Fonction

IUT de SCEAUX
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Fonctions d’une variable
Définitions
Fonction
On appelle fonction réelle de variable réelle toute application f
d’une partie A de IR (ou de IR) dans une autre partie B de IR
(ou IR). A (ou IR) est l’ensemble de définition de la fonction f.
Le graphe de f est constitué de l’ensemble des couples (x, f(x)),
où x appartient à A (ou IR) - et donc f(x) à B (ou IR) - . Lorsque
La courbe représentative de la fonction f est la représentation
dans le plan (muni d’un repère orthogonal) des points de
coordonnées (x, f(x)).
Exemples :
1) Les fonctions peuvent être définies explicitement par une (ou
des) expression(s) mathématique(s)
f : ]0,+[  IR définie par f(x) = 3 – 2/x2
g : IR IR définie par g(x) = x2 + 3x – 4
h : [0,+ [[0,+ [ définie par :
h(x) = 3 x pour 0<x5000
2 x pour x > 5000

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2) Les fonctions peuvent être connues par une représentation
graphique, par exemple obtenue sur un appareil enregistreur :
électrocardiogramme,…
3) Les statistiques économiques sont souvent présentées
sous forme de tableaux ou de représentations graphiques, à
partir desquels on essaie parfois de trouver une expression
algébrique de fonction…
4) Avant les calculatrices, il existait des tables présentant
certaines fonctions (tables financières).
Sens de variation
Une fonction f est croissante sur un intervalle si, pour deux
valeurs x1 et x2 quelconques de cet intervalle,
x1 > x2 entraîne f(x1)  f(x2)
Une fonction f est décroissante sur un intervalle si, pour deux
valeurs x1 et x2 quelconques de cet intervalle,
( x1 > x2 entraîne f(x1)  f(x2) )

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Exemple. La fonctions f précédente est - elle croissante ?
Soient x et y tels que x  y.
f(y) – f(x) = [ 3 – 2/y2 ] – [ 3 – 2/x2 ]
= 2/x2 – 2/y2
= 2 (y2 – x2 ) /x2 y2
= 2 (x + y) (y – x) /x2 y2
Comme x et y sont strictement positifs, x + y est aussi
strictement positif . Les carrés du dénominateur sont
évidemment positifs.
D’autre part, y – x  0
Donc f(y) – f(x)  0
La fonction f est croissante .
Etudier le sens de variation d’une fonction, c’est préciser sur
quelles parties de son ensemble de définition elle est croissante
ou décroissante.
Taux de variation : Si f est une fonction définie sur un
intervalle I, x0 et x0 + h des éléments de I, on appelle taux de
variation de f entre x0 et x0 + h, le rapport
f x h f x
x h x f x h f x h
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 0 0 0
On utilise ce taux de variation pour étudier la croissance ou la
décroissance d’une fonction.

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Il représente le coefficient directeur de la droite joignant les
points M0 (x0, f(x0)) et M (x0+h, f(x0+h)).

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Dérivées et applications des dérivées
Définition de la dérivée:
La notion de variation moyenne est couramment utilisée :
- vitesse moyenne de parcours d’un trajet, obtenue en
divisant la distance parcourue d(t) - d(t0) par la durée de
parcours t - t0. :
0
0)()( tt tdtd
- augmentation (ou diminution) moyenne périodique
d’une population, obtenue en divisant la variation de
population P(t) – P(t0) par la durée de la période t-t0 :
0
0)()( tt tPtP
La variation instantanée est aussi très importante : c’est la
vitesse instantanée d’une automobile (et les réflexes du
conducteur !) qui permettront d’éviter l’accident ; c’est la
tendance démographique du moment qui conduira les
gouvernements à prendre des décisions en matière de politique
de la famille, …
Plus généralement, cette variation instantanée nous intéresse
pour les fonctions. C’est la limite du taux de variation lorsque
(x0 + h) tend vers x0, ou encore h tend vers 0
lim ( ) ( )
h
f x h f x
h
00 0