Fiche méthode : Calculs avec des RACINES

FICHE METHODE sur les
RACINES CARREES et AUTRES
I) A quoi sert une racine carrée, cubique, quatrième ?
a) Exemples :
. Ce carré a une aire de 5cm² ! que vaut son coté ? :
5 cm.
. Ce cercle a une aire de 10 cm² ! que vaut son rayon ? : Error! cm.
. Ce cube a un volume de 5cm3 ! que vaut son arête ? :
3;5 cm.
.Ce rectangle a une longueur de 10 cm, une largeur de 5cm ! sa diagonale ? : 10² + 5²  11,18cm.
.Il valait 100 euros, a augmenté deux fois du même pourcentage et vaut maintenant 200 euros !
de quel pourcentage s’agit- il ? ( Error! – 1 ) 100  41%
.Il valait 200 euros, a augmenté dix fois du même pourcentage et vaut maintenant 100 euros !
de quel pourcentage s’agit- il ? ( Error! – 1 ) 100  - 6,7 %.
. Quelle est la solution de l’équation x² = 16 ? :
16 = 4 et - 16 = -4 .
. Un nombre multiplié 5 fois par lui même donne 25 ! que vaut ce nombre ? 5;25  1,9
b) Remarques :
Les racines ( carrées, cubiques, quatrièmes, …) servent beaucoup, elles permettent
d’exprimer des longueurs, des évolutions en pourcentages… .Elles permettent de trouver la valeur
exacte de la solution de certains problèmes, de certaines équations.
Il faut bien sur, apprendre à calculer avec ces nombres.
II) Qu’est ce qu’une racine ?
Définition 1: ( RACINE CARREE )
La racine carrée d’un nombre positif a est un nombre que l’on écrit
a
( « racine de a » )
a est le seul nombre positif qui multiplié par lui même vaut « a »: pour a > 0, on a : a  a = a
Autrement dit : c’est le seul nombre positif dont le carré soit égal à « a » : ( a)² = a
La racine carrée d’un nombre négatif n’est pas un nombre réel !
( en effet, le carré d’un nombre réel est positif , par exemple:-1 n’a pas de racine carrée « réelle »)
Remarque : La calculatrice est programmée pour donner la valeur décimale
(exacte ou approchée ) d’une racine carrée.
Exemples :
 4 =2
 1=1
 0=0
 8  2,8
 -1 n’est pas un nombre réel.
Définition 2 : ( RACINE N IEME D’UN NOMBRE POSITIF )
Soit n un nombre entier naturel non nul. La racine nième d’un nombre positif « a » est un nombre
que l’on écrit n;a ( « racine nième de a » ). n;a est le seul nombre positif qui multiplié n fois
par
lui même donne « a » (c’est le seul nombre positif dont la « puissance » n soit égale à « a » )
Remarque : La calculatrice est programmée pour donner la valeur ( exacte ou approchée )
d’une racine nième .
Exemples :

3;4
 1,587

3; 8
=2

3; 0

=0
10; 100
 1,584
III) Comment calculer avec les racines carrées ?
Remarque : ( SOMME, DIFFERENCE de DEUX RACINES CARREES )
Il n’y a aucune règle générale simplificatrice pour additionner ou soustraire 2 racines.
La somme des racines carrées de 2 nombres n’est pas égale à la racine carrée de la
somme des 2 nombres.
Attention ! :


3 + 7  4,37
7–
ce qui n’est pas égal à
3  0,91 ce qui n’est pas égal à
3 + 7 = 10  3,16
7 – 3 = 4 = 2.
Propriété 1 : ( PRODUIT de DEUX RACINES CARREES )
Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du
produit de ces deux nombres, pour a > 0 et b > 0 on a :
a  b= a  b .
Preuve :
Soient x = a  b et x’ = a  b , démontrons que x = x’
On a : x² = ( a  b )² = ( a )²( b )² ) = ab et de plus a  b est positif.
Or le seul nombre positif dont la carré vaut ab est x’ =
a  b donc a  b = a  b .
C.Q.F.D.
Exemples :  12  75 = 12  75 = 900 = 30 .  12 = 4  3 = 4 3 = 2 3.
Propriété 3 : ( QUOTIENT de DEUX RACINES CARREES )
Le QUOTIENT des racines carrées de deux nombres positifs strict est égal à la racine
carrée du quotient de ces deux nombres, pour a > 0 et b > 0 on a : Error!.
Preuve :
Soient x = Error! et x’ = Error! , démontrons que x = x’
On a : x² = (Error!)² = Error! = Error! et de plus Error! est positif.
Or le seul nombre positif dont la carré vaut Error! est x’ = Error! donc Error! = Error! .
C.Q.F.D.
Exemples :

Error!
= Error! = Error! = 2.

Error!
= Error! = Error! .
Propriété 4 : ( PUISSANCE de RACINES CARREES )
La « puissance n » de la racine carrée d’un nombre positif est égal à la racine carré de la
puissance n de ce nombre. Pour n, nombre entier naturel et a > 0 on a : ( a)n =
Preuve :
Soient x = ( a )n et x’ = an , démontrons que x = x’
On a : ( a )n = a a … a = aa…a = an
an
C.Q.F.D.
Exemples :
 ( 2)3 = 23 = 8 .
 1003 = ( 100)3 = 103 = 1000.