Les nombres

Chapitre I - 1 - 2nde D4
Emilie Bouchez 2007/2008
Chapitre I : Les nombres
I) Ensembles de nombres.
1) Les entiers.
Définition : L’ensemble des entiers naturels est formé de tous les nombres entiers positifs ou
nuls. Il est noté
={ 0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;……... ;999…. ;1290 ;….}
Définition : L’ensemble des entiers relatifs est formé de tous les entiers naturels et de leur
opposés. Il est noté
={ ….-1290 ;….. ;-999 ;…… ;-4 ;-3 ;-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;……... ;999…. ;1290 ;…}
Remarque 1 : un entier a et son opposé sont de signes contraires.
Remarque 2 :Ne pas confondre :
_ le symbole , qui signifie « appartient à » . Il relie un élément et un ensemble.
Et _ le symbole , qui signifie « est inclus dans ». Il relie deux ensembles.
Exemples : -2 ;-2 et (cad : tout élément de est élément de .)
2) Nombres rationnels- Nombres décimaux .
Définition : L’ensemble des nombres rationnels contient tous les nombres pouvant s’écrire
sous la forme
a
b
où a et b sont deux entiers relatifs, b étant non nul.
Il se note .
Exemples :_
11 5 1
;;
7 6 2
sont des nombres rationnels.
_
0,1
0,7
est aussi un rationnel car on peut l’écrire
1
7
_ Tout nombre entier n est un rationnel car on peut toujours l’écrire
1
n
n
d’où
Contre-exemples :
; 2;cos(30)
ne sont pas des nombres rationnels. On dit que ce sont des
nombres irrationnels.
Remarque :
un même nombre rationnel peut s’écrire sous forme fractionnaire d’une infinité de façons.
Par exemple :
4 8 12 20 24 ....
3 6 9 15 18
Propriété : Tout nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible
p
q
avec p et q deux entiers relatifs tels que pgcd(p,q)=1

Chapitre I - 2 - 2nde D4
Emilie Bouchez 2007/2008
Théorème : Un nombre est rationnel si et seulement si son développement décimal est
périodique ( à partir d’un certain rang)
Exemple :
23 3,285714285714......
7période
;
14 4,666666.....
3
;
347 3,50505050......
99 
;
13 1,18181818....
11 
Notation : pour signifier que l’écriture décimale d’un nombre est périodique, on notera la
période avec une barre, ainsi :
4,66666….. sera noté
4,6
3,285714285714…. Sera noté
3,285714
A partir de l’écriture décimale périodique d’un nombre, comment retrouver son
écriture sous forme de fraction?
Application : retrouver l’écriture sous forme de fraction de
0,373737...x
(soit
encore
0,37x
) dont la période 37 a deux chiffres.
1) a) Justifier que
100 37xx  
b) Résoudre cette équation et en déduire la valeur exacte de x en fraction.
Quelle est alors la nature de x ?
2) En procédant de la même façon, démontrer que :
0,999999999999....... 1
(
0,9 1
)
3) a) Déterminer l’écriture fractionnaire du nombre :
0,123123123....(soit 0,123)xx
b) En remarquant que
12,09 12 0,09
, déterminer l’écriture fractionnaire
de
12,09
.
Parmi les nombres rationnels,on peut en distinguer des particuliers :
10,25
4
Ici, le développement décimal s’arrête.
10,33333333....
3
Ici, le développement décimal est illimité et possède une période 3.
Définition : L’ensemble des nombres décimaux contient tous les nombres pouvant s’écrire
sous la forme
10n
a
, avec n un entier naturel et a un entier relatif.
Il se note
D
.
Remarque : tout entier est bien sûr un nombre décimal.
a
,
10n
donc
D
Exemple :
3
1349 1349
1,349 1000 10

Chapitre I - 3 - 2nde D4
Emilie Bouchez 2007/2008
Propriété : Soient a et b deux entiers relatifs (avec b non nul) tels que
a
b
soit irréductible
( cad pgcd(a ;b)=1)
Si b s’écrit sous la forme d’un produit
25
pq
, avec p et q deux entiers naturels, alors le
nombre rationnel
a
b
est décimal.
Preuve : En effet :
a
b
()
2 5 2 5
2 5 10
(2 5)
q p q p
p q p q
pq
a a a
D
Exemples : Parmi les nombres rationnels suivants, déterminer ceux qui sont des nombres
décimaux:
10 16 77 54 7 16 21
; ; ; ; ; ;
3 280 280 21 20 30 30
Dans un premier temps, il faut simplifier les fractions pour obtenir des fractions irréductibles.
On va décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers.
2
77
20 2 5
D
3
77 11 7 11
280 40 7 2 5
D
21 7 7
30 10 2 5
D
3) L’ensemble des nombres réels.
Définition : L’ensemble des nombres réels contient tous les nombres rationnels et tous les
nombres irrationnels.
Il se note .
Remarque : L’ensemble des nombres réels est l’ensemble des abscisses des points d’une
droite graduée ( sur laquelle est choisi un repère (O ;I) )
Remarques :_ 0 est le seul nombre qui est à la fois un nombre positif et un nombre négatif.
_ Le signe* prive l’ensemble du nombre 0 :
par exemple :
*
désigne tous les réels sauf 0.
: ensemble des nombres réels positifs.
: ensemble des nombres réels négatifs.
Propriété :
D
.
Comment construire un rationnel à la règle et au compas ?
Comment construire
p
,avec p un entier naturel, à la règle et au compas ?

Chapitre I - 4 - 2nde D4
Emilie Bouchez 2007/2008
II) Arithmétique
1) Divisibilité
Définition : L’entier naturel a est un diviseur de l’entier naturel b, s’il existe un entier naturel
c tel que :
b a c
On dit aussi que b est un multiple de a.
Exemple : 3 divise 6 car
6 3 2
Critère de divisibilité :
Un nombre est divisible :
_ par 2 si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6, 8
_ par 3 si la somme des chiffres est multiple de 3.
_ par 5 si le dernier chiffre est 0 ou 5.
_ par 10 si le dernier chiffre est 0.
_ par 9 si la somme des chiffres est multiple de 9.
2) Nombres premiers et décomposition d’un entier naturel.
Définition : un entier naturel p est premier, s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-
même.
Conséquences :
_ 1 n’est pas un nombre premier, car le seul diviseur de 1 est 1.
_ 0 n’est pas un nombre premier car il est divisible par tous les nombres entiers.
_ 2 est un nombre premier, car il admet 1 et 2 comme diviseurs, c’est le seul nombre premier pair.
Trouver les nombres premiers inférieurs à 100 :
On va utiliser le crible d’Eratosthène.
1) Faire un tableau de tous les nombres de 2 à 100.
2) Rayer tous les multiples de 2 (cad tous les pairs) autre que 2.
3) Sélectionner le nombre qui suit 2 et qui n’est pas rayé (ici c’est 3), et rayer tous ses multiples autre
que lui-même.
4) Réitérer l’opération précédente avec 5, etc.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Théorème (admis): Tout nombre entier naturel n (
2n
) admet au moins un diviseur premier.
Reconnaître si un nombre est un nombre premier :
Méthode : Pour savoir si un naturel est premier, il suffit d’examiner la divisibilité par les nombres premiers
successifs ; on s’arrête lorsque le quotient devient inférieur au diviseur.
Exemple : 359 est-il premier ? On effectue la division de 359 par 2,3,5,7,11,13,17 et 19. On remarque que dans
la division par 19, le quotient est inférieur à 19, donc il n’est pas nécessaire d’aller plus loin.

Chapitre I - 5 - 2nde D4
Emilie Bouchez 2007/2008
Théorème : Pour savoir si un entier naturel n est premier, on teste sa divisibilité par tous les nombres
premiers inférieurs dont le carré est inférieur à n.
Si aucun de ces nombres premiers ne divise n, alors n est premier, sinon n n’est pas premier.
Exemple : les nombres 737 et 1069 sont-ils premiers ?
737 27,14
Nombres premiers inférieurs à 27 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23
11 divise 737 : 737= 11 67
donc 737 n’est pas premier.
1069 32
Nombres premiers inférieurs à 31 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 et 31
Aucun de ces nombres ne divise 1069, donc 1069 est un nombre premier.
Théorème : Tout entier naturel n (
2n
) se décompose en produit de facteurs premiers.
Exemple : Décomposer 15 435 en produit de facteurs premiers.
On part de 15 435 et on effectue des divisions successives par des nombres premiers jusqu’à obtenir 1. On
utilise les règles de divisibilité et la liste des nombres premiers inférieurs à 100.
15 435 3
5 145 3
1715 5
343 7
49 7
7 7
1
donc
23
15435 3 5 7  
III) Approximation d’un nombre réel.
1) Ecriture scientifique d’un décimal.
Théorème : Tout nombre décimal non nul peut s’écrire sous l’unique forme
10 s'il est positif
10 s'il est négatif
p
p
a
a
où a est un nombre décimal vérifiant
1 10a
et
p
.
Cette écriture est appelée écriture scientifique.
Exemple : 834 000 = 8,34
5
10
donc 8,34
5
10
est l’écriture scientifique de 834 000.
Donner l’écriture scientifique de 0,00014 :
Ecrire 7,089
4
10
en écriture décimale :
2) Approximation décimale d’un réel .
De nombreux réels ne sont pas des décimaux, mais la calculatrice peut en donner une
valeur décimale approchée.
Exemple :
2
3
n’est pas un décimal, on obtient à la calculatrice : 0,666666667.