TS - DEVOIR N°1 A RENDRE LE VENDREDI 15 SEPTEMBRE 2006

DENOMBREMENTS - PROBABILITES
I. Langage des parties d’un ensemble
E désigne un ensemble et A et B désignent deux parties (ou sous-ensembles) de E.
On écrit : A  E et B  E (A est contenu, ou est inclus, dans E ; idem pour B).
Réunion de A et B Intersection de A et B Complémentaire de A A et B disjoints
AB
A B
A B = 
A
E
E
A
E
E
B
B
A
A
AB
A
AB
B
A
Partition
A4
A7
A1
Les parties A1, A2, …, Ap, constituent
A3 A6
A8
une partition de E si elles sont deux à deux
A2 A5
disjointes et si leur réunion est égale à E.
Alors, quelle que soit la partie B de E,
B = (B A1)(B A1)…(B Ap),
les parties (B Ai), pour 1  i  p, étant disjointes deux à deux.
E
Remarque : Cette définition suppose donc non vides les parties A1, A2, …, Ap.
Produit cartésien d’ensembles
Soit deux ensembles E et F. On appelle produit cartésien de E et de F l’ensemble
EF = {(x, y) / x  E et y  F}.
Cette définition s’étend au produit cartésien de plus de deux ensembles.
Cardinal d’un ensemble fini
On note In = {k, k  IN / 1  k  n}. Donc In est une partie de IN.
On convient d’écrire I0 = .
Soit un ensemble E. S’il existe une bijection d’un ensemble In sur E, on dit que E est un
ensemble fini. L’entier naturel n est appelé cardinal de E ou nombre des éléments de E.
On note :
n = card E.
 E désignant un ensemble fini et A1, A2, …, Ap des parties de E constituant une partition
de E, alors :
card E = card A1 + card A2 + … + card Ap.
 E et F désignant deux ensembles finis leur produit cartésien EF est un ensemble fini et
card EF = (card E) (card F).
Exemple : Le tableau donnant les résultats du lancer de deux dés.
II. Vocabulaire probabiliste
A. Univers – Exemples
On envisage une expérience aléatoire comportant un nombre fini d’issues. On désigne par 
l’ensemble de ces issues :  = {1, 2, … , r}.
 est appelé l’univers associé à cette expérience.
On appelle événement toute partie A de . Un événement réduit à une seule issue {i} est
un événement élémentaire.
Si A et B désignent deux événements de , l’événement AB est réalisé si l’un au moins
des événements A et B est réalisé.
L’événement AB est réalisé si les événements A et B sont tous les deux réalisés.
Exemple : On considère l’ensemble  des entiers de 20 à 40. On choisit l’un de ces nombres
au hasard. A est l’événement : « le nombre est multiple de 3 », B l’événement : « le nombre
est multiple de 2 » et C : « le nombre est multiple de 6 ».
Ainsi C = AB.
L’événement AB est l’événement : « le nombre est multiple de 2 ou de 3 ».
B. Loi de probabilité
On définit sur l’ensemble  une loi de probabilité P en se donnant une suite de nombres
(p1, p2, … , pr) , chacun de ces nombres pi étant associé à une issue i, on note encore
pi = P(i), et vérifiant :
ir
pour tout i ( 1  i  n), pi  0
et
p
i
 1.
i 1
La probabilité d’un événement A est la somme de toutes les probabilités des issues
appartenant à A. On convient que P() = 0.
Exemple : Lorsqu’on prélève au hasard une boule dans une urne contenant trois boules
rouges, deux boules bleues et une boule jaune, si l’on considère les trois issues R (rouge), B
(bleue) et J (jaune), plusieurs choix des pi remplissent les conditions précédentes, mais le
modèle choisi n’est bon que lorsque les fréquences statistiques fi se rapprochent des pi,
quand le nombre d’expériences devient grand.
L’intuition conduit au modèle ci-contre
issue i
probabilité pi
R
1
2
B
1
3
J
1
6
Propriétés
parties de 
A
, 
AB = 
A
A, B
vocabulaire des événements
propriété
A quelconque
0  P(A)  1
événement certain, impossible
P() = 1 P() = 0
A et B sont incompatibles
P(AB) = P(A) + P(B)
événement contraire de A
P( A ) = 1 – P(A)
événements quelconques
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
Exemple : Dans une classe, 30% suivent le cours d’allemand (A), 40% celui d’espagnol (E),
et 60% celui d’allemand ou d’espagnol.
Quelle est la probabilité qu’un élève suive les cours d’allemand ou d’espagnol ?
Loi équirépartie
Soit P = (p1, p2, … , pr) une loi de probabilité sur un univers  = {1, 2, … , r}.
On dit que la loi P est équirépartie sur  (ou qu’il y a équiprobabilité) si tous les pi sont
égaux.
1
1
Dans ce cas (fréquent), on a, pour chaque issue, P(i) = pi =
 . Et, pour tout
card  n
card A nombre de cas favorables
événement A, P(A) =
.

card  nombre de cas possibles
Exemple 1 : On reprend l’exemple précédent. Calculer P(A), P(B), P(C), P(AB), P(AB),
P(AC) et P(AC).
Exemple 2 : On extrait une carte au hasard d’un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité de
l’événement C : « la carte n’est ni un roi, ni un cœur » ?
III. Conditionnement et indépendance
A. Probabilité conditionnelle
Définition : Soit A un événement de l’ensemble  des issues, tel que P(A)  0.
On définit sur  une nouvelle probabilité, notée PA, en posant, pour tout
événement B,
P(A  B)
PA(B) =
.
P(A)
PA est appelée probabilité conditionnelle sachant que A est réalisé.
On note encore PA(B) = P(B/A) qui se lit « probabilité de B sachant A ».
Remarque : On admet que PA est une probabilité.
Il peut être commode de représenter l’épreuve par un arbre, en indiquant sur les branches de
premier niveau les probabilités de A et de A , puis sur les branches de deuxième niveau les
probabilités conditionnelles.
Exemple : Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes. On tire deux boules
au hasard, successivement et sans remise.
A est l’événement : « La première boule tirée est rouge » ;
B est l’événement : « La deuxième boule tirée est rouge ».
1/2
B
A
3/5
1/2
3/4
2/5
B
B
A
1/4
B
Théorème : Etant donné deux événements quelconques A et B relatifs à une même
épreuve :
P(BA) = P(A) PA(B) ;
La démonstration découle directement de la définition d’une probabilité conditionnelle.
Exemple : En reprenant l’exemple, quelle est la probabilité d’obtenir deux boules rouges ?
3 1 3
P(BA) = P(A) PA(B)  P(BA) =   .
5 2 10
B. Formule des probabilités totales
Théorème : Soit A1, A2, …, Ak, des événements de probabilité non nulle, réalisant une
partition de l’univers . Alors, pour tout événement B de ce même univers,
P(B) = P(A1B) + P(A2B) + … + P(AkB),
avec, pour 1    k,
P(AB) = P(A) PA (B).
Démonstration
Les événements A1, A2, …, Ak désignant une partition de l’univers , toute partie B de cet
univers s’écrit : B = (B A1) (B A2) … (B Ak), les parties (B A) étant disjointes
deux à deux. Donc P(B) = P(A1B) + P(A2B) + … + P(AkB).
Enfin, par définition d’une probabilité conditionnelle,
PA ( B) 
P( A  B)
 P( A  B)  PA ( B)  P( A ).
P( A )
Remarque : Un arbre de probabilités comporte des nœuds et des branches.
On applique les règles suivantes :
 la somme des probabilités marquées sur des branches issues d’un même nœud est égale à 1,
 la probabilité d’un événement qui correspond à un chemin est le produit des probabilités
inscrites sur les branches de ce chemin,
 la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des branches aboutissant à cet
événement.
Exemple : On considère trois urnes respectivement notées U1, U2 et U3. L’urne U1 contient
une boule rouge et cinq boules jaunes, l’urne U2 contient trois boules rouges et une boule
jaune, l’urne U3 contient une boule rouge et deux boules jaunes.
On choisit une urne au hasard et on tire une boule de cette urne.
Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge ?
On note U1 l’événement : « l’urne choisie est U1 » ; on définit de même U2 et U3.
On note R et J les événements respectifs « la boule tirée est rouge » et « la boule tirée est
jaune ».
Le déroulement de cette expérience peut être schématisé dans un arbre (de gauche à droite ou
de haut en bas) constitué de tous les chemins possibles :
U1
1/3

1/3
U2
1/3
U3
1/6
R
5/6
J
3/4
R
1/4
J
1/3
2/3
R
J
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités marquées sur ses branches. Ainsi
1 1
P(U1R) =  , ce que traduit l’égalité P(U1R) = P(U1) P(R/U1).
3 6
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui conduisent à
cet événement. Ainsi
1 1 1 3 1 1
5
P(R) =  +  +  =
, ce que traduit la formule des probabilités totales.
3 6 3 4 3 3 12
C. Indépendance
Définition : On dit de deux événements A et B qu’ils sont indépendants lorsque
P(AB) = P(A)P(B).
Cela revient à dire que, si P(A)  0, P(B/A) = P(B).
Remarque : La seconde formulation rend plus naturelle la définition. il paraît normal de
considérer comme « indépendants », au sens intuitif du terme, deux événements A et B dès
lors que la probabilité de B est la même que celle de B sachant A.
IV. Variables aléatoires
Exemple : On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On gagne 2 F pour
chaque résultat « Pile » et on perd 1 F pour chaque résultat « Face ».
L’ensemble des issues est  = {PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF} et il est de bon
sens de choisir l’équiprobabilité sur .
L’application X : 
, qui, à chaque issue, associe le gain ( encore appelé gain
algébrique) du joueur, prend les valeurs – 3, 0 3 et 6. Pour chaque valeur, telle que + 3 on
3
peut considérer l’événement (X = + 3) = {PPF, PFP, FPP} et lui associer sa probabilité .
8
On obtient ainsi une nouvelle loi de probabilité sur l’ensemble des gains :
’ = X() ={- 3, 0, 3, 6}.
On la nomme loi de X.
gain xi
probabilité
pi = P(X = xi)
x1 = - 3
1
8
x2 = 0
3
8
x3 = 3
3
8
x4 = 6
1
8
A. Définitions 1 :  Une variable aléatoire X est une application définie sur un ensemble
 muni d’une loi de probabilité P, à valeurs dans .
X prend les valeurs x1, x2, …, xn, avec les probabilités définies par :
pi = P(X = xi).
 L’affectation des pi aux xi permet de définir une nouvelle loi de
probabilité sur ’ = {x1, x2, … , xn}. Cette loi, notée P’ ou PX, est
appelée la loi de X.
Définitions 2 :  On appelle espérance mathématique de X le nombre :
in
p x .
E(X) =
i i
i 1
 On appelle variance de X le nombre :
in
V(X) =
 p x - E ( X )
2
i
i 1
i
in
ou V(X) =
 p x 
2
i
i
 E ( X )  .
2
i 1
Cette dernière formule est appelée formule de König (1849-1913).
 On appelle écart-type de X le nombre :
(X) = V(X) .
Exemple : Dans l’exemple précédent E(X) = 1,5. C’est le gain moyen.
V(X) = 9, 468 75 ; et (X)  3,08.
Démonstration
Par définition de la variance,
i n
V (X ) 
 p ( x  E ( X ))
i
2
i
i 1
i n

 p (( x )
i
i
2
 2 xi E ( X )  ( E ( X ) 2 )
i 1
i n

 p (x )
i
i 1
i n
Comme
 2E( X )
i n
 p x  ( E ( X ))  p
2
i i
i 1
i
i 1
i n
 p x  E ( X ) et  p
i i
i 1
i
i n
2
i
 1 on en déduit la formule de König.
i 1
B. Quelques interprétations
 E(X) est la moyenne des valeurs xi, pondérées par les valeurs pi.
 Dans le domaine des jeux (le terme « espérance » vient de là), E(X) est le gain moyen que
peut espérer un joueur sur un grand nombre de parties.
Cela permet de qualifier un jeu d’équitable (ou honnête) lorsque E(X) = 0 ; lorsque E(X) > 0,
le jeu est favorable au joueur, il lui est défavorable si E(X) < 0.
 Tout comme en statistique, variance et écart-type sont des paramètres de dispersion. Plus
qu’à leur valeur intrinsèque, il faut accorder une signification à leur comparaison, pour deux
variables aléatoires définies sur le même ensemble.
En terme de jeu, cette dispersion traduit le risque de gagner ou perdre gros.
C. Théorème : Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur le même univers et a et b
deux réels.
Alors l’espérance des nouvelles variables aléatoires X + Y, aX et X + b est
donnée par :
E(X + Y) = E(X) + E(Y), E(aX) = aE(X) et E(X + b) = E(X) + b.
Exemple : On lance trois dés. Quelle est, en moyenne, la somme des points obtenus ?
Soit X1, X2 et X3 les variables aléatoires désignant les points obtenus sur chaque dé. La
somme des points obtenus est X = X1 + X2 + X3. Comme
1
E(X1) = E(X2) = E(X3) = (1  2  3  4  5  6)  3,5 ,
6
on obtient : E(X) = E(X1) + E(X2) + E(X3) soit E(X) = 10,5.
Corollaire : Soit X une variable aléatoire, a et b deux réels. Alors :
V(aX) = a2V(X) et (aX) = a(X) ;
V(X + b) = V(X) et (X + b) = (X).
D. Définition : Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur le même univers .
X prend les valeurs x1, x2, …, xn, et Y les valeurs y1, y2, …, ym.
On dit que X et Y sont indépendantes lorsque, pour tous i et j
(1  i  n et 1  j  m), les événements (X = xi) et (Y = yj) sont
indépendants.
Exemple : L’expérience consiste à lancer deux dés parfaitement équilibré : X désigne la
variable aléatoire égale à la somme des deux nombres obtenus sur la face supérieure et Y est
égale à leur produit.
Calculer P((X = 2)(Y=3)), puis P(X = 2) et P(Y = 3).
Ces deux variables aléatoires sont-elles indépendantes ?