fonctions2000-2001

IUT de SCEAUX
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Quelques caractéristiques des fonctions
venant de l’économie
Domaine de définition économique
domaine de définition économique : ensemble sur lequel les conditions
économiques sont respectées.
restriction du domaine de définition mathématique.
Exemples : un prix, une quantité, un coût sont des nombres positifs. Certaines
quantités (production et vente d’objets en unités) ne vont s’exprimer qu’en nombres
entiers.
Principales fonctions rencontrées en économie
- Fonction de demande
- exprime la liaison entre la quantité totale demandée Q et le prix unitaire P
appliqué sur un marché donné
- en général, fonction décroissante (sauf produits rares)
Exemple : fonction de demande linéaire
Q = a P + b avec a <0,
où Q désigne la quantité désirée et P le prix du produit.
Pour déterminer le domaine de définition économique, il faut résoudre P > 0 et Q > 0,
ce qui signifie
a P + b > 0 d’où a P > - b et P < - b/a (division par un nombre négatif d’où
changement de sens de l’inégalité)
soit 0 < P < -b/a.
- Fonction d’offre
exprime la liaison entre la quantité Q d’un bien qu’une entreprise ou un individu
accepte de vendre et le prix unitaire P.
fonction d’offre globale : somme des fonctions d’offre individuelles.
- en général, fonction croissante

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Remarque: en théorie classique de l’économie, on suppose que le marché d’un bien
est en équilibre lorsque son prix est à un tel niveau que l’offre et la demande
sont égales.
modèle simpliste, largement abandonné par les économistes mais présent dans
l’opinion publique sous la dénomination de « loi de l’offre et de la demande »
- Fonctions de coût
L’offre dépend des coûts de production, car il faut que ceux-ci soient couverts par les
recettes.
Fonction de coût total:
- exprime la liaison entre la quantité produite Q et le coût C(Q)
- fonction positive et croissante
Fonction de coût moyen (ou unitaire):
- coût total divisé par la quantité produite.
Cm(Q) = C(Q) / Q
- Un taux de variation peut représenter le coût moyen de production sur une certaine
tranche de production.
Exemple : Soit C = f(Q) = 2 Q2 + 14 Q + 46 ,
où Q s’exprime en unités de volume et C en unités monétaires.
C est-elle une fonction de coût total sur [0, + [ ?
- C est la somme de termes positifs, donc C est positive.
- C’= f ’(Q) = 4 Q + 14. Donc C’ est positive pour Q  0 et C est croissante.
La fonction C est donc une fonction de coût total sur [0, + [.
Le coût moyen est :
Cm(Q) = [2 Q2 + 14 Q + 46] / Q = 2 Q + 14 + 46/Q
Il est défini sur ]0, + [.
- Fonction de revenu
R (Q) = Q * P(Q),
où P est le prix unitaire (dépendant de Q) et Q la quantité vendue.
- Fonction bénéfice
B(Q) = R(Q) - C(Q), où R(Q) est la recette totale et C(Q) le coût total.

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Exemple
Soit la fonction de demande
P = - 0,25 Q + 4.
et soit la fonction de coût total d’un certain produit :
C(Q) = 0,05 Q3 - 0,3 Q2 + 2 Q + 4
i) Trouver la fonction de bénéfice total
B(Q) = P Q - C(Q)
Remarque 1: la fonction de demande n’est définie que si Q > 0 et P > 0, ce qui signifie - 0,25
Q + 4 > 0 et donc Q < 16. Le domaine de définition de la fonction de demande est donc ]0,
16[.
Remarque 2: la fonction de coût total n’est définie que pour Q > 0. De plus, elle doit être
positive et croissante. Ces deux propriétés ne se vérifient pas par des techniques particulières
aux polynômes du troisième degré. Il va falloir utiliser les dérivées...
Soit donc
C(Q) = 0,05 Q3 - 0,3 Q2 + 2 Q + 4
Alors C’(Q) = 0,15 Q2 - 0,6 Q + 2
Calculons le discriminant:
 = (- 0,6)2 - 4 * 0,15 * 2
= - 0,84.
Le discriminant est toujours négatif. Le trinôme n’a pas de racines réelles et est donc toujours
du signe du coefficient du terme de degré 2, c’est-à-dire positif.
Puisque sa dérivée est positive, la fonction C est donc toujours croissante. Pour Q = 0, elle
vaut 4. Donc, la fonction C est positive pour Q > 0.
La fonction C est donc une fonction de coût total sur ]0, + [.
On peut donc définir une fonction bénéfice au plus sur ]0, 16[.
B = P Q - C(Q)
soit B = (-0,25 Q + 4) Q - (0,05 Q3 - 0,3 Q2 + 2 Q + 4)
d’où B = - 0,05 Q3 + 0,05 Q2 + 2 Q - 4

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ii) Peut-on déterminer un maximum de bénéfice B ? Si oui, pour quelle valeur de
Q ?
Pour étudier si une fonction définie sur un intervalle [a, b] admet un extrémum en un point c
de ]a, b[, on cherche :
i) si la dérivée première s’annule en un point c de ]a,b[
ii) si la dérivée première change de signe en passant par ce point.
Calculons donc la dérivée B’.
B’ = - 0,15 Q2 + 0,1 Q + 2
Il faut chercher quand - 0,15 Q2 + 0,1 Q + 2 = 0
Le discriminant vaut
 = (0,10)2 - 4 * (- 0,15) * 2 = 1,21 = (1,10)2.
Les racines sont donc Q1 = (-0,1 + 1,10) / 2 * (- 0,15) = - 10/3 < 0
Q2 = (-0,1 - 1,10) / 2 * (- 0,15) = 4
La dérivée B’ est positive entre Q1 et Q2., soit positive entre 0 et 4. La fonction est donc
croissante avant 4 et décroissante après. Il y a donc un maximum en 4.
Ce maximum vaut B(4) = 1,6.
La dérivée en économie
coût marginal : variation du coût total C(Q) entraînée par la variation infiniment
petite des quantités produites.
En fait, dérivée du coût total
Notation usuelle : C ’(Q) = dC / dQ
revenu marginal : dérivée de la fonction revenu
R’(Q) = dR / dQ.
bénéfice marginal : dérivée de la fonction bénéfice
B’(Q) = dB/dQ.

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Élasticité
Au lieu de comparer les variations absolues f et x par -l’étude du rapport
x
f
,
les économistes s’intéressent fréquemment aux variations relatives
ff
,
xx
, et à leur quotient
xx
ff
, qu’ils nomment élasticité de f en x.
Exemple : pour mesurer la sensibilité d’un bien par rapport aux variations de prix
d’un bien, on calcule
PP
Q
Q
, appelé élasticité de la demande Q de ce bien par
rapport à son prix P.
Le mathématicien, lui, s’intéresse à l’élasticité « instantanée », c’est à dire à la
limite lorsque x tend vers zéro du rapport :
xx
ff
or
f
x
x
f
x
fx
f
xx
ff
(d’après les règles de division des fractions)
Cette limite est donc égale à f ’(x) x / f(x) lorsque f est dérivable.
D’où la définition :
On appelle élasticité de f en x et on note ef(x) la quantité x f ’(x)/f(x).