A) Grandeurs algébriques

MP10 / Chapitre 2 / Grandeurs algébriques. Mécanique du point. Vecteurs Auteur : Eric Bachard 08/01
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A) Grandeurs algébriques
Thème : utilisation des grandeurs signées en optique géométrique
Définitions :
Grandeur algébrique : grandeur signée, qui peut-être positive, nulle ou négative
Mesure algébrique : on note
AB
, et on dit « mesure algébrique AB », la quantité sur un axe donné (ici Ox) :
AB xxAB 
« abscisse de B – abscisse de A »
Dans ce cas, la mesure algébrique nous indique si AB est dans le sens de Ox, ou dans le sens opposé.
La mesure algébrique donne donc les informations de longueur et de direction (d’orientation) par rapport à l’axe
servant de référence.
Cette grandeur algébrique peut être obtenue de différentes manières (mesures de positions, produit scalaire…)
Exercice : utilisation des grandeurs algébriques
Soit l’axe Ox, et les points suivants dont les abscisses sont données en cm entre parenthèses :
)12(
1A
,
)20(
2A
,
)5(
3A
,
)5(
4A
,
)10(
5A
,
)10(
1F
,
)10('
1F
,
)10(
2F
,
)10('
2F
.
1) Placer tous ces points sur l’axe Ox sur un dessin avec une échelle correctement choisie.
2) Calculer
',',,,,,, 221154321 OFetOFOFOFOAOAOAOAOA
3) Exprimer
1
OF
en fonction de
'
1
OF
. Même chose pour
2
OF
et
'
2
OF
.
4) Soit la formule de conjugaison des lentilles minces, dite relation de conjugaison de Descartes :
'
11
'
1
j
i
iOFOAOA 
avec i = 1 à 5 et j = 1 ou 2
Sachant (par exemple) qu’au point A1 on fait correspondre le point A1’ , calculer
'
i
OA
en fonction de
i
OA
et
'
j
OF
5) Applications numériques :
Calculer
'
1
OA
,
'
2
OA
,
'
3
OA
,
'
4
OA
et
'
5
OA
en appliquant la formule de Descartes.
6) Relation de Newton (avec origine aux foyers)
Soit la relation de Newton :
2
'.'' jijij OFAFAF 
(i et j gardent les mêmes valeurs que précédemment)
Calculer :
'
11'AF
,
3
1AF
,
'
4
'
2AF
(sans utiliser
'
1
OF
ni
1
OF
) et
52 AF
.

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B) Géométrie, cinématique et cinétique du point
Thème : trajectoire d’un point matériel
1) On considère un point matériel isolé M, de masse m, auquel on applique une force. Décrire, en envisageant
tous les cas possibles, la trajectoire, lorsque la force est :
a) Constante
b) De module constant
c) De direction constante
2) On considère deux points matériels M1 et M2 .
M1 se déplace sur l’axe Ox selon l’équation :
1)(  ttx
M2 se déplace sur l’axe Oy selon l’équation :
ttty  2 2)(
2.1) Tracer x(t) en fonction du temps. Caractériser le déplacement selon l’axe Ox.
2.2) Tracer y(t) en fonction du temps. Caractériser le déplacement selon l’axe Oy.
2.3) On considère maintenant le point matériel P dont les coordonnées sont définies par celles de M1 et M2
« combinées ».
Les composantes de P sont donc :
ttty
ttx
2
2)(
1)(
Déterminer et tracer la trajectoire du point P .
3) On considère, dans le plan xOy, le point T, dont les composantes x (t) et y (t) ont, pour les instants précisés,
les valeurs données dans le tableau suivant :
temps t (s) 0 0,15 0,25 0,40 0,50 0,70 1
x(t) 3,54 1,65 0,18 -2,01 -3,28 -4,84 -4,00
y(t) 3,54 4,72 4,997 4,58 3,78 1,27 -3,00
temps t (s) 1,2 1,31 1,4 1,57 1,8 2 2,095
x(t) -1,61 0,02 1,35 3,53 4,98 4,38 3,53
y(t) -4,74 -5,00 -4,81 -3,54 -0,49 2,41 3,54
temps t (s) 2,3 2,4 2,6 2,8 3 4,19 5
x(t) 0,8 -0,7 -3,3 -4,9 -4,7 3,5 -5,0
y(t) 4,9 5,0 3,7 1,2 -1,8 3,5 -0,4
3.1) D’après le tableau ci-dessus, placer tous les points T donnés dans le plan xOy. Quelle est , a priori, la
trajectoire du point T ?
3.2) Proposer une expression « générale » possible de x (t) et y (t) au vu des points proposés.
3.3) On suppose maintenant que x (t) et y (t) sont des grandeurs sinusoïdales de même amplitude et de même
pulsation.
Soient :  la pulsation, A l’amplitude,
x
, et
y
(grandeurs à préciser).
Calculer , A,
x
, et
y
. Attention : les valeurs du tableau sont arrondies
Proposer une méthode de vérification.
3.4) On ajoute maintenant une 3ème composante z (t) = 2t au point T.
Quelle est la nouvelle trajectoire du point T ?

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Thème : Coordonnées cartésiennes, paramétriques, polaires et cylindriques
1) Coordonnées cartésiennes
Soient les coordonnées paramétriques exprimées dans un repère cartésien d’un point M
a) x = 2t y = t z = 3
b) x = t y = 2 z = 3
c) x = cos ² t y =
t
2
sin
z = 0
d) x = t² y = 2 z = t
e) x = 2 cos t y = 2
sint
z = 0
Pour chaque cas :
- Trouver l’équation de la trajectoire, la représenter et la caractériser (rectiligne, circulaire,…) ;
- Déterminer la vitesse du point M et sa norme ;
- Déterminer l’accélération du point M et sa norme ;
2) Coordonnées cylindriques (définies par le professeur).
Soient les coordonnées paramétriques exprimées dans un repère cylindrique au point M.
a) r = 2 z = 1
b)
t
r = 2 z = 0
c)
5,0
r = 1 z = t
d)
t2
r = 1 z = t
e)
0
r = 2 t z = t
f)
t
r = t z = 0
Pour chaque cas :
- Trouver l’équation de la trajectoire, la représenter et la caractériser (rectiligne, circulaire,…) ;
- Déterminer la vitesse du point M et sa norme ;
- Déterminer l’accélération du point M et sa norme ;
3) Autres exercices
3.1) Interception d’un chauffard sur l’autoroute
Sur une autoroute rectiligne, un automobiliste roule à 180 km/h en mouvement uniforme. Un motard de la
police averti par radio démarre à la distance d = 400m devant la voiture. Son mouvement est uniformément
varié, et il atteint la vitesse de 100 km/h après une durée de 10s.
a) Quelle est la limite de vitesse autorisée, sur autoroute, et par temps sec, en France ?
b) Montrer qu’il existe deux instants pour lesquels les véhicules (supposés ponctuels pour simplifier l’étude) se
trouvent côte à côte. Expliquer
3.2) Mouvement d’un point mobile en coordonnées paramétriques
Les équations horaires du mouvement d’un point mobile qui se déplace dans un plan sont :
)1(4)(
2)(
ttty
ttx
a) Déterminer les composantes du vecteur vitesse et sa valeur.
b) Montrer que l’accélération est constante.

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3.3) Trajectoire d’un point mobile connaissant son accélération
Les composantes du vecteur accélération d’un point mobile sont :
0
4
0
z
y
x
a
a
a
On sait qu’à l’instant t = 0, le vecteur vitesse initiale est nul, et que le point mobile se trouve en M (1, -3 , 0).
a) Déterminer les équations horaires du mouvement.
b) Préciser la nature de ce mouvement.
c) Donner l’équation de la trajectoire.
3.4) Mouvement d’un véhicule
Une voiture, assimilée à un point matériel M part d’un point A pour atteindre D suivant le trajet représenté
ci-dessous à une vitesse constante V = 60 km /h.
a) Déterminer sur chaque tronçon les caractéristiques du mouvement : accélérations, vitesse et abscisse
curviligne.
b) Calculer le temps mis par M pour aller de A à D.
C) Vecteurs
Thème : produit scalaire
Soient trois vecteurs :
jiV  43
1
kjiV 
 22
2
kjiV 
 534
3
a) Déterminer les produits scalaires
21 VV 
,
32 VV 
et
31 VV 
b) Déterminer les vecteurs unitaires
321,vetvv
correspondants.
c) Calculer les angles entre chaque vecteur
Thème : travail d’une force et variation d’énergie
Convention d’orientation des angles :
On considère le repère Oxy.
On comptera positivement un angle s’il est décrit dans le sens trigonométrique, négativement sinon.
1) Exercice préliminaire :
Soient a = 45° , b = -60° , c = 30°, d = c - 2b + 3a
Représenter a, b, c, d, -a, -b, c - a + b.

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2) Définir (hypothèses comprises) le travail d’une force entre deux points A et B. On suppose le déplacement
rectiligne entre A et B. Faire un dessin clair.
3) Calculer le travail de la force
F
lors d’un déplacement d’un point matériel M de A à B, noté
AB
W
, dans les
cas suivants :
3.1) On considère le plan xOy, et un déplacement rectiligne de A vers B.
xA = +2 xB = - 10 et la force
F
= 40N forme un angle de + 40° avec l’axe Ox, orienté de gauche à droite.
3.2) On considère l’axe vertical Oz, orienté vers le bas, et un déplacement linéaire de A vers B.
zA= 0 , zB = -10, la force considérée est le poids
NP 1000
.
Commenter la variation d’énergie du système lors du déplacement du point d’application de la force.
3.3) Même question pour l’axe vertical Oz orienté vers le haut.
Commenter la variation d’énergie du système lors du déplacement du point d’application de la force.
Thème : interactions
1) Comparaison entre la nature des forces électrostatiques et des forces de gravitation
On impose les notations suivantes :
11 OMr
;
22 OMr
;
1221 rrr 
a) Décrire les forces électrostatiques qui existent entre deux charges électriques q1 (au point M1) et q2 (au point
M2). Etudier les cas possibles.
Le repère utilisé sera le plan Oxy.
b) Connaissez-vous des particules élémentaires qui n’ont pas de masse ?
c) Les particules décrites précédemment possèdent une masse. Décrire les forces de gravitation qui existent
entre celles-ci, à savoir : m1 (au point M1) et m2 (au point M2).
d) Décrire les différences entre les deux systèmes de forces.
Thème : produit vectoriel
On reprend les trois vecteurs de la question précédente :
jiV  43
1
kjiV 
 22
2
kjiV 
 534
3
Calculer :
21 VV 
,
23 VV 
,
32 VV 
et
)( 321 VVV 