Formation Continue

Institut Universitaire Professionnalisé de Sceaux
Licence
1
Année 1997-1998
Michelle LAUTON
LOIS USUELLES
Exemples
Premier Exemple
Un lot contient 3 % de pièces défectueuses.
1) On prélève au hasard un échantillon de 10 pièces. Les pièces étant très
nombreuses, on admet que le tirage peut être considéré comme fait au hasard et
avec remise. Soit X la variable aléatoire « nombre de pièces défectueuses dans
l’échantillon ».
i) Quelle est la loi de X ?
X compte le nombre de « succès » (être défectueux) lors de l’épreuve « tirage d’une
pièce ».
Elle suit donc une loi binomiale B(10; 0,03).
ii) Que valent E(X) et V(X).
E(X) = 10 * 0,03 = 0,3 - ce qui signifie qu’il y a en moyenne 0,3 pièce défectueuse
dans un lot de 10 pièces - .
V(X) = 10 * 0,03 * 0,97 = 0,291 d’où (X) = 0,54
iii) Quelle est la probabilité qu’il y ait 0 pièce défectueuse ? Quelle est la probabilité
qu’il y ait une pièce (ou plusieurs) qui soi(en)t défectueuse(s) ?
La probabilité qu’il y ait 0 pièce défectueuse est:
P (X = 0) = C010 (0,3)0 (0,97)10 = (0,97)10
d’où P (X = 0) = 0,74
La probabilité qu’il y ait une pièce (ou plusieurs) qui soi(en)t défectueuse(s) s’écrit:
P(X  1) = 1 - P(X = 0)
d’où P(X  1) = 1 - (0,74) = 0,26
2) On contrôle toutes les pièces, mais le mécanisme de contrôle est tel qu’une pièce
bonne est acceptée avec une probabilité 0,98 et une défectueuse est refusée avec
une probabilité de 0,99.
i) Quelle est la probabilité qu’une pièce soit refusée à tort ?
Une pièce est refusée à tort si elle est bonne, sachant qu’elle est refusée.
C’est le type même de question où l’on utilise la formule de Bayes.
Soit B = {être bonne} et D = {être défectueuse}, avec B C = D
R = {être refusée} et A = {être acceptée}
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On a P(B) = 0,97
PB(R) = 0,02
d’où P(B  R) = 0,97 * 0,02 = 0,0194
De même, P(D) = 0,03
PD(R) = 0,99
P(D  R) = 0,03 * 0,99 = 0,0297
On peut donc aussi calculer
P(R) = P(B  R) + P(D  R) = 0,0491
d’où PR(B) = 0,0194 / 0,0491 = 0,40
ii) Quelle est la probabilité qu’une pièce soit acceptée à tort ?
Une pièce est acceptée à tort si elle est défectueuse, sachant qu’elle est acceptée.
A = (B  A)  (D  A)
P(A) = P(B  A) + P(D  A)
P(A) = P(B) PB(A) + P(D) PD(A)
P(A) = 0,97 * 0,98 + 0,03 * 0,01
P(A) = 0,9509
PA(D) = 0,0003 / 0,9509 = 0,0003, ce qui est très faible !!!
Deuxième Exemple
Une entreprise de transport utilise des camions. En moyenne, deux camions par jour
sont en panne. Chaque camion en panne exige une journée de travail d’un
mécanicien.
On suppose que le nombre de pannes par jour suit une loi de Poisson.
i) Quelle est la probabilité qu’il y ait une seule panne par jour ?
Si le nombre X de pannes par jour suit une loi de Poisson, son paramètre est le
nombre moyen de pannes par jour, soit 2.
P( X = 1) = e-2 21 / 1! = 0,2707
ii) L’entreprise n’a qu’un seul mécanicien. Quelle est la probabilité qu’il ne puisse pas
réparer les camions en panne un jour donné ?
Si le mécanicien ne peut réparer tous les camions , c’est qu’il y a plus d’un camion
en panne.
P(X > 1) = 1 - P(X  1)
P(X > 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]
P(X > 1) = 1 - [e-2 20 / 0! + e-2 21 /1!]
P(X > 1) = 1 - 0,4060
P(X > 1) = 0,5940
Le mécanicien a plus de 59 % de chances de ne pas pouvoir réparer tous les
camions en panne un jour donné.
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iii) Combien de mécaniciens doit employer l’entreprise pour qu’il y ait une probabilité
égale à 0,95 qu’un mécanicien soit disponible lorsqu’un camion tombe en panne ?
Comme chaque mécanicien ne peut réparer qu’un camion par jour, la probabilité que
ils soient disponibles est égale à (ou dépasse) 0,95 quand la probabilité du nombre
des pannes est égale à (ou dépasse) 0,95
On avait P(X  1) = 0,4060
Donc P(X  2) = P(X  1) + P(X = 2)
d’où P(X  2) = 0,4060 + e-2 22 / 2!
d’où P(X  2) = 0,4060 + 0,2707 =0,6767
et on continue ...
P(X  3) = 0,8571
P(X  4) = 0,9474
Il est évident que 0,95 va être dépassé pour X = 5. Vérifions le.
P(X  5) = 0,9835.
Il suffit donc de 5 mécaniciens pour que l’entreprise soit « presque sure (avec la
probabilité 0,95) d’avoir assez de mécaniciens pour réparer tous les camions en
panne un jour donné.
Remarquons que P(X  6) = 0,9955 et donc qu’en embauchant 6 mécaniciens la
probabilité passerait à plus de 99 %.
Exercices
1) La probabilité pour qu’un client éventuel effectue un achat est considérée comme
égale à 0,20.
i) Si un vendeur rend visite à six clients éventuels, quelle est la probabilité pour qu’il
obtienne exactement 3 achats? 4 achats ?
ii) Quelle est la probabilité que ce vendeur obtienne 4 achats ou plus ?
iii) Quelle est la probabilité que le vendeur obtienne moins de 3 achats ?
iv) Si le vendeur obtient 250 F par achat, quelle est son espérance de gain ?
2) D’après Contrôle IUP 1994-1995
On considère une variable aléatoire X suivant la loi binomiale B(n,p).
On note pi = P(X=i) = Cni pi qn i
a) Evaluer le rapport pi / pi-1
b) Calculer les différentes probabilités pi lorsque n = 8 et p = 0,75.
c) Calculer P(X 6).
d)Déterminer le plus grand entier k tel que P(X k)  0,25
3) D’après DECF
Un courtier en assurances reçoit une commission de 1 000 F chaque fois qu’il
obtient la signature d’un nouveau contrat. Chaque jour, il rencontre 8 clients
potentiels et une personne rencontrée sur 12 accepte un nouveau contrat.
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a) Soit X le nombre de contrats signés un jour donné. A quelle loi de probabilité cette
variable aléatoire obéit-elle?
b) Si les frais professionnels non remboursés du courtier s’élèvent annuellement à
30 000 F et s’il travaille 300 jours par an, quels sont l’espérance mathématique et
l’écart-type de son revenu?
On admettra que le nombre de contrats signés à deux dates différentes sont des
variables aléatoires indépendantes et l’on rappelle que , dans ce cas, la variance de
leur somme est égale à la somme de leurs variances.
4) Une pièce fabriquée a la probabilité 0,1 d’être inutilisable. Quel nombre minimum
faut-il fabriquer de pièces pour avoir au moins 5 pièces utilisables avec une
probabilité supérieure ou égale à 0,98?
5) Deux personnes toutes les 3 minutes, en moyenne, utilisent le guichet
automatique d’une succursale de banque le samedi matin. Quelle est la probabilité
pour que:
a) exactement 10 clients viennent pendant une période de 12 mn choisie au hasard
b) il y ait moins de 10 clients en 12 minutes
c) personne ne vienne durant une période de 12 mn
6) Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre 4.
1) Calculer P(X = 3)
2) Calculer P(X  4)
3) Calculer P(5 < X 8)
4) Calculer E(X) et V(X).
7) Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre k.
Montrer que P(X = m) = k/m P(X = m-1).