Nom et prénom: Statistique et Probabilité Mai 2011 L'examen dure trois heures (MAXIMUM!). Soyez clairs et concis dans vos réponses, tout en indiquant correctement les calculs utilisés. Faites attention aux fautes de distraction et de calcul. 1. Le baron du Pinard est un grand amateur de vin de Bordeaux et de Bourgogne. Il boit mensuellement 2, 3 ou 5 litres de bordeaux et/ou 2 ou 3 litres de Bourgogne. Son serviteur, Estèphe, a établi les probabilités suivantes concernant la consommation mensuelle de son maître, où x représente le nombre de litres de Bordeaux consommés et y le nombre de litres de Bourgogne consommés : P(y=2/x=2)=0.2 P(y=2/x=3)=0.1 P(y=2/x=5)=0.4 P(x=2)=0.5 P(x=3)=0.2 P(x=5)=0.3 On rappelle que P(AB) = P(A/B)*P(B) (a) Calculez P(y=2), P(x=2/y=2) P(x=2/y=3) et P(x=5/y=2). (b) Y a-t-il indépendance entre x et y ? 1 Nom et prénom: (c) On considère maintenant que p(y=2)= .4 , p(y=3) = .6 et que la loi de x est définie par P(x=2)=0.5; P(x=3)=0.2 et P(x=5)=0.3. Sachant qu'un litre de Bordeaux coûte 5 euros et 1 litre de Bourgogne coûte 10 euros, quel est le budget mensuel moyen consacré à l'achat de vin ? Quelle est la variance de ce budget mensuel ? 2 Nom et prénom: 3 Nom et prénom: 2 Webster part en vacances à Hanoi. A Hanoi, 10% de la population a étudié au lycée français. Les personnes qui ont étudié au lycée français parlent toutes le français alors que seulement 20% des habitants de Hanoi, n’ayant pas étudié au lycée français, parlent le français. Webster rencontre une personne au hasard dans la rue et cette personne parle français. Quelle est la probabilité que cette personne ait étudiée au lycée français? 4 Nom et prénom: 3) Un autobus des TEC de la ligne 48 à Bioul peut supporter une charge maximale 6 Tonnes. Il est prévu pour accueillir 80 passagers. La moyenne de la population des poids des passagers est estimée à 73 kilos avec un écart type de 12 kilos. a) Quelle est la probabilité que le bus soit en surcharge ? b) Sachant que la compagnie d’assurance est prête à assurer les dégâts matériels lorsque le risque est de 2 %, quel est le nombre maximum de passagers qui devrait normalement être fixé sur ce bus ? 5 Nom et prénom: 4°) Une équipe chargée de tester la qualité des huîtres dans le bassin d’Arcachon, procède à un test en vue de savoir si le bassin a été contaminé par une toxine particulière. Elle remarque que sur un échantillon de 200 huîtres, 32 ont été contaminées. Déterminer l’intervalle de confiance à 98% de la proportion d’huîtres atteintes par cette toxine dans tout le bassin. 6 Nom et prénom: 5. Soit X une variable aléatoire distribuée normalement, telle que P(X<=2)=0.9332 et P(X>=6)=0.0062. Déterminez son espérance et son écart type. 7 Nom et prénom: 6. Dix informaticiens expérimentés ont installé Windows Vista et Linux Debian sur des PC de puissance équivalente. Les temps nécessaires (en minutes) d’installation sont Informaticien Linux Windows Debian Vista Pierre 154 145 Paul 164 162 Marc 198 156 Jean 168 152 Johan 180 168 Roger 172 157 Fabrice 142 155 Thomas 165 140 Patrick 172 145 Richard 158 160 a) Ecrivez un intervalle de confiance d’installation de Windows Vista à 95% temps moyen b) On vous demande de construire un intervalle de confiance à 95%, et de faire un test adéquat afin de vérifier si l’installation de Linux Debian est plus rapide que l’installation de Windows Vista. 8 Nom et prénom: 9 Nom et prénom: 10