Fonction

IUT de SCEAUX
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Fonctions d’une variable
Définitions
Fonction
On appelle fonction réelle de variable réelle toute application f
d’une partie A de IR (ou de IR) dans une autre partie B de IR
(ou IR). A (ou IR) est l’ensemble de définition de la fonction f.
Le graphe de f est constitué de l’ensemble des couples (x, f(x)),
où x appartient à A (ou IR) - et donc f(x) à B (ou IR) - . Lorsque
La courbe représentative de la fonction f est la représentation
dans le plan (muni d’un repère orthogonal) des points de
coordonnées (x, f(x)).
Exemples :
1) Les fonctions peuvent être définies explicitement par une (ou
des) expression(s) mathématique(s)
f : ]0,+[  IR définie par f(x) = 3 – 2/x2
g : IR IR définie par g(x) = x2 + 3x – 4
h : [0,+ [[0,+ [ définie par :
h(x) = 3 x pour 0<x5000
2 x pour x > 5000
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2) Les fonctions peuvent être connues par une représentation
graphique, par exemple obtenue sur un appareil enregistreur :
électrocardiogramme,…
3) Les statistiques économiques sont souvent présentées
sous forme de tableaux ou de représentations graphiques, à
partir desquels on essaie parfois de trouver une expression
algébrique de fonction…
4) Avant les calculatrices, il existait des tables présentant
certaines fonctions (tables financières).
Sens de variation
Une fonction f est croissante sur un intervalle si, pour deux
valeurs x1 et x2 quelconques de cet intervalle,
x1 > x2 entraîne f(x1)  f(x2)
Une fonction f est décroissante sur un intervalle si, pour deux
valeurs x1 et x2 quelconques de cet intervalle,
( x1 > x2 entraîne f(x1)  f(x2) )
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Exemple. La fonctions f précédente est - elle croissante ?
Soient x et y tels que x  y.
f(y) – f(x) = [ 3 – 2/y2 ] – [ 3 – 2/x2 ]
= 2/x2 – 2/y2
= 2 (y2 – x2 ) /x2 y2
= 2 (x + y) (y – x) /x2 y2
Comme x et y sont strictement positifs, x + y est aussi
strictement
positif .
Les
carrés
du
dénominateur
sont
évidemment positifs.
D’autre part, y – x  0
Donc f(y) – f(x)  0
La fonction f est croissante .
Etudier le sens de variation d’une fonction, c’est préciser sur
quelles parties de son ensemble de définition elle est croissante
ou décroissante.
Taux de variation : Si f est une fonction définie sur un
intervalle I, x0 et x0 + h des éléments de I, on appelle taux de
variation de f entre x0 et x0 + h, le rapport
f ( x0  h )  f ( x0 ) f ( x0  h )  f ( x0 )

x0  h  x0
h
On utilise ce taux de variation pour étudier la croissance ou la
décroissance d’une fonction.
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Il représente le coefficient directeur de la droite joignant les
points M0 (x0, f(x0)) et M (x0+h, f(x0+h)).
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Dérivées et applications des dérivées
Définition de la dérivée:
La notion de variation moyenne est couramment utilisée :
- vitesse moyenne de parcours d’un trajet, obtenue en
divisant la distance parcourue d(t) - d(t0) par la durée de
parcours t - t0. :
d (t )  d (t0 )
t  t0
- augmentation (ou diminution) moyenne périodique
d’une population, obtenue en divisant la variation de
population P(t) – P(t0) par la durée de la période t-t0 :
P (t )  P (t0 )
t  t0
La variation instantanée est aussi très importante : c’est la
vitesse instantanée d’une automobile (et les réflexes du
conducteur !) qui permettront d’éviter l’accident ; c’est la
tendance
démographique
du
moment
qui
conduira
les
gouvernements à prendre des décisions en matière de politique
de la famille, …
Plus généralement, cette variation instantanée nous intéresse
pour les fonctions. C’est la limite du taux de variation lorsque
(x0 + h) tend vers x0, ou encore h tend vers 0
lim
h 0
f ( x0  h )  f ( x 0 )
h
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Si cette limite existe, c’est la dérivée f '(x0) de la fonction f en
x0.
En fait, la dérivée peut être considérée comme la valeur limite
du rapport entre une variation infiniment petite de la fonction et
une variation infiniment petite de la variable.
Exemple : Déterminer la dérivée de g pour x = 2
g(2 + h) – g(2) = (2 + h)2 + 3 (2 + h) – 4 – [ 22 + 3 2 – 4]
= (2 + h)2 – 22 + 3 (2 + h) – 3 2 + 4 - 4
= h2 + 2 * 2 h + 3 h
D’où
[g(2 + h) – g(2)]/h = h + 2 * 2 + 3
Lorsque h tend vers 0,
le rapport précédent tend vers 2 * 2 + 3 = 7.
On peut donc écrire g’(2) = 7
La fonction dérivée f ' d’une fonction donnée est la fonction
qui à x fait correspondre le nombre dérivé f '(x).
On peut aussi définir la fonction dérivée seconde qui à x fait
correspondre la dérivée de la fonction dérivée f ’ appelée aussi
dérivée première. On la note f ''.
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Interprétation géométrique
Le point M0 [x0, f(x0)] et M [(x0+h), f(x0+h)] appartiennent tous
deux à la courbe et à la sécante M0M.
Le coefficient directeur de M0M est
f ( x0  h )  f ( x0 )
h
Par définition, la position limite de cette sécante quand h
tend vers zéro est la tangente M0T à la courbe.
Donc f ’(x0) représente le coefficient directeur de la tangente
à la courbe.
L’équation de la tangente à la courbe au point M0 (x0, f(x0)) est :
y - f(x0) = f ’(x0) (x - x0)
En effet, l’équation d’une droite est de la forme y = a x + b.
On sait que a = f '(x0).
La droite passe par M0, donc il vient:
f(x0) = f '(x0) (x0 ) + b
d’où b = f(x0) - f ’(x0) (x0).
On aboutit à l’équation encadrée par quelques calculs
élémentaires et factorisation.
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Remarques: Si f’(x0) = 0, la tangente est parallèle à l’axe des
abscisses
Si [f(x0+h) - f(x0)] / h tend vers l’infini, la tangente est parallèle à
l’axe des ordonnées.
Applications de la notion de dérivée
Croissance et signe de la dérivée
Puisqu’une dérivée est une valeur limite d’un taux de variation,
on l’utilise pour déterminer le sens de variation d’une fonction:
Si sur un intervalle I,
alors sur ce même intervalle I,
la dérivée est:
la fonction est:
Positive
croissante
Négative
décroissante
Nulle
constante
La démonstration de ces propriétés repose sur le théorème des
accroissements finis:
Soit f une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[.
Alors il existe un c de ]a, b[ tel que : f(b) - f(a) = (b - a) f ‘(c).
Existence d’un minimum et d’un maximum.
Théorème 1:
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Soit f une fonction dérivable sur ]a, b[ et soit x0 un élément de
]a, b[. Si f admet un maximum ou un minimum en x0, sa
dérivée s’annule en ce point x0 et change de signe en
passant par x0 , et réciproquement.
Remarque: si la dérivée de positive devient négative, la fonction
croît, puis décroît; il s’agit donc d’un maximum.
si la dérivée de négative devient positive, la fonction décroît,
puis croit; il s’agit donc d’un minimum.
Attention!! ce théorème ne dit rien sur ce qui se passe en a et
b, si la fonction est définie en a et b.
Autre méthode pour montrer l’existence d’un extrémum:
Théorème 2 :
Soit f une fonction dérivable sur ]a, b[ et soit x0 un élément de
]a, b[. f admet un maximum ou un minimum en x0, ssi:
i) sa dérivée f ’ (x0) s’annule en ce point
ii) f "(x0) < 0, il y a un maximum en x0. C’est f(x0).
f "(x0) > 0, il y a un minimum en x0. C’est f(x0).
Remarque : si f ’’(x0) = 0, on ne peut rien dire.
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Application à l’étude des fonctions
1) Domaine de définition (voir conditions mathématiques)
Domaine d’étude: voir les parités et la périodicité éventuelles
pour restreindre le domaine d’étude
(Rappel: pour tout x quelconque du domaine de définition,
f paire si f(x) = f(-x),
f impaire si f(-x) = -f(x)
f périodique, de période T si f(x + T) = f(x))
On verra plus loin : Domaine de définition économique (voir
en plus les conditions économiques)
2) Calcul de la dérivée, signe de cette dérivée, recherche des
minimums et maximums éventuels
3) (Eventuellement) Recherche des limites aux points de
discontinuité ou aux limites du domaine de définition
4) Tableau de variation
5) (Eventuellement) Recherche des asymptotes
(Rappels: les asymptotes parallèles aux axes apparaissent
sur le tableau de variation.
On ne se pose le problème de l’existence d’une asymptote
oblique que si lim f ( x )   . Alors on cherche si f(x)/x tend vers
x 
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une limite finie a quand x tend vers l’infini et on cherche alors la
limite de f(x) - ax. Si cette limite est égale à un nombre b fini,
l’asymptote a pour équation y = ax + b.)
6) (Eventuellement) Recherche des centres de symétrie
7) (Eventuellement) Recherche des points d’inflexion
(Rappel: ce sont les points où la courbe traverse sa tangente.
Pour montrer leur existence, on cherche les points où la dérivée
seconde s’annule et change de signe)
8) Représentation graphique
9) (Eventuellement) Révision du domaine de définition
économique (à partir du graphique).
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Quelques
caractéristiques
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des
fonctions
venant de l’économie
Domaine de définition économique
On utilisera le terme de domaine de définition économique
pour l’ensemble sur lequel les conditions, les contraintes
économiques sont respectées. C’est une restriction du domaine
de définition mathématique.
Exemple : un prix, une quantité, un coût sont des nombres
positifs. Certaines quantités (production et vente d’objets en
unités) ne vont s’exprimer qu’en nombres entiers.
Principales fonctions rencontrées en économie
- Fonction de demande
exprime la liaison entre la quantité totale demandée Q et le prix
unitaire P appliqué sur un marché donné - en général, fonction
décroissante (sauf produits rares)
Exemple : une fonction de demande peut être linéaire. Elle
s’écrit alors
Q = a P + b avec a <0,
Où Q désigne la quantité désirée et P le prix du produit.
Pour déterminer le domaine de définition économique, il faut
résoudre P > 0 et Q > 0, soit 0< P <-b/a.
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- Fonction d’offre
exprime la liaison entre la quantité Q d’un bien qu’une
entreprise ou un individu accepte de vendre et le prix unitaire P.
(La fonction d’offre globale est la somme des fonctions d’offre
individuelles.) - en général, fonction croissante
Remarque: en théorie classique de l’économie, on suppose
que le marché d’un bien est en équilibre lorsque son prix est à
un tel niveau que l’offre et la demande sont égales. Ce modèle
simpliste est largement abandonné par les économistes mais il
reste présent dans l’opinion publique sous la dénomination de
« loi de l’offre et de la demande »
- Fonctions de coût
L’offre dépend des coûts de production, car il faut que ceux-ci
soient couverts par les recettes.
Fonction de coût total: c’est une fonction qui exprime la
liaison entre la quantité produite Q et le coût C(Q) - fonction
positive et croissante
Fonction de coût moyen (ou unitaire):
C’est la coût total divisé par la quantité produite.
Cm(Q) = C(Q) / Q
Un taux de variation peut représenter le coût moyen de
production sur une certaine tranche de production.
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Exemple : Soit C = f(Q) = 2 Q2 + 14 Q + 46 ,
Où Q s’exprime en unités de volume ou de poids et C en unités
monétaires.
C est-elle une fonction de coût total sur [0, + [ ?
- C est la somme de termes positifs, donc C est positive.
- C’= f ’(Q) = 4 Q + 14. Donc C’ est positive pour Q  0 et C
est croissante.
La fonction C est donc une fonction de coût total sur [0, + [.
Le coût moyen est :
Cm(Q) = 2 Q + 14 + 46/Q
Il est défini sur ]0, + [.
- Fonction de revenu
La fonction revenu ou recette totale est une fonction définie par
la relation R (Q) = Q * P(Q), où P est le prix unitaire (dépendant
de Q) et Q la quantité vendue.
- Fonction bénéfice
La fonction bénéfice ou profit est une fonction définie par
B(Q) = R(Q) - C(Q)
Où R(Q) est la recette totale et C(Q) le coût total.
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La dérivée en économie
Le coût marginal est la variation du coût total C(Q) entraînée
par la variation infiniment petite des quantités produites. Le coût
marginal n’est donc rien d’autre que la dérivée du coût total et
on la notera C ’(Q) = dC / dQ
De la même façon, on pourra parler du revenu marginal ou du
bénéfice marginal, qui seront respectivement les dérivées de
la fonction revenu et de la fonction bénéfice.
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Élasticité
Au lieu de comparer les variations absolues f et x par
l’étude
du
rapport
 f
, les économistes s’intéressent
x
fréquemment aux variations relatives
 f x
,
et à leur
x
f
 f
f
quotient
, qu’ils nomment élasticité de f en x.
x
x
Exemple : pour mesurer la sensibilité d’un bien par rapport aux
Q
Q
variations de prix d’un bien, on calcule
, appelé élasticité
P
P
de la demande Q de ce bien par rapport à son prix P.
Le
mathématicien,
lui,
s’intéresse
à
l’élasticité
« instantanée », c’est à dire à la limite lorsque x tend vers
zéro du rapport :
 f
f
f x
f
 x 
x
f
x f
x
x
Cette limite est égale à f ’(x) x / f(x) lorsque f est dérivable.
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D’où la définition :
On appelle élasticité de f en x et on note ef(x) la quantité
x f ’(x)/f(x).
Exemple : Dans une Région, pour une catégorie déterminée de
terrains à bâtir, la demande Q pour un prix d’achat P s’exprime
par la relation suivante :
Q = 50 000 – 0,4 P
Où Q désigne le nombre de terrains à bâtir que souhaitent
acquérir les ménages lorsque le prix d‘achat est P.
i) Quel est le domaine de définition économique ?
Il faut que P  0 et Q  0, ce qui signifie 50 000 – 0,4 P  0
soit 50 000  0,4 P
ou encore P  125 000
Le domaine de définition de la demande est donc]0, 125 000[
ii) Quelle est l’élasticité de la demande par rapport au prix pour
P = 120 000 ?
L’élasticité va se calculer à l’aide de la formule ;
eD(P) = P * D’/D
Pour ce prix, la demande est :
D = 50 000 – 0,4*120 000 = 2 000.
La dérivée D’ de la demande est :
L’élasticité pour P = 120 000 est donc :
e = - 0,4 * 120 000/2000 = - 24
D’ = - 0,4
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Comme e = ( D/ D ) : ( P/ P)
on a ( D/ D ) = ( P/ P) * e
soit ( D/ D ) = -24 * 0,01 = - 0,24
Cela signifie que, pour un accroissement du prix de 1% autour
de 120 000 F, il y aura une diminution de la demande de 24%.
L’accroissement de prix serait alors de 1 200 F et la demande
diminuerait de 2 000 * 0,24 = 480 terrains.
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Exemple élémentaire
Une entreprise décide la fabrication en grande série d’un
article. Le coût de fabrication de chaque article est de 200 F
auquel s’ajoutent les frais fixes de production qui s’élèvent à
1 500 000 F.
i) a - Quel est le coût de fabrication de n articles (frais fixes +
frais variables) ?
Si n désigne le nombre d’articles produits, le coût total de
fabrication est:
C(n) = 1 500 000 + 200 n
Remarque 1: Dans cet exemple, la fonction n’est définie que
pour des valeurs entières positives de la variable, puisque n
désigne un nombre entier d’objets.
Du point de vue du mathématicien, la fonction qui à x associe
f(x) = 1 500 000 + 200 x est définie pour toutes les valeurs réelles
de x .
On différenciera ces deux domaines de définition en parlant de
domaine de définition économique pour le premier.
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Remarque 2: La fonction qui intervient dans cet exemple est une
fonction affine, dont la représentation graphique est une droite,
ou plus exactement une portion de droite.
Remarque 3: La fonction est toujours positive sur son domaine
de définition économique (car somme de termes positifs). C’est
une caractéristique générale des fonctions de coût total.
Remarque 4: La fonction de coût total est croissante, ce qui
peut se voir facilement puisque le coefficient directeur est positif
(c’est 200 !!). C’est encore une caractéristique générale des
fonctions de coût total.
b- Exprimer le prix de revient r(n), en francs, d’un article en
fonction du nombre n d’articles fabriqués.
Le coût de revient unitaire est le quotient du coût total par le
nombre d’articles fabriqués, soit
r(n) = C(n) / n = 1 500 000 / n + 200
Remarque 1: Le domaine de définition économique est encore
l’ensemble des entiers positifs. Il est différent du domaine de
définition mathématique qui serait IR - {0}.
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Remarque 2: On reconnaît une fonction homographique dont la
représentation graphique est une hyperbole.
Remarque 3: Nous allons étudier la croissance directement en
calculant r(n) - r(m), lorsque n et m sont deux entiers tels que
n < m.
r(n) - r(m) = (1 500 000 / n +200) - (1 500 000 / m + 200)
= 1 500 000 / n - 1 500 000 / m
= 1 500 000 (m - n) / mn
Le signe de r(n) - r(m) ne dépend que du signe de m-n, puisque m
et n sont des entiers positifs.
d’où
r(n) - r(m) > 0, soit r(n) > r(m).
Dans ce cas, la fonction coût de revient est constamment
décroissante.
ii) La demande de cet article sur le marché est fonction de son
prix de vente unitaire p. Une étude de marché a montré que,
pour un prix de vente unitaire p, le nombre d’articles demandés
est n(p) = 2 100 000 - 6 000 p, où p est un nombre entier
exprimé en francs et appartenant à l’intervalle [200, 350].
Montrer que le bénéfice total correspondant, en francs, est
alors:
B = - 6 103 p2 + 33 105 p - 4 215 105
IUT de SCEAUX
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Remarque 1: La fonction qui au prix associe le nombre d’articles
demandés s’appelle une fonction de demande. Notons que c’est
une fonction décroissante, et qu’une des caractéristiques des
fonctions de demande est d’être monotone (croissante uniquement
pour les produits rares).
Son domaine de définition économique se détermine en écrivant
sous forme d’équations ou d’inéquations les conditions ou
contraintes économiques.
Ainsi, le prix est forcément un nombre positif (ou strictement
positif, selon les conventions), donc la condition minimale est
p  0. Cependant, le coût de fabrication par article est de 200 F,
donc le prix de vente est forcément supérieur à 200 F. C’est la
borne inférieure de 200.
Le nombre d’articles demandés est aussi positif, donc n(p)  0.
2 100 000 - 6 000 p  0
soit
2 100 000  6 000 p
et donc
p  350.
On retrouve la borne supérieure figurant dans l’énoncé pour
l’étude de la fonction de demande.
Remarque 2: On définit aussi en économie la fonction bénéfice
comme la fonction qui à un prix associe la différence entre le
chiffre d’affaires et les coûts.
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d’où
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B(p) = p * n(p) - c[n(p)]
On a donc:
B = p (2 100 000 - 6 000 p)
- 1 500 000 - 200 (2 100 000 - 6 000 p)
B = - 6 000 p2 + 3 300 000 p + 421 500 000
En utilisant les puissances de 10, on obtient l’équation du texte.
Remarque 3: Un bénéfice au sens usuel du terme doit être
positif (sinon, il s’agit d’une perte). En fait, il s’agit encore d’un
problème de domaine de définition économique.
Remarque 4: La fonction qui à p associe B(p) est une fonction
trinôme du second degré, dont la représentation graphique est
une parabole, ou plus exactement une portion de parabole sur son
domaine de définition économique.
IUT de SCEAUX
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Exemple 2
Soit la fonction de demande
P = - 0,25 Q + 4.
et soit la fonction de coût total d’un certain produit :
C(Q) = 0,05 Q3 - 0,3 Q2 + 2 Q + 4
i) Trouver la fonction de bénéfice total
B(Q) = P Q - C(Q)
Remarque 1: la fonction de demande n’est définie que si Q > 0 et
P > 0, ce qui signifie - 0,25 Q + 4 > 0 et donc Q < 16. Le domaine
de définition de la fonction de demande est donc ]0, 16[.
Remarque 2: la fonction de coût total n’est définie que pour
Q > 0. De plus, elle doit être positive et croissante. Ces deux
propriétés ne se vérifient pas par des techniques particulières aux
polynômes du troisième degré. Il va falloir utiliser les dérivées...
Soit donc
C(Q) = 0,05 Q3 - 0,3 Q2 + 2 Q + 4
Alors C’(Q) = 0,15 Q2 - 0,6 Q + 2
Calculons le discriminant:
 = (- 0,6)2 - 4 * 0,15 * 2
= - 0,84.
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Le discriminant est toujours négatif. Le trinôme n’a pas de racines
réelles et est donc toujours du signe du coefficient du terme de
degré 2, c’est-à-dire positif.
Puisque sa dérivée est positive, la fonction C est donc toujours
croissante. Pour Q = 0, elle vaut 4. Donc, la fonction C est
positive pour Q > 0.
La fonction C est donc une fonction de coût total sur ]0, + [.
On peut donc définir une fonction bénéfice au plus sur ]0, 16[.
B = P Q - C(Q)
soit B = (-0,25 Q + 4) Q - (0,05 Q3 - 0,3 Q2 + 2 Q + 4)
d’où B = - 0,05 Q3 + 0,05 Q2 + 2 Q - 4
ii) Peut-on déterminer un maximum de bénéfice B ? Si oui,
pour quelle valeur de Q ?
Pour étudier si une fonction définie sur un intervalle [a, b] admet
un extrémum en un point c de ]a, b[, on cherche :
i) si la dérivée première s’annule en un point c de ]a,b[
ii) si la dérivée première change de signe en passant par ce
point.
Calculons donc la dérivée B’.
B’ = - 0,15 Q2 + 0,1 Q + 2
Il faut chercher quand - 0,15 Q2 + 0,1 Q + 2 = 0
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Le discriminant vaut
 = (0,10)2 - 4 * (- 0,15) * 2 = 1,21 = (1,10)2.
Les racines sont donc Q1 = (-0,1 + 1,10) / 2 * (- 0,15) = - 10/3 < 0
Q2 = (-0,1 - 1,10) / 2 * (- 0,15) = 4
La dérivée B’ est positive entre Q1 et Q2., soit positive entre 0 et 4.
La fonction est donc croissante avant 4 et décroissante après. Il y
a donc un maximum en 4.
Ce maximum vaut B(4) = 1,6.