RAPPELS MATHEMATIQUES (université de Djelfa)

RAPPELS MATHÉMATIQUES
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RAPPELS MATHÉMATIQUES
I. VECTEURS ET ALGÈBRE VECTORIEL
Certaines grandeurs physiques ne nécessitent qu’un nombre réel pour leur
caractérisation, comme la longueur, la masse ou les intervalles de temps.
Ces quantités sont appelées scalaires.
Pour d’autres grandeurs physiques il nous faut à la fois, un nombre réel dit
module, une direction dans l’espace et un sens suivant cette direction. De
telles grandeurs sont appelées grandeurs vectorielles ou vecteurs et sont
représentées géométriquement dans l’espace euclidien à trois dimensions
par un segment de droite orientée. Un vecteur est symbolisé
mathématiquement par une lettre surmontée d’une flèche (
A
par exemple).
La longueur du segment exprime la valeur de la grandeur
A
ou son module noté
AA 
.
I.1. DÉFINITIONS
1. Deux vecteurs sont égaux s’ils ont le même module, la même direction et le même sens,
quelles que soit leurs origines.
BA 
2. Un vecteur ayant le même module, la même direction que
A
mais le sens opposé est noté
A
3. La somme (ou la résultante) de deux vecteurs
A
et
B
est un autre vecteur
C
défini
comme suit :
BAC 
cos...2
22 BABAC 
0
 le vecteur
C
part de l’origine du vecteur
A
et rejoint
l’extrémité du vecteur
B
tout en plaçant l’origine de
B
sur l’extrémité de
A
.
4. La différence de deux vecteurs
A
et
B
est notée
BA 
, et elle est équivalente à la
somme du vecteur
A
et du vecteur (
B
).
5. Le produit du vecteur
A
par un scalaire p est le vecteur
pAApA ..  
tel que :
ApA  .
A
à la même direction que
A
.
 Il a le même sens que
A
si p est positif ; le sens opposé à
A
si p est négatif.
6. Le vecteur nul
0
est un vecteur de module égal à zéro et de direction non définie.
A
A
B
A
A
B
C

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I.2. VECTEUR UNITAIRE
Tout vecteur dont le module est égale à l’unité (01) est dit vecteur unitaire.
Donc
A
eAA 
.
où
A
e
est le vecteur unitaire dans la même direction et de même sens que
A
.
I.3. VECTEURS UNITAIRES ORTHOGONAUX
N’importe quel vecteur de l’espace euclidien peut être écrit en fonction de trois vecteurs
linéairement indépendants (dans notre cas trois vecteurs non parallèles deux à deux et non
coplanaires globalement).
Par convention nous appelons trièdre directe trois vecteurs
A
,
B
et
C
linéairement
indépendants ayant la même origine et obéissant à la règle de la main droite.
Pour simplifier nous considérons comme repère un ensemble de trois vecteurs unitaires formant
un trièdre directe et perpendiculaires deux à deux notée
i
,
j
,
k
ou
x
e
,
y
e
,
z
e
.
L’ensemble (O,
x
e
y
e
z
e
) est dit base orthonormée.
I.4. COMPOSANTES D’UN VECTEUR DANS UN REPÈRE ORTHONORMÉ
Tout vecteur peut être décomposé en une somme de trois vecteurs orthogonaux
zyx AAAA  
tel que :
xxx eAA 
.
yyy eAA 
.
zzz eAA 
.
donc
zzyyxx eAeAeAA 
... 
ou bien
z
y
x
A
A
A
A
En utilisant le théorème de Pythagore on trouve que
222 zyx AAAAA  
Ax , Ay et Az sont dits composantes du vecteur
A
dans le repère orthonormé (O,
x
e
y
e
z
e
).
Ax , Ay et Az sont des valeurs algébriques.
Exemple : Les composantes de
x
e
,
y
e
et
z
e
dans le repère orthonormé (O,
x
e
y
e
z
e
) sont
0
0
1
x
e
0
1
0
y
e
1
0
0
z
e
O
z
e
y
e
x
e
X
Y
Z
z
e
z
A
O
y
e
x
e
y
A
X
Y
Z
x
A
x
A

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Les composantes de la résultante de deux vecteurs
BAC 
deviennent alors
zzz
yyy
xxx
BAC
BAC
BAC
I.5. LOIS DE L’ALGÈBRE VECTORIEL
Si
A
et
B
sont des vecteurs et si p et q sont des scalaires alors :
ABBA 
loi de commutativité pour l’addition
CBACBA 
loi d’associativité pour l’addition
ApqAqpAqp  ...... 
loi d’associativité pour la multiplication
AqApAqp  ... 
loi de distributivité
BpApBAp 
... 
loi de distributivité
Remarque : tout être mathématique qui obéit à ces lois est dit vecteur et l’ensemble de ces
vecteurs définissent un espace vectoriel.
I.6. PRODUIT SCALAIRE
On appelle produit scalaire de deux vecteurs
A
et
B
et on note
BA 
le produit des
modules de
A
et de
B
et du cosinus de l’angle aigu formé par les deux vecteurs.
cos..BABA  
0≤ ≤ 
Propriétés :
 Si
0 BA 
alors
0
 A
ou
0
B
ou
BA 
ijji ee
i ; j = x ; y ; z
δij est le nombre de Dirac (δij = 0 si i ≠ j et δij = 1 si i = j )
zzyyxx BABABABA  
2222 zyx AAAAAA  
ABBA 
CABACBA 
pBABpABApBAp .... 
A
B

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I.7. PRODUIT VECTORIEL
Le produit vectoriel de deux vecteurs
A
et
B
est un vecteur
C
noté
BAC 
Dont le module est donné par C = A.B.sin
0≤ ≤ 
Et de direction
u
perpendiculaire au plan sous tendu par
A
et
B
tel que (
A
,
B
,
C
) est un
trièdre direct, donc :
uBAC 
.sin..
0≤ ≤ 
Propriétés :
 Si
0
 BA
alors
0
 A
ou
0
B
ou
BA 
//
0
  AA
toujours
zyx eee  
;
yxz eee  
;
xzy eee  
;
0
  zzyyxx eeeeee
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
eee
BAC
ABBA 
CABACBA 
pBABpABApBAp .... 
BA 
est égal à la surface du parallélogramme de coté
A
et
B
.
I.8. PRODUIT MIXTE
zyx
zyx
zyx
CCC
BBB
AAA
CBA  
CBA 
est égale au volume V du parallélépipède de cotés
A
,
B
et
C
si
A
,
B
et
C
forment un trièdre directe.
CBA 
est égale à (–1) V si
A
,
B
et
C
ne forment pas un trièdre directe.
Propriété :
ACBBACCBA 
I.9. DOUBLE PRODUIT VECTORIEL
BACCABCBA 
 ..
(Attention : En général
CBACBA 
)

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II. DÉRIVÉES ET INTÉGRALES
II.1. DÉRIVÉE
Soit f(t) une fonction scalaire définie et continue dans un domaine D de  , alors on appelle
dérivée de f(t) en un point t0  D et on note f’(t0) la valeur donnée par la limite :
0
0
0lim
0tt tftf
tf tt 
Graphiquement la dérivée en un point t0 est égale à la
pente de la droite tangente à la courbe en ce point.
tgtf 
0
La fonction donnant les dérivées de f(t) à n’importe quel point appartenant à D est appelée
fonction dérivée de f(t) et notée :
dttdf
tf 
Dérivées usuelles :
f(t)
dttdf
tf 
A = constante
tn n : entier relatif ≠ 0
cos(t)
sin(t)
tg(t) t ≠ (2k+1). π/2
ln(t) t ] 0 , + ∞ [
et
ch(t)
sh(t)
0
n.tn -1
– sin(t)
cos(t)
cos–2(t)
1/t
et
sh(t)
ch(t)
Propriétés :
■
td tgd td tfd
tgtf
td
d. .
.
.
.
■
td tgd
tftg
td tfd
tgtf
td
d. .
.
.
.
.
■
tg tdtgdtftgtdtfd
tg tf td
d2......
.
■
tf tdtfd
tftd
d2.. 1
.
■
gd gfd td tgd
tgf
td
d
tgtf
td
d. .
.
.
.. 
f(t)
t
t0