fonctions2000-2001
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1 Fonctions d’une variable Quelques caractéristiques des fonctions venant de l’économie Domaine de définition économique On utilisera le terme de domaine de définition économique pour l’ensemble sur lequel les conditions, les contraintes économiques sont respectées. C’est une restriction du domaine de définition mathématique. Exemple : un prix, une quantité, un coût sont des nombres positifs. Certaines quantités (production et vente d’objets en unités) ne vont s’exprimer qu’en nombres entiers. Exemples de fonctions rencontrées en économie - Fonction de demande exprime la liaison entre la quantité totale demandée Q et le prix unitaire P appliqué sur un marché donné - en général, fonction décroissante (sauf produits rares) Exemple : une fonction de demande peut être linéaire. Elle s’écrit alors Q = a P + b avec a <0, où Q désigne la quantité désirée et P le prix du produit. Pour déterminer le domaine de définition économique, il faut résoudre P > 0 et Q > 0, soit 0< P <-b/a. 2 - Fonction d’offre exprime la liaison entre la quantité Q d’un bien qu’une entreprise ou un individu accepte de vendre et le prix unitaire P. (La fonction d’offre globale est la somme des fonctions d’offre individuelles.) - en général, fonction croissante Remarque: en théorie classique de l’économie, on suppose que le marché d’un bien est en équilibre lorsque son prix est à un tel niveau que l’offre et la demande sont égales. Ce modèle simpliste est largement abandonné par les économistes mais il reste présent dans l’opinion publique sous la dénomination de « loi de l’offre et de la demande » - Fonctions de coût L’offre dépend des coûts de production, car il faut que ceux-ci soient couverts par les recettes. Fonction de coût total: c’est une fonction qui exprime la liaison entre la quantité produite Q et le coût C ( Q ) - fonction positive et croissante Fonction de coût moyen (ou unitaire): C’est la coût total divisé par la quantité produite. Cm ( Q ) = C ( Q ) / Q Un taux de variation peut représenter le coût moyen de production sur une certaine tranche de production. 3 Exemple : Soit C = f ( Q ) = 2 Q2 + 14 Q + 46 , où Q s’exprime en unités de volume ou de poids et C en unités monétaires. C est-elle une fonction de coût total sur [0, + [ ? - C est la somme de termes positifs, donc C est positive. - C’= f ’ ( Q ) = 4 Q + 14. Donc C’ est positive pour Q 0 et C est croissante. La fonction C est donc une fonction de coût total sur [0, + [. Remarquons que C(0) = 46, ce qui représente les charges fixes, indépendamment de toute production ! Le coût moyen est : Cm ( Q ) = 2 Q + 14 + 46/Q Il est défini sur ]0, + [. - Fonction de revenu La fonction revenu ou recette totale est une fonction définie par la relation R ( Q ) = Q * P ( Q ), où P est le prix unitaire (dépendant de Q ) et Q la quantité vendue. - Fonction bénéfice La fonction bénéfice ou profit est une fonction définie par B(Q)=R(Q)-C(Q) où R ( Q ) est la recette totale et C ( Q ) le coût total. Si B(Q) > 0, il s’agit d’un bénéfice au sens usuel. Si B(Q) < 0, il s’agit d’une perte 4 La dérivée en économie Le coût marginal est la variation du coût total C ( Q ) entraînée par la variation infiniment petite des quantités produites. Le coût marginal n’est donc rien d’autre que la dérivée du coût total et on la notera C ’ ( Q ) = dC / dQ De la même façon, on pourra parler du revenu marginal ou du bénéfice marginal, qui seront respectivement les dérivées de la fonction revenu et de la fonction bénéfice. 5 Élasticité Au lieu de comparer les variations absolues f et x par l’étude du rapport f , les économistes s’intéressent x fréquemment aux variations relatives f x , et à leur x f f f quotient , qu’ils nomment élasticité de f en x. x x Exemple : pour mesurer la sensibilité d’un bien par rapport aux Q Q variations de prix d’un bien, on calcule , appelé élasticité P P de la demande Q de ce bien par rapport à son prix P. Le mathématicien, lui, s’intéresse à l’élasticité « instantanée », c’est à dire à la limite lorsque x tend vers zéro du rapport : f f f x f x x f x f x x Cette limite est égale à f ’ ( x ) x / f ( x ) lorsque f est dérivable. 6 D’où la définition : On appelle élasticité de f en x et on note ef ( x ) la quantité x f ’ ( x )/f ( x ). Exemple : Dans une Région, pour une catégorie déterminée de terrains à bâtir, la demande Q pour un prix d’achat P s’exprime par la relation suivante : Q = 50 000 – 0,4 P Où Q désigne le nombre de terrains à bâtir que souhaitent acquérir les ménages lorsque le prix d‘achat est P. i) Quel est le domaine de définition économique ? Il faut que P 0 et Q 0, ce qui signifie 50 000 – 0,4 P 0 soit 50 000 0,4 P ou encore P 125 000 Le domaine de définition de la demande est donc]0, 125 000[ Remarque : en fait, il faut que Q soit un nombre entier, donc 50 000 – 0,4 P = k, avec k entier, ce qui signifie que P = (50 000 - k)/0,4 = 125 000 – 0,4 k ii) Quelle est l’élasticité de la demande par rapport au prix pour P = 120 000 ? L’élasticité va se calculer à l’aide de la formule ; eD ( P ) = P * D’/D Pour ce prix, la demande est : D = 50 000 – 0,4*120 000 = 2 000. 7 La dérivée D’ de la demande est : D’ = - 0,4 L’élasticité pour P = 120 000 est donc : e = - 0,4 * 120 000/2000 = - 24 Comme e = ( D/ D ) : ( P/ P ) on a ( D/ D ) = ( P/ P ) * e soit ( D/ D ) = -24 * 0,01 = - 0,24 Cela signifie que, pour un accroissement du prix de 1% autour de 120 000 F, il y aura une diminution de la demande de 24%. L’accroissement de prix serait alors de 1 200 F et la demande diminuerait de 2 000 * 0,24 = 480 terrains. 8
