A) Grandeurs algébriques

MP10 / Chapitre 2 / Grandeurs algébriques. Mécanique du point Vecteurs Auteur : Eric Bachard 08/01
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A) Grandeurs algébriques
1) Calculs de grandeurs signées
Thème : utilisation des grandeurs signées en optique géométrique
Définitions :
Grandeur algébrique : grandeur signée, qui peut-être positive, nulle ou négative
Mesure algébrique : on note
AB
, et on dit « mesure algébrique AB », la quantité sur un axe
donné :
AB xxAB 
« abscisse de B – abscisse de A »
Prenons l’axe Ox comme direction d’observation. Dans ce cas, la mesure algébrique nous
indique si AB est dans le sens de Ox, ou dans le sens opposé.
La mesure algébrique donne donc les informations longueur et de direction (d’orientation) par
rapport à l’axe servant de référence.
Cette grandeur algébrique peut être obtenue de différentes manières (mesures de positions,
produit scalaire…)
Exercice : utilisation des grandeurs algébriques
Soit l’axe Ox, et les points suivants dont les abscisses sont données entre parenthèses :
)12(
1A
,
)20(
2A
,
)5(
3A
,
)5(
4A
,
)10(
5A
,
)10(
1F
,
)10('
1F
,
)10(
2F
,
)10('
2F
.
1) Placer tous ces points sur l’axe Ox sur un dessin avec une échelle correctement choisie.
2) Calculer
',',,,,,, 221154321 OFetOFOFOFOAOAOAOAOA
3) Exprimer
1
OF
en fonction de
1
OF
. Même chose pour
2
OF
et
'
2
OF
.
4) Soit la formule de conjugaison des lentilles minces, dite relation de conjugaison de
Descartes :
'
11
'
1
j
i
iOFOAOA 
avec i = 1 à 5 et j = 1 ou 2
Sachant qu’au point A1 on fait correspondre le point A1’ , calculer
'
i
OA
en fonction de
i
OA
et
'
j
OF

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5) Applications numériques :
Calculer
'
1
OA
,
'
2
OA
,
'
3
OA
,
'
4
OA
et
'
5
OA
en appliquant la formule de Descartes.
6) Relation de Newton (avec origine aux foyers)
Soit la relation de Newton :
2
'.'' OFAFAF ijij 
(i et j gardent les mêmes valeurs que précédemment)
Calculer :
'
11'AF
,
3
1AF
,
'
4
'
2AF
et
52 AF
Thème : Conventions récepteur et générateur d’énergie
1) Notion de générateur et de récepteur
On peut très souvent représenter un échange énergétique de la manière suivante (très
simplifiée) :
a) Quelle hypothèse supplémentaire faut-il faire pour valider le dessin ci-dessus ?
b) Proposer des exemples qui illustrent le dessin ci-dessus
1.1) Echanges énergétiques vus côté source
On considère une source possédant une énergie initiale W0.
a) Décrire les échanges possibles de cette source avec le milieu.
b) En utilisant la convention de la « banque » (que le professeur rappellera), donner le signe
d’une énergie reçue par la source du milieu et d’une énergie fournie par la source au
milieu.
c) Cette convention est-elle pratique à utiliser ? Proposer une convention plus « adaptée »
permettant de décrire les variations d’énergie de cette source. Dans quoi peut-on alors
trouver l’information donnant le sens de l’échange énergétique ?
1.2) Echange énergétique vu côté récepteur
Mêmes questions

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2) Cas du circuit électrique
On définit la puissance électrique instantanée par le produit différence de potentiel aux
bornes d’un dipôle soit u(t), par l’intensité du courant i(t) qui le traverse, soit :
)().()( titutp 
2.1) Quel est le lien (unité et dimensionnel) entre puissance et énergie ?
2.2) Tracer l’allure de p(t) en concordance de temps avec le dessin ci-dessous :
3) Convention récepteur :
On considère le dipôle suivant (dessin) :
On convient de compter positivement i(t)
si celui-ci circule effectivement comme sur
le dessin ci-contre. Le signe de u(t)
pouvant, comme celui de i(t), être
quelconque.
Dans le cas ou i(t) et u(t) sont positifs en
même temps, p(t) est positive. Alors le
dipôle reçoit bien de l’énergie (ou de la
puissance électrique).
Par analogie avec le dessin source-
milieu-récepteur , on appelle convention
récepteur (d’énergie électrique) la
convention de représentation ci-contre :

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3.1) Que se passe-t-il si on change l’orientation de u(t) et de i(t) en même temps ?
3.2) En reprenant la représentation de p(t), définir les instants pendant lesquels le dipôle ci-
dessus, considéré comme un récepteur, fonctionne effectivement en récepteur d’énergie
électrique.
4) Convention générateur
On considère le dipôle suivant (dessin) :
On convient de compter positivement i(t)
si celui-ci circule effectivement comme sur
le dessin ci-contre. Le signe réel de u(t)
pouvant, comme celui de i(t), être
quelconque.
Dans le cas ou i(t) et u(t) sont positifs en
même temps, p(t) est positive. Alors le
dipôle reçoit bien de l’énergie (ou de la
puissance électrique).
Par analogie avec le dessin source-
milieu-récepteur , on appelle convention
générateur (d’énergie électrique) la
convention de représentation ci-contre :
4.1) Qu’est ce qui a changé par rapport à la convention précédente ? Que se passe-t-il si on
change l’orientation de u(t) et de i(t) en même temps ? Comparer avec les résultats obtenus à
la question 3).
4.2) En reprenant la représentation de p(t), définir les instants pendant lesquels le dipôle ci-
dessus, considéré comme un récepteur, fonctionne effectivement en récepteur d’énergie
électrique.
5) Application au régime sinusoïdal
Soit un dipôle en convention récepteur.
On donne i(t) = I
2
cos (  t +  ) , avec 
2
0
et u(t) = U
2
cos (  t).
5.1) Faire un dessin faisant apparaître la convention.
5.2) Représenter i(t) et u(t) en concordance de temps. Prévoir de la place pour représenter p(t)
en concordance de temps dans les questions suivantes.
5.3) Calculer p(t) , et exprimer le résultat sous la forme de la somme de deux termes
5.4) Représenter p(t) en concordance de temps avec i(t) et u(t) pour
4
. Commenter le
signe de p(t) sur une période. Peut-on distinguer les deux termes du calcul sur le
chronogramme ? Donner un sens physique à p(t) lorsque p(t) < 0.
5.5) Connaissez-vous un analogue mécanique à ce type de « vibrations électriques » ?

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Thème : travail d’une force et variation d’énergie
Convention d’orientation des angles :
On considère le repère Oxy.
On comptera positivement un angle s’il est décrit dans le sens trigonométrique, négativement
sinon.
1) Exercice préliminaire :
Soient a = 45° , b = -60° , c = 30°, d = c - 2b + 3a
Représenter a, b, c, d, -a, -b, c - a + b.
2) Définir (hypothèses comprises) le travail d’une force entre deux points A et B. Faire un
dessin clair.
3) Calculer le travail de la force
F
lors d’un déplacement d’un point matériel M de A à B,
noté
AB
W
, dans les cas suivants :
3.1) On considère le plan xOy
xA = +2 xB = - 10 et la force
F
= 40N forme un angle de + 40° avec l’axe Ox, orienté
de gauche à droite.
3.2) On considère l’axe vertical Oz, orienté vers le bas.
zA= 0 , zB = -10, la force considérée est le poids
NP 1000
, dirigé vers les z négatifs.
Commenter la variation d’énergie du système lors du déplacement du point d’application de la
force.
3.3) Même question pour l’axe vertical Oz orienté vers le haut.
Commenter la variation d’énergie du système lors du déplacement du point d’application de la
force.