A) Grandeurs algébriques

MP10 / Chapitre 2 / Grandeurs algébriques. Mécanique du point Vecteurs
Auteur : Eric Bachard 08/01
A) Grandeurs algébriques
1) Calculs de grandeurs signées
Thème : utilisation des grandeurs signées en optique géométrique
Définitions :
Grandeur algébrique : grandeur signée, qui peut-être positive, nulle ou négative
Mesure algébrique : on note AB , et on dit « mesure algébrique AB », la quantité sur un axe
donné :
AB  x B  x A
« abscisse de B – abscisse de A »
Prenons l’axe Ox comme direction d’observation. Dans ce cas, la mesure algébrique nous
indique si AB est dans le sens de Ox, ou dans le sens opposé.
La mesure algébrique donne donc les informations longueur et de direction (d’orientation) par
rapport à l’axe servant de référence.
Cette grandeur algébrique peut être obtenue de différentes manières (mesures de positions,
produit scalaire…)
Exercice : utilisation des grandeurs algébriques
Soit l’axe Ox, et les points suivants dont les abscisses sont données entre parenthèses :
A1 (12) , A2 (20) , A3 (5) , A4 (5) , A5 (10) , F1 (10) , F1 ' (10) , F2 (10) , F2 ' (10) .
1) Placer tous ces points sur l’axe Ox sur un dessin avec une échelle correctement choisie.
2) Calculer OA1 , OA2 , OA3 , OA4 , OA5 , OF1 , OF1 ', OF2 et OF2 '
3) Exprimer OF1 en fonction de OF1 . Même chose pour OF2 et OF2 ' .
4) Soit la formule de conjugaison des lentilles minces, dite relation de conjugaison de
Descartes :
1
1
1


OAi ' OA i OF j '
avec i = 1 à 5 et j = 1 ou 2
Sachant qu’au point A1 on fait correspondre le point A1’ , calculer OAi ' en fonction de OAi et
OF j '
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5) Applications numériques :
Calculer OA1 ' , OA2 ' , OA3 ' , OA4 ' et OA5 ' en appliquant la formule de Descartes.
6) Relation de Newton (avec origine aux foyers)
Soit la relation de Newton : F j ' Ai '.F j Ai  OF '
2
(i et j gardent les mêmes valeurs que précédemment)
Calculer : F1 ' A1' , F1 A3 , F2' A4' et F2 A5
Thème : Conventions récepteur et générateur d’énergie
1) Notion de générateur et de récepteur
On peut très souvent représenter un échange énergétique de la manière suivante (très
simplifiée) :
a) Quelle hypothèse supplémentaire faut-il faire pour valider le dessin ci-dessus ?
b) Proposer des exemples qui illustrent le dessin ci-dessus
1.1)
Echanges énergétiques vus côté source
On considère une source possédant une énergie initiale W0.
a) Décrire les échanges possibles de cette source avec le milieu.
b) En utilisant la convention de la « banque » (que le professeur rappellera), donner le signe
d’une énergie reçue par la source du milieu et d’une énergie fournie par la source au
milieu.
c) Cette convention est-elle pratique à utiliser ? Proposer une convention plus « adaptée »
permettant de décrire les variations d’énergie de cette source. Dans quoi peut-on alors
trouver l’information donnant le sens de l’échange énergétique ?
1.2)
Echange énergétique vu côté récepteur
Mêmes questions
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2) Cas du circuit électrique
On définit la puissance électrique instantanée par le produit différence de potentiel aux
bornes d’un dipôle soit u(t), par l’intensité du courant i(t) qui le traverse, soit
:
p(t )  u (t ).i (t )
2.1) Quel est le lien (unité et dimensionnel) entre puissance et énergie ?
2.2) Tracer l’allure de p(t) en concordance de temps avec le dessin ci-dessous :
3) Convention récepteur :
On considère le dipôle suivant (dessin) :
On convient de compter positivement i(t)
si celui-ci circule effectivement comme sur
le dessin ci-contre. Le signe de u(t)
pouvant, comme celui de i(t), être
quelconque.
Dans le cas ou i(t) et u(t) sont positifs en
même temps, p(t) est positive. Alors le
dipôle reçoit bien de l’énergie (ou de la
puissance électrique).
Par analogie avec le dessin sourcemilieu-récepteur , on appelle convention
récepteur (d’énergie électrique) la
convention de représentation ci-contre :
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3.1) Que se passe-t-il si on change l’orientation de u(t) et de i(t) en même temps ?
3.2) En reprenant la représentation de p(t), définir les instants pendant lesquels le dipôle cidessus, considéré comme un récepteur, fonctionne effectivement en récepteur d’énergie
électrique.
4) Convention générateur
On considère le dipôle suivant (dessin) :
On convient de compter positivement i(t)
si celui-ci circule effectivement comme sur
le dessin ci-contre. Le signe réel de u(t)
pouvant, comme celui de i(t), être
quelconque.
Dans le cas ou i(t) et u(t) sont positifs en
même temps, p(t) est positive. Alors le
dipôle reçoit bien de l’énergie (ou de la
puissance électrique).
Par analogie avec le dessin sourcemilieu-récepteur , on appelle convention
générateur (d’énergie électrique) la
convention de représentation ci-contre :
4.1) Qu’est ce qui a changé par rapport à la convention précédente ? Que se passe-t-il si on
change l’orientation de u(t) et de i(t) en même temps ? Comparer avec les résultats obtenus à
la question 3).
4.2) En reprenant la représentation de p(t), définir les instants pendant lesquels le dipôle cidessus, considéré comme un récepteur, fonctionne effectivement en récepteur d’énergie
électrique.
5) Application au régime sinusoïdal
Soit un dipôle en convention récepteur.
On donne i(t) = I
2 cos (  t +  ) , avec  0   

2
et u(t) = U
2 cos (  t).
5.1) Faire un dessin faisant apparaître la convention.
5.2) Représenter i(t) et u(t) en concordance de temps. Prévoir de la place pour représenter p(t)
en concordance de temps dans les questions suivantes.
5.3) Calculer p(t) , et exprimer le résultat sous la forme de la somme de deux termes

5.4) Représenter p(t) en concordance de temps avec i(t) et u(t) pour   . Commenter le
4
signe de p(t) sur une période. Peut-on distinguer les deux termes du calcul sur le
chronogramme ? Donner un sens physique à p(t) lorsque p(t) < 0.
5.5) Connaissez-vous un analogue mécanique à ce type de « vibrations électriques » ?
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Thème : travail d’une force et variation d’énergie
Convention d’orientation des angles :
On considère le repère Oxy.
On comptera positivement un angle s’il est décrit dans le sens trigonométrique, négativement
sinon.
1) Exercice préliminaire :
Soient a = 45° , b = -60° , c = 30°, d = c - 2b + 3a
Représenter a, b, c, d, -a, -b, c - a + b.
2) Définir (hypothèses comprises) le travail d’une force entre deux points A et B. Faire un
dessin clair.

3) Calculer le travail de la force F lors d’un déplacement d’un point matériel M de A à B,
noté WAB , dans les cas suivants :
3.1) On considère le plan xOy

xA = +2
xB = - 10 et la force F = 40N forme un angle de + 40° avec l’axe Ox, orienté
de gauche à droite.
3.2) On considère l’axe vertical Oz, orienté vers le bas.
zA= 0 , zB = -10, la force considérée est le poids P  1000 N , dirigé vers les z négatifs.
Commenter la variation d’énergie du système lors du déplacement du point d’application de la
force.
3.3) Même question pour l’axe vertical Oz orienté vers le haut.
Commenter la variation d’énergie du système lors du déplacement du point d’application de la
force.
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B) Géométrie analytique et cinématique du point
Thème : trajectoire d’un point matériel
1) On considère un point matériel isolé, auquel on applique une force. Décrire, en
envisageant tous les cas possibles, la trajectoire, lorsque la force est :
a) Constante
b) De module constant
c) De direction constante
2) On considère deux points matériels M1 et M2 .
M1 se déplace sur l’axe Ox selon l’équation : x(t )  10t  3
M2 se déplace sur l’axe Ox selon l’équation : y(t )  3t 2  6t
2.1) Tracer x(t) en fonction du temps. Caractériser le déplacement selon l’axe Ox.
2.2) Tracer y(t) en fonction du temps. Caractériser le déplacement selon l’axe Oy.
2.3) On considère maintenant le point matériel P dont les coordonnées sont définies par celles
de M1 et M2 « combinées ».
 x(t )  10t  3
Les Composantes de P sont donc : 
2
 y (t )  3t  6t
Déterminer et tracer la trajectoire du point P .
3) On considère, dans le plan xOy, le point T, dont les composantes x(t) et y(t) ont, pour les
instants précisés, les valeurs données dans le tableau suivant :
temps t (s)
x(t)
y(t)
temps t (s)
x(t)
y(t)
temps t (s)
x(t)
y(t)
0
3,54
3,54
1,2
-1,61
-4,74
2,3
0,8
4,9
0,15
1,65
4,72
1,31
0,02
-5,00
2,4
-0,7
5,0
0,25
0,18
4,997
1,4
1,35
-4,81
2,6
-3,3
3,7
0,40
-2,01
4,58
1,57
3,53
-3,54
2,8
-4,9
1,2
0,50
-3,28
3,78
1,8
4,98
-0,49
3
-4,7
-1,8
0,70
-4,84
1,27
2
4,38
2,41
4,19
3,5
3,5
1
-4,00
-3,00
2,095
3,53
3,54
5
-5,0
-0,4
3.1) Tracer x(t) et y(t) dans le repère d’espace R, associé au repère de temps t. Quelle est , a
priori, la trajectoire du point T ?
3.2) Proposer une expression « générale » possible de x(t) et y(t) au vu des points proposés.
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3.3) On suppose maintenant que x(t) et y(t) sont des grandeurs sinusoïdales de même
amplitude et de même pulsation.
Soient :  la pulsation, A l’amplitude  x , et  y (grandeurs à préciser).
Calculer , A,  x , et  y . Attention : les valeurs sont arrondies
Proposer une méthode de vérification.
3.4) On ajoute maintenant une 3ème composante z(t) = 2t au point T. Quelle est la nouvelle
trajectoire du point T ?
Thème : Coordonnées cartésiennes, paramétriques, polaires et cylindriques
1) Coordonnées cartésiennes
Soient les coordonnées paramétriques exprimées dans un repère cartésien d’un point M
a)
b)
c)
d)
e)
x = 2t y = t
x=t y=2
x = cos ² t
x = t² y = 2
x = 2 cos t
z=3
z=3
y = sin 2 t
z=t
y = 2 sint
z=0
z=0
Pour chaque cas :
- Trouver l’équation de la trajectoire, la représenter et la caractériser (rectiligne,
circulaire,…) ;
- Déterminer la vitesse du point M et sa norme ;
- Déterminer l’accélération du point M et sa norme ;
2) Coordonnées cylindriques
Soient les coordonnées paramétriques exprimées dans un repère cylindrique au point M.
a)   
b)   t
c)   0,5 
d)   2t
e)   0
f)   t
r=2
r=2
r=1
r=1
r=2t
r=t
z=1
z=0
z=t
z=t
z=t
z=0
Pour chaque cas :
- Trouver l’équation de la trajectoire, la représenter et la caractériser (rectiligne,
circulaire,…) ;
- Déterminer la vitesse du point M et sa norme ;
- Déterminer l’accélération du point M et sa norme ;
3) Autres exercices
3.1) Interception d’un chauffard sur l’autoroute
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Sur une autoroute rectiligne, un automobiliste roule à 180 km/h en mouvement uniforme. Un
motard de la police averti par radio démarre à la distance d = 400m devant la voiture. Son
mouvement est uniformément varié, et il atteint la vitesse de 100 km/h après une durée de
10s.
a) Quelle est la limite de vitesse autorisée, sur autoroute, et par temps sec, en France ?
b) Montrer qu’il existe deux instants pour lesquels les véhicules (supposés ponctuels pour
simplifier l’étude) se trouvent côte à côte. Expliquer
3.2)
Mouvement d’un point mobile en coordonnées paramétriques
Les équations horaires du mouvement d’un point mobile qui se déplace dans un plan sont :
 x(t )  2 t

 y (t )  4 t (t  1)
a) Déterminer les composantes du vecteur vitesse et sa valeur.
b) Montrer que l’accélération est constante.
3.3)
Trajectoire d’un point mobile connaissant son accélération
a x  0

Les composantes du vecteur accélération d’un point mobile sont : a y  4

a z  0
On sait qu’à l’instant t = 0, le vecteur vitesse initiale est nul, et que le point mobile se trouve
en M (1, -3 , 0).
a) Déterminer les équations horaires du mouvement.
b) Préciser la nature de ce mouvement.
c) Donner l’équation de la trajectoire.
3.4) Mouvement d’un véhicule
Une voiture, assimilée à un point matériel M part d’un point A pour atteindre D suivant le
trajet représenté ci-dessous à une vitesse constante V = 60 km /h.
a) Déterminer sur chaque tronçon les caractéristiques du mouvement : accélérations, vitesse
et abscisse curviligne.
b) Calculer le temps mis par M pour aller de A à D.
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C) Vecteurs
Produit scalaire
1.1) Soient trois vecteurs



V2  i  2 j  2 k


V1  3 i  4 j



V3  4 i  3 j  5 k
a) Déterminer les produits scalaires V1  V2 , V2  V3 et V1  V3
b) Déterminer les vecteurs unitaires v1 , v2 et v3 correspondants.
c) Calculer les angles entre chaque vecteur
1.2)
Produit vectoriel
On reprend les trois vecteurs de la question précédente :



V2  i  2 j  2 k


V1  3 i  4 j



V3  4 i  3 j  5 k
Calculer : V1  V2 , V3  V2 , V2  V3 et V1  (V2  V3 )
1.3)
Comparaison entre la nature des forces électrostatiques et des forces de gravitation
On impose les notations suivantes :
r1  OM 1
;
r2  OM 2
;
r12  r2  r1
a) Décrire les forces électrostatiques qui existent entre deux charges électriques q1 (au point
M1) et q2 (au point M2). Etudier les cas possibles.
Le repère utilisé sera le plan Oxy.
b) Connaissez-vous des particules qui n’ont pas de masse ?
c) Les particules décrites précédemment possèdent une masse. Décrire les forces de
gravitations qui existent entre celles-ci, à savoir : m1 (au point M1) et m2 (au point M2).
d) Décrire les différences entre les deux systèmes de forces.
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