equations de droites

EQUATIONS DE DROITES. SYSTEMES LINEAIRES
Avertissement : Nous avons vu que les fonctions affines étaient de la forme : f  x   ax  b
et dont la représentation graphique est une droite non parallèle à l’axe  Oy  .
Pour ne pas confondre les coefficients a et b avec d’autres coefficients notés a et b de ce
chapitre, nous dirons que f  x   mx  p où m est le coefficient de la droite et p l’ordonnée
à l’origine.
1. DETERMINATION D’UNE DROITE
Exemple


Dans un repère O; i; j , on place les points A 1;2  et B  2;3
Placer le point M1 tel que : AM1  2 AB , puis M 2 tel que : AM 2   AB , puis M 3 tel que :
AM 3 
1
AB . Placer un point M 4 en choisissant une autre valeur de k tel que AM 4  k AB .
2
1
O
1
Que peut-on dire des points M placés ?
Quelle est la figure que décrit l’ensemble de tous les points M tels que : AM  k AB ?
1
AM  k AB caractérise l’ensemble des points M de la droite  AB  .
On dit que AB est un vecteur directeur de la droite  AB 
Exemple
Dans le repère précédent, placer le point C  4;4 ainsi qu’un vecteur u  2;1 .
Placer le point M1 tel que CM 1  2u , puis le point M 2 tel que CM 2  u , puis le point M 3 tel
1
que CM 3  u , etc.……..
2
Définir la figure que décrit l’ensemble des points M tels que : CM  ku
CM  ku caractérise l’ensemble des points M de ……………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….
2. EQUATIONS DE DROITES
a. Définitions
Une équation de droite est une égalité qui traduit l’appartenance d’un point de coordonnées
 x; y 
à une droite.
Exemple :
y  2 x  5 est l’équation de la droite représentative de la fonction affine : f  x   ............ .
M1 1;... , M 2 ....;3 , M 3  .....;..... sont des points de cette droite.
Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur qui a même direction que celle de cette
droite.
2
Exemple :
v
t
1
D
B
w
O
………………………….sont
des vecteurs directeurs de D
………………………..ne sont pas
1
u
des vecteurs directeurs de D
A
b. Equations de droites
Dans un repère du plan, toute droite a une équation, soit de la forme x  c si elle est
parallèle à l’axe des ordonnées, soit de la forme y  mx  p .
Exemples :

Déterminons l’équation de la droite D qui passe par les points A  3;5 et B  1;3
1e méthode :
La
droite
(AB)
……………..parallèle à
l’axe
des ordonnées.
Elle
est
donc
de
la
forme :……………….
m=………….=………..
détermination de p :
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
Donc la droite (AB) a pour équation :………………………
3
2e méthode :
Un point M  x; y    AB   ..... et ...... sont colinéaires.
Or ...... ....;.... et ...... ....;.... . Appliquons le critère de colinéarité :
……………………………………………………………………………………………………………
Donc la droite (AB) a pour équation :………………………

Déterminons l’équation de la droite D’ passant par A 1;3 et parallèle à l’axe des
ordonnées.
Dire pourquoi la 1e méthode n’est pas applicable dans ce cas :……………………………
……………………………………………………………………………………………………………
2e méthode :
Remarque : toute équation de droite peut se mettre sous la forme : ax  by  c  0 avec a, b, c
3 réels. On dit que cette forme est une équation cartésienne de cette droite.
En effet, si nous reprenons les deux équations précédentes :
1e équation :
4
2e équation :
Remarques :
Pour différencier une équation du type y  mx  p avec cette même équation écrite sous la
forme ax  by  c  0 , on dit que y  mx  p est l’équation réduite de cette droite.
Il y a une infinité d’équations cartésiennes d’une même droite. En effet, l’équation
2 x  y  4  0 est équivalente à l’équation :………………………..
3. PARALLELISME
a. Détermination d’un vecteur directeur d’une droite
Si l’équation d’une droite est présentée sous la forme y  mx  p alors u 1; m  est un vecteur
directeur de cette droite.
En effet :
Si une équation d’une droite est présentée sous la forme ax  by  c  0 , alors u  b; a  est un
vecteur directeur de cette droite.
En effet :
5
b. Caractérisation du parallélisme
Deux droites d’équations respectives y  mx  p et y  m ' x  p sont parallèles si et seulement
si m  m ' .
Deux droites d’équations respectives ax  by  c  0 et a ' x  b ' y  c '  0 sont parallèles si et
seulement si ab ' a ' b  0
En effet :
4. SYSTEMES LINEAIRES
a. Définitions
On appelle équation linéaire à deux inconnues x et y une équation de la forme :
ax  by  c  0 , a, b, c étant trois réels donnés.
Comme ax  by  c  0 est une équation de droite, alors les couples solution
 x, y 
de cette
équation sont les coordonnées des points de cette droite.
6
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues x et y est de la forme :
ax  by  c  0

a ' x  b ' y  c '  0
Résoudre ce système revient à déterminer tous les couples
 x, y 
vérifiant en même temps
ces deux équations.
Exemple :
« Armel (l’aîné) et Basile ont, à eux deux, 29 ans. Ils ont un an de différence. Quels sont
leurs âges respectifs ? »
Ce genre de problème nous amène à résoudre un système d’équations linéaires à deux
inconnues x et y avec x étant………………………..et y étant………………………
Ce système est le suivant :
................

................
b. Résolution d’un système d’équations linéaires à deux inconnues
ax  by  c  0
Soit le système : 
a ' x  b ' y  c '  0
Pour résoudre un tel système, donnons-en une interprétation graphique :
La première équation est une équation d’une droite D, la deuxième équation est celle d’une
droite D’
Résoudre ce système revient à déterminer les coordonnées du point d’intersection de ces
deux droites.
Or deux droites peuvent être soit sécantes, soit parallèles, soit confondues.

Si elles sont sécantes alors la solution de ce système est………………………….

Si elles sont parallèles alors la solution de ce système est…………………………
7

Si elles sont confondues alors la solution de ce système est………………………
Comment peut-on savoir si nous sommes dans l’un ou l’autre cas ?
Soit u 


un vecteur directeur de D et v 

un vecteur directeur de D’.
Les droites sont sécantes si……………………………………………………………….
soit………………………………

Les droites sont parallèles ou confondues si…………………………………………..
soit……………………………….

Dans le cas précédent, les deux droites sont confondues si…………………………
…………………………………….
RECAPITULATIF
ab ' a ' b  0
les droites sont
ab ' a ' b  0
les droites sont
le système a
bc ' b ' c  0
bc ' b ' c  0
le système a
le système a
Exemples :
Résoudre le système établi page 7 :
8
Résoudre les deux systèmes suivants :
3x  4 y  1

6 x  8 y  3

 x  2 y  2


 2 x  8 y  2
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