 


On appelle produit scalaire de deux vecteurs A  et B et on note A  B le produit des


modules de A  et de B  et du cosinus de l’angle aigu formé par les deux vecteurs.

 
A  B  A.B. cos 

A
0≤  ≤ 
Propriétés :
 
 
 
 
AB 
 Si A  B  0 alors A  0 ou B  0 ou
 
 ei  e j   ij
i;j=x;y;z
δij est le nombre de Dirac (δij = 0 si i ≠ j et δij = 1 si i = j )

 
 A  B  Ax Bx  Ay B y  Az Bz


B

 
2
2
2
2
 A  A  A  Ax  Ay  Az 

  
 A  B  B  A 
  
   
 A  B  C  A  B  A  C 
 
  
 

 p. A  B  p. A  B  A  p.B  A  B . p 



  
  

3
RAPPELS MATHÉMATIQUES
I.7. PRODUIT VECTORIEL



  
Le produit vectoriel de deux vecteurs A  et B est un vecteur C noté C  A  B 
Dont le module est donné par
C = A.B.sin
0≤  ≤ 

  


Et de direction u  perpendiculaire au plan sous tendu par A  et B tel que ( A , B , C ) est un
trièdre direct, donc :


C  A.B. sin  .u
0≤  ≤ 
Propriétés :
  
 
 
  
 
 Si A  B  0 alors A  0 ou B  0 ou
A // B  A  A  0 toujours

 

 

 

 
 
 
e y  e z  e x ; ex  ex  e y  e y  ez  ez  0
 ex  e y  ez ; ez  ex  e y ;

ex
  
C
  A  B  Ax
Bx





ey
Ay

ez
Az
By
Bz
 
 
A  B   B  A 
  
   
A B  C  A B  A C
 
  
 

p. A  B  p. A  B  A  p.B  A  B . p 

 

A  B est égal à la surface du parallélogramme de coté A et B .



  
  



I.8. PRODUIT MIXTE
Ax
  
A  B  C  Bx
Ay
By
Az
Bz
Cx
Cy
Cz






 
 
  

A  B  C est égale au volume V du parallélépipède de cotés A , B  et C si A , B  et

C forment un trièdre directe.
 
  

A  B  C est égale à (–1) V si A , B  et C ne forment pas un trièdre directe.
Propriété :





  
  
  
A  B  C  C  A B  B  C  A

I.9. DOUBLE PRODUIT VECTORIEL



 
  
     
A  B  C  B. A  C  C. A  B


 

  
  
(Attention : En général A  B  C  A  B  C )
4
RAPPELS MATHÉMATIQUES

II. DÉRIVÉES ET INTÉGRALES
II.1. DÉRIVÉE
Soit f(t) une fonction scalaire définie et continue dans un domaine D de  , alors on appelle
dérivée de f(t) en un point t0  D et on note f’(t0) la valeur donnée par la limite :
f t   f t 0 
f t 0   lim
f(t)
t  t0
t t0

Graphiquement la dérivée en un point t0 est égale à la
pente de la droite tangente à la courbe en ce point.
f t 0   tg 
t0
t
La fonction donnant les dérivées de f(t) à n’importe quel point appartenant à D est appelée
fonction dérivée de f(t) et notée :
df t 
f t  
dt
Dérivées usuelles :
f t  
f(t)
A = constante
tn
cos(t)
sin(t)
tg(t)
ln(t)
et
ch(t)
sh(t)
n : entier relatif ≠ 0
t ≠ (2k+1). π/2
t ] 0 , + ∞ [
df t 
dt
0
n.tn -1
– sin(t)
cos(t)
cos–2(t)
1/t
et
sh(t)
ch(t)
Propriétés :
d
d
 f t   g t   d . f t   d .g t 
■
■
 f t .g t   d . f t  g t   f t  d .g t 
d .t
d .t
d .t
d .t
d .t
d .t
d  f t   d . f t  d .t .g t   f t .d .g t  d .t 
d  1   d . f t  d .t

 
■
■


2
d .t  g t  
d .t  f t  
g t 
f 2 t 
d
■
 f t   g t   d  f g t   d .g t  d . f g 
d .t
d .t
d .t
d .g
5
RAPPELS MATHÉMATIQUES
II.2. INTÉGRALE
Si f(t) une fonction scalaire définie et continue dans un domaine D de  , et s’il existe une
d .F t 
fonction F(t) tel que f t  
alors nous appelons F(t) fonction primitive de f(t) , et
d .t
nous notons :
C  cte
 f t .dt  F t   C
 f t .dt
est appelée intégrale de f(t).
L’intégrale limitée entre deux points t1 et t2 est égale à :
t2
 f t .dt  F t   F t 
2
t1
1
f(t)
Graphiquement l’intégrale limitée entre deux points t1 et
t2 appartenant à D est égale à l’aire A de la surface
comprise entre la courbe f(t) , l’axe des abscisses, et les
droites d’équations t = t1 et
t = t2
A
t1
Primitives usuelles :
tn
t –1
cos(t)
sin(t)
tg(t)
ln(t)
et
ch(t)
sh(t)
■




t
 f t .dt
f(t)
Intégration par parties :
t2
n : entier relatif ≠ –1
t ] 0 , + ∞ [
t ] –π/2 , π/2 [
t ] 0 , + ∞ [
[(tn+1)/(n+1)] + C
ln(t) + C
sin(t) + C
– cos(t) + C
– ln(cos(t)) + C
(t.ln(t) – t) + C
et + C
sh(t) + C
ch(t) + C
d . f t 
d .g t 
g t .dt   f t .g t    f t 
dt
d .t
d .t
6
RAPPELS MATHÉMATIQUES

II.3. DÉRIVÉE ET INTÉGRALE D’UNE FONCTION VECTORIELLE




On défini la fonction vectorielle de variable scalaire t : At   Ax t .ex  Ay t .e y  Az t .ez .

Si Ax( t) , Ay( t) et Az( t) sont dérivables sur un domaine D de  alors la dérivée de At  est
donnée par :

dAy t  
dAz t  
dAt  dAx t  

ex 
ey 
ez
dt
dt
dt
dt

et la dérivée seconde de At  par :

d 2 Ay t  
d 2 Az t  
d 2 At  d 2 Ax t  

e

e

ez
x
y
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2




Exemple : At   2.t 2  3.t .ex  5. cos2.t .e y  ln t 2 .ez


 
Propriétés :


d
d . f t  
d . At 

f t . At  
At   f t 
d .t
d .t 
d .t





d
d . At 
d .Bt 
At   Bt  
 Bt   At  

d .t
d.t
d .t




d
d . At 
d .Bt 

At   Bt  
 Bt   At  
d .t
d .t
d .t






L’intégrale de
Exemple :

At  est donnée par :

A
 t .dt 
 A t .dt.e   A t .dt.e   A t .dt.e
x
x
y
y
z
z




At   2.t 2  3.t .ex  5. cos2.t .e y  ln t 2 .ez


 
II.4. FONCTIONS À TROIS VARIABLES
f(x,y,z) est une fonction scalaire à trois variables scalaires (x,y,z) si à chaque point (x,y,z)
appartenant à un domaine D inclus dans 3 elle fait correspondre un scalaire de .
Exemple : f(x,y,z) = 2.x.(y2+ cos(z))

A x, y, z  est une fonction vectorielle à trois variables scalaires (x,y,z) si à chaque point (x,y,z)
appartenant à un domaine D inclus dans 3 elle fait correspondre un vecteur de l’espace




Ax, y, z   Ax x, y, z .ex  Ay x, y, z .e y  Az x, y, z .ez
vectoriel.
où Ax(x,y,z) , Ay(x,y,z) et Az(x,y,z) sont trois fonctions scalaires à trois variables.




Exemple : Ax, y, z   x.z .ex  y 2 .e y  Az 2.x 2 y .ez
Dérivées partielles :

La dérivée partielle de f(x,y,z) par rapport à x notée
f  x, y, z 
s’obtient en dérivant
x
f(x,y,z) par rapport à x en considérant y et z comme des constantes.
7
RAPPELS MATHÉMATIQUES
f  x, y, z 
f  x, y, z 
et
.
z
y
f  x, y, z 
f  x, y, z  f  x, y, z 
Exemple : f(x,y,z) = x2.y.z3 trouvez
,
et
.
x
z
y


x, y, z  s’obtient en

A
 La dérivée partielle de A x, y , z  par rapport à x notée
x

De la même manière on obtient
utilisant la définition précédente comme suit :

Ax, y, z  Ax x, y, z   Ay x, y, z   Az x, y, z  

ex 
ey 
ez
x
x 
x 
x

De la même manière on obtient
Exemple :
A x, y, z 
et
y




Ax, y, z   x.z .ex  y 2 .e y  Az 2.x 2 y .ez
 


A x, y, z 
.
z



A x, y, z 
A x, y, z  A x, y, z 
trouvez
,
et
z
x
y
II.5. GRADIENT, DIVERGENCE ET ROTATIONNEL




Ax, y, z   Ax x, y, z .ex  Ay x, y, z .e y  Az x, y, z .ez est une fonction vectorielle à trois
variables scalaires (x,y,z). f(x,y,z) est une fonction scalaire à trois variables scalaires (x,y,z).
L’opérateur nabla est défini par :

 
 
 

ex 
ey 
ez
x
y
z
Gradient
Exemple :

f 
f 
f 
grad . f  . f x, y, z  
ex 
ey 
ez
x
y
z
f(x,y,z) = x2.y.z3
Divergence
  
Ax Ay Az
divA    Ax, y, z  


x
y
z
Rotationnel

ex
  
rot A    Ax, y, z    x

ey
 y
Ax
Exemple :
Ay

ez
Ay
 A
 z   z 
z
 y
Az
   Az Ax    Ay Ax
.e x  


.e y  
z 
y
 x

 x




Ax, y, z   x.z .ex  y 2 .e y  Az 2.x 2 y .ez
 


Propriétés :

Quelque soit f(x,y,z) et A x, y , z  on a les deux propriétés suivantes
    
  



 div rot A      Ax, y, z   0

 
 rot grad . f    . f x, y, z   0
8

.e z
