fonctions2000-2001

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Fonctions d’une variable
Quelques caractéristiques des fonctions
venant de l’économie
Domaine de définition économique
On utilisera le terme de domaine de définition économique
pour l’ensemble sur lequel les conditions, les contraintes
économiques sont respectées. C’est une restriction du
domaine de définition mathématique.
Exemple : un prix, une quantité, un coût sont des nombres
positifs. Certaines quantités (production et vente d’objets en
unités) ne vont s’exprimer qu’en nombres entiers.
Exemples de fonctions rencontrées en économie
- Fonction de demande
exprime la liaison entre la quantité totale demandée Q et le prix
unitaire P appliqué sur un marché donné - en général, fonction
décroissante (sauf produits rares)
Exemple : une fonction de demande peut être linéaire. Elle
s’écrit alors Q = a P + b avec a <0,
où Q désigne la quantité désirée et P le prix du produit.
Pour déterminer le domaine de définition économique, il faut
résoudre P > 0 et Q > 0, soit 0< P <-b/a.

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- Fonction d’offre
exprime la liaison entre la quantité Q d’un bien qu’une
entreprise ou un individu accepte de vendre et le prix unitaire P.
(La fonction d’offre globale est la somme des fonctions d’offre
individuelles.) - en général, fonction croissante
Remarque: en théorie classique de l’économie, on suppose
que le marché d’un bien est en équilibre lorsque son prix est à
un tel niveau que l’offre et la demande sont égales. Ce modèle
simpliste est largement abandonné par les économistes mais il
reste présent dans l’opinion publique sous la dénomination de
« loi de l’offre et de la demande »
- Fonctions de coût
L’offre dépend des coûts de production, car il faut que ceux-ci
soient couverts par les recettes.
Fonction de coût total: c’est une fonction qui exprime la
liaison entre la quantité produite Q et le coût C ( Q ) - fonction
positive et croissante
Fonction de coût moyen (ou unitaire):
C’est la coût total divisé par la quantité produite.
Cm ( Q ) = C ( Q ) / Q
Un taux de variation peut représenter le coût moyen de
production sur une certaine tranche de production.

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Exemple : Soit C = f ( Q ) = 2 Q2 + 14 Q + 46 ,
où Q s’exprime en unités de volume ou de poids et C en unités
monétaires.
C est-elle une fonction de coût total sur [0, + [ ?
- C est la somme de termes positifs, donc C est positive.
- C’= f ’ ( Q ) = 4 Q + 14.
Donc C’ est positive pour Q  0 et C est croissante.
La fonction C est donc une fonction de coût total sur [0, + [.
Remarquons que C(0) = 46, ce qui représente les charges
fixes, indépendamment de toute production !
Le coût moyen est :
Cm ( Q ) = 2 Q + 14 + 46/Q
Il est défini sur ]0, + [.
- Fonction de revenu
La fonction revenu ou recette totale est une fonction définie par
la relation R ( Q ) = Q * P ( Q ), où P est le prix unitaire
(dépendant de Q ) et Q la quantité vendue.
- Fonction bénéfice
La fonction bénéfice ou profit est une fonction définie par
B ( Q ) = R ( Q ) - C ( Q )
où R ( Q ) est la recette totale et C ( Q ) le coût total.
Si B(Q) > 0, il s’agit d’un bénéfice au sens usuel. Si B(Q) < 0, il
s’agit d’une perte

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La dérivée en économie
Le coût marginal est la variation du coût total C ( Q ) entraînée
par la variation infiniment petite des quantités produites. Le coût
marginal n’est donc rien d’autre que la dérivée du coût total et
on la notera C ’ ( Q ) = dC / dQ
De la même façon, on pourra parler du revenu marginal ou du
bénéfice marginal, qui seront respectivement les dérivées de
la fonction revenu et de la fonction bénéfice.

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Élasticité
Au lieu de comparer les variations absolues f et x par
l’étude du rapport
x
f
, les économistes s’intéressent
fréquemment aux variations relatives
ff
,
xx
et à leur
quotient
xx
ff
, qu’ils nomment élasticité de f en x.
Exemple : pour mesurer la sensibilité d’un bien par rapport aux
variations de prix d’un bien, on calcule
PP
Q
Q
, appelé élasticité
de la demande Q de ce bien par rapport à son prix P.
Le mathématicien, lui, s’intéresse à l’élasticité
« instantanée », c’est à dire à la limite lorsque x tend vers
zéro du rapport :
f
x
x
f
x
fx
f
xx
ff
Cette limite est égale à f ’ ( x ) x / f ( x ) lorsque f est dérivable.