AQUISAV - Evaluation

Aquisav - DOCUMENTATION
Métier : CULTURE GÉNÉRALE
Domaine de compétences : SCI- Probabilités
Code : COM-201202-014681
Intitulé de la compétence : Avoir des notions de chance ou de probabilité
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SOMMAIRE
1)
DEFINITION
2)
PROPRIETES
3)
STATISTIQUE ET PROBABILITE
4)
FREQUENCES ET PROBABILITE
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COURS
I.
DEFINITION
Lorsqu’on lance une pièce de monnaie, on sait qu’on a une chance sur deux de tomber sur pile
ou face. Cependant, il peut arriver que, sur plusieurs lancers, on obtienne plusieurs fois pile ou
plusieurs fois face sans que leur nombre soit le même.
Exemple :
On lance une pièce de monnaie quatre fois et on obtient trois fois pile
et une fois face. C’est ce que l’on constate, c’est donc la statistique
de cette expérience qui contredit ce que l’on pouvait espérer obtenir,
c'est-à-dire deux fois pile et deux fois face.
Il y a une différence entre la statistique d’une expérience et
la probabilité de la même expérience.
La statistique d’un événement A résume les constatations effectuées lors d’une expérience.
C’est le résultat que l’on a effectivement obtenu.
La probabilité d’un événement A représente les chances que l’événement A se réalise lors
d’une expérience.
A noter que le mot ‘probabilité’ est formé à partir du mot probable qui indique bien qu’il n’y a
rien de certain, alors que le mot statistique a la même racine que le mot constat qui indique
des choses certaines.
Pour autant, il y a malgré tout un lien entre statistique et probabilité.
La statistique de l’expérience du lancer de pièce se rapproche d’autant plus de sa probabilité si
on répète l’expérience un grand nombre de fois. Si on lance la pièce 1000 fois ou 10 000 fois,
on constate que le nombre de fois où on obtient pile se rapproche du nombre de fois où on
obtient face. On a alors obtenu à peu près le résultat que l’on avait supposé : une fois sur deux,
on obtient pile ou face.
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II.
PROPRIETES
La probabilité qu’un événement se réalise se note : p(A)
La probabilité d’un événement est toujours comprise entre 0 et 1.
Exemples :
 Pour un lancer de pièce, l’événement A « obtenir pile » a pour probabilité ½ soit 0,5 si la
pièce est bien équilibrée et non truquée.
 Dans un jeu de 32 cartes, la probabilité de l’événement B « tirer le roi de carreau » est
égale à 1/32.
 Avec un dé à jouer à six faces numérotées de 1 à 6, l’événement C « obtenir un résultat
inférieur à 7 » est un événement certain, donc sa probabilité p(C) = 1.
A l’inverse l’événement D « obtenir un nombre négatif » est un événement impossible,
donc p(D) = 0.
III.
STATISTIQUE ET PROBABILITE
Exemple :
Dans une classe, on a relevé l’âge et le sexe des élèves.
Le résultat est donné dans le tableau ci-dessous :
Filles
Garçons
TOTAL
15 ans
6
18
24
16 ans
2
4
6
TOTAL
8
22
30
Dans ce tableau, on a rassemblé ce qui a été constaté. Il s’agit d’une statistique de cette classe.
On choisit un élève au hasard :
a) Quelle est la probabilité de l’événement F « cet élève est une fille » ?
b) Quelle est la probabilité de l’événement H « cet élève est un garçon de 15 ans » ?
On choisit une élève au hasard :
c) Quelle est la probabilité de l’événement K « c’est une fille de 15 ans » ?
On va utiliser les renseignements donnés par le tableau pour répondre aux questions.
Les statistiques (informations certaines) vont servir à calculer les probabilités (chances qu’un
événement se produise).
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a) On choisit un élève au hasard. Cette information indique que l’expérience est une situation
d’équiprobabilité. Il y a 30 élèves dans la classe, donc 30 choix possibles, tous les élèves
ayant la même probabilité d’être choisis.
L’événement F « cet élève est une fille » compte 8 choix favorables, donc :
p(F) = =
b) Sur les 30 élèves de la classe, il y a 18 garçons de 15 ans donc la probabilité de l’événement
H « cet élève est un garçon de 15 ans » est : p(H) = =
c) On choisit une élève au hasard. Dans ce cas, on ne s’intéresse qu’au groupe (à l’ensemble)
des filles. Il y a donc 8 choix possibles.
L’événement K « c’est une fille de 15 ans » compte 6 cas favorables, donc :
p(K) = =
IV.
FREQUENCES ET PROBABILITE
La notion de fréquence est importante dans le domaine statistique car c’est un indicateur
intéressant pour comparer des éléments d’un même ensemble.
Si un événement se produit plus fréquemment qu’un autre, il est plus important.
Exemple :
Dans une classe, lors d’un contrôle (de maths, bien sûr !), on a relevé les notes suivantes :
11 ; 9 ; 12 ; 13 ; 12 ; 10 ; 14 ; 13 ; 11 ; 13 ; 12 ; 1 ; 12 ; 11 ; 10 ; 9 ; 12 ; 13 ; 8 ; 14 ;
8 ; 13 ; 19 ; 12 ; 13 ; 9 ; 11 ; 10.
L’ensemble de ces constatations représente la statistique de ce contrôle.
Pour faciliter l’analyse des résultats obtenus, on regroupe les notes de même valeur dans un
tableau en indiquant l’effectif (le nombre) de chaque note.
Note
Effectif
1
1
8
2
9
3
10
3
11
4
12
6
13
6
14
2
19
1
On constate que certaines notes sont plus représentées que d’autres. Leur fréquence est plus
grande.
On calcule la fréquence d’une note en calculant le quotient de l’effectif de cette note par le
total de l’effectif.
Par exemple : la note 12 apparaît 6 fois, donc sa fréquence est égale à :
= 0,214 au millième
près.
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Pour faciliter les comparaisons, on exprime les fréquences en pourcentage, donc la fréquence
en pourcentage de la note 12 est de 21,4 %.
L’expression de la fréquence en pourcentage facilite la comparaison avec d’autres contrôles où
le nombre de notes serait différent.
On résume tous les calculs dans un tableau :
note
effectif
fréquence %
1
1
4
8
2
7
9
3
11
10
3
11
11
4
14
12
6
21
13
6
21
14
2
7
19
1
4
A partir de ce tableau, et sans nouveaux calculs, on peut déterminer des probabilités. Par
exemple, si l’on interroge un élève au hasard sur la note qu’il a obtenu, on peut connaître pour
chaque note la probabilité que cet élève ait obtenu cette note.
La probabilité que l’élève interrogé ait obtenu 12 est égale à 21%.
Et ainsi, pour chaque note, la fréquence d’apparition de la note correspond à la probabilité
qu’un élève interrogé au hasard ait obtenu cette note.
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