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MATHEMATIQUES
EXERCICE 1 (10 points)
A. Etude d’une fonction logistique
Soit f la fonction définie sur [0,40] par f(t)= ____1____
1+99e-0,26t
On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal
(O ,i,j). On prendra comme unités 1 cm pour 5 cm sur l’axe des abscisses et 1
cm pour 0,1 sur l’axe des ordonnées.
1. a) Démontrer que, pour tout réel t de [0,40],
f’(t)=
25,74e-0,26t
(1+99e-0,26t)2
f=U/V avec U(t)=1 et U’(t)=0
V(t)=1+99e–0,26t et V’(t)= -25,74e–0,26t
f'=(U’V-UV’)/V2
f’(t)= (25,74e–0,26t)/(1+99e–0,26t)2
b) Etudier le signe de f’(t) sur [0,40] et en déduire le tableau de variation
de f.
f’(t)>0 car
t
f’(t)
25,74e–0,26t>0 car fonction exponentielle toujours >0
et (1+99e–0,26t)2>0 car fonction carré toujours >0
0
40
+
f(40)
Sens de f
f(0)
2. a) Compléter, après l’avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans
lequel les valeurs approchées sont à arrondir à 10-3.
t
f(t)
0
0,010
5
0,036
10
0,120
15
0,333
20
0,647
25
0,870
30
0,961
35
0,989
40
0,997
b) Tracer la courbe C.
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
3. Résoudre graphiquement l’équation f(t)=0,8.
On fera apparaître sur la figure les constructions utiles.
Sur le graphique on doit lire environ t=23
B. Calcul intégral
1. Vérifier que, pour tout réel t de [0,40],
f(t)=
f(t)=1/(1+99e–0,26t)=
f(t)=
e0,26t_
99+e0,26t
e0,26t_
99+e0,26t
e-0,26t x (1/e-0,26t)
e-0,26t x (99+ 1/e-0,26t)
car
__1__ = e0,26t
e-0,26t
2. Soit F la fonction définie sur [0,40] par : F(t)= _ 1__ ln(99+e0,26t)
0,26
Démontrer que F est une primitive de f sur [0,40].
F= U x V avec U(t)= 1/0,26 et U’(t)=0
V(t)= ln (99+e0,26t) et V’(t)= (0,26e0,26t)/(99+e
F’= U’V + UV’
F’(t)=
1_ x 0,26e 0,26t
0,26 99+e 0,26t
=
donc F est bien une primitive de f
e 0,26t__
99+e 0,26t
= f(t)
0,26t
)
3. Démontrer que la valeur moyenne de f sur [30,40] est :
Vm= _1_ ln 99+e10,4
2,6 99+e7,8
(On rappelle que ln a – ln b= ln(a/b) où a>0 et b>0.)
Vm=
1__ x
40-30

40
f(t) dt = (1/10)x [F(t)]40
30
30
Vm= (1/10)x[ F(40) – F(30) ]
Vm= (1/10)x[
_ 1_ ln(99+e0,26x40) 0,26
_ 1_ ln(99+e0,26x30) ]
0,26
Vm=(1/10)x(1/0,26)x[ ln(99+e10,4) - ln(99+e7,8) ]
Vm=(1/2,6)xln 99+e
99+e
10,4
7,8
4. Donner la valeur approchée arrondie à 10-3 de Vm.
Vm  0,986 à 10-3 près
C. Application des résultats des parties A et B
On suppose que f(t) donne le pourcentage de foyers français équipés d’un
téléviseur, entre 1954 et 1994, t étant le rang de l’année à partir de 1954.
Par exemple : f(0)0,01 se traduit par : en 1954, 1% des foyers étaient
équipés d’un téléviseur.
f(10)0,12 se traduit par : en 1964, 12% des foyers étaient
équipés d’un téléviseur.
1. Déterminer le pourcentage de foyers équipés d’un téléviseur en 1968.
Même question pour 1989.
Dans cette question, les valeurs approchées de f(t) sont à arrondir à 10-3.
1968-1954= 14 soit f(14)=0,278 soit 27,8% des foyers
1989-1954= 35 soit f(35)=0,989 soit 98,9% des foyers
2. Déduire de la partie A. l’année à partir de laquelle 80% des foyers ont été
équipés d’un téléviseur.
Partie A. f(0,8) = 23 donc 1954+23=1977
Donc à partir de 1977, 80% des foyers sont équipés d’un téléviseur.
3. A l’aide d’une phrase, interpréter le résultat obtenu au 4. de la partie B.
1954 + 30 = 1984
et
1954 + 40 = 1994 Vm=0,986
donc cela signifie que entre 1984 et 1994, il y a en moyenne 98,6% des foyers
équipés d’un téléviseur
EXERCICE 2 (10 points)
Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
Une entreprise fabrique un certain type d’article électroménager.
On admet que chaque article de ce type peut présenter deux types de défauts :
- un défaut de soudure, noté défaut a,
- un défaut sur un composant électronique, noté défaut b.
A. Evénements indépendants
On prélève un article au hasard dans la production d’une journée.
On note A l’événement : « l’article présente le défaut a ».
On note B l’événement : « l’article présente le défaut b ».
On admet que les probabilités des événements A et B sont P(A)=0,03 et
P(B)=0,02 et on suppose que ces deux événements sont indépendants.
1. Calculer la probabilité de l’événement E1 : «l’article présente le défaut a et le
défaut b»
p(E1)= p(AB) = p(A) x p(B) = 0,03 x 0,02 = 0,0006
(p(A)xp(B) car événements indépendants)
2. Calculer la probabilité de l’événement E2 : «l’article présente au moins un des
deux défauts»
p(E2)= p(AUB) = p(A) + p(B) – p(AB) = 0,03 + 0,02 – 0,0006 = 0,0494
ou p(E2)
= p(A/B) + p(B/A) + p(AB) = p(A)p(/B) + p(B)p(/A) + 0,0006
= 0,03x[1-p(B)] + 0,02x[1-p(A)] + 0,0006
= 0,03x(1-0,02) + 0,02x(1-0,03) + 0,0006
= 0,03x0,98 + 0,02x0,97 + 0,0006
= 0,0294 +0,0194 + 0.0006 = 0,0494
3. Calculer la probabilité de l’événement E3 : «l’article ne présente aucun
défaut»
p(E3)= 1 – p(E2) = 1 – 0,0494 = 0,9506
ou p(E3)= p(/A/B) = p(/A)p(/B) = [1-p(A)]x[1-p(B)] = (1-0,03)x(1-0,02) = 0,9506
4. Calculer la probabilité de l’événement E4 : «l’article présente un seul des deux
défauts»
p(E4)= p(E2) – p(E1) = 0,0494 – 0,0006 = 0,0488
ou p(E4)
= p(A/B) + p(B/A) = p(A)x[1-p(B)] + p(B)x[1-p(A)]
= 0,03x(1-0,02) + 0,02x(1-0,03) = 0,0488
On admet que, si les événements A et B sont indépendants, alors les événements
A et B sont indépendants et les événements A et B sont indépendants.
B. Loi binomiale
Dans cette partie, tous les résultats approchés sont à arrondir à 10-3.
Les articles sont mis en place dans des petites surfaces de distribution par lot
de 25.
On prélève au hasard un lot de 25 articles dans la production d’une journée.
On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 25 articles.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 25 articles,
associe le nombre d’articles défectueux parmi ces 25 articles.
On suppose que la probabilité de l’événement D : »l’article est défectueux» est
P(D)=0,05.
1. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on déterminera les
paramètres.
X suit une loi binomiale car :
- il y a deux issues possibles (défectueux / pas défectueux)
- expériences indépendantes car il y a remise
X
B(25 ; 0,05)
2. Calculer P(X=0).
P(X=0) = C0 x 0,05
0
25
x (1-0,05) 25-0 = 0,277 à 10–3 près
3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement
deux articles défectueux.
P(X=2) = C2 x 0,05
25
2
x (1-0,05) 25-2 = 0,231 à 10–3 près
4. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au plus deux
articles défectueux.
P(X2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
P(X2) = 0,277 + C1 x 0,05 1 x (1-0,05)
25
25-1
+ 0,231 = 0,873 à 10–3 près
D. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale
Les articles sont mis en place dans les hypermarchés par lots de 800.
On prélève au hasard un lot de 800 articles dans un stock important.
On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 800 articles.
On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de 800 articles,
associe le nombre d’articles défectueux parmi ces 800 articles.
On admet que Y suit la loi binomiale B(800 ;0,05).
On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire Y par la loi normale de
paramètre : m=40 et =6.
On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale N(40,6).
1. Justifier les valeurs de m et de .
m = nxp avec n=800 et p=0,05
m = 800 x 0,05 = 40
 = npq =800x0,05x(1-0,05) = 38 = 6,16  6
2. Calculer la probabilité qu’il y ait au plus 41 articles défectueux dans le lot,
c’est à dire calculer : P(Z41,5). Arrondir à 10-2.
P(Z41,5) = P(T 41,5-40 ) = P(T 1,5/6) = P(T 0,25) = 0,5987
6
(à lire à l aide de la table financière)