Les nombres

Chapitre I
2nde D4
-1-
Chapitre I : Les nombres
I)
Ensembles de nombres.
1) Les entiers.
Définition : L’ensemble des entiers naturels est formé de tous les nombres entiers positifs ou
nuls. Il est noté
={ 0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;……... ;999…. ;1290 ;….}
Définition : L’ensemble des entiers relatifs est formé de tous les entiers naturels et de leur
opposés. Il est noté
={ ….-1290 ;….. ;-999 ;…… ;-4 ;-3 ;-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;……... ;999…. ;1290 ;…}
Remarque 1 : un entier a et son opposé sont de signes contraires.
Remarque 2 :Ne pas confondre :
_ le symbole  , qui signifie « appartient à » . Il relie un élément et un ensemble.
Et
_ le symbole  , qui signifie « est inclus dans ». Il relie deux ensembles.
Exemples : -2  ;-2  et  (cad : tout élément de est élément de .)
2) Nombres rationnels- Nombres décimaux .
Définition : L’ensemble des nombres rationnels contient tous les nombres pouvant s’écrire
a
sous la forme où a et b sont deux entiers relatifs, b étant non nul.
b
Il se note .
11 5 1
; ; sont des nombres rationnels.
7 6 2
1
0,1
_
est aussi un rationnel car on peut l’écrire
7
0, 7
Exemples :_
_ Tout nombre entier n est un rationnel car on peut toujours l’écrire n 
d’où

n
1
Contre-exemples :  ; 2;cos(30) ne sont pas des nombres rationnels. On dit que ce sont des
nombres irrationnels.
Remarque :
un même nombre rationnel peut s’écrire sous forme fractionnaire d’une infinité de façons.
4 8 12 20 24

 ....
Par exemple :   
3 6 9 15 18
Propriété : Tout nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible
p
q
avec p et q deux entiers relatifs tels que pgcd(p,q)=1
Emilie Bouchez
2007/2008
Chapitre I
2nde D4
-2-
Théorème : Un nombre est rationnel si et seulement si son développement décimal est
périodique ( à partir d’un certain rang)
23
14
347
Exemple :
 3, 285714 285714...... ;
 4, 6 66666..... ;
 3,50505050...... ;
3
99
7
période
13
 1,18181818....
11
Notation : pour signifier que l’écriture décimale d’un nombre est périodique, on notera la
période avec une barre, ainsi :
4,66666….. sera noté 4, 6
3,285714285714…. Sera noté 3, 285714
A partir de l’écriture décimale périodique d’un nombre, comment retrouver son
écriture sous forme de fraction?
Application : retrouver l’écriture sous forme de fraction de x  0,373737... (soit
encore x  0,37 ) dont la période 37 a deux chiffres.
1)
a) Justifier que 100  x  37  x
b) Résoudre cette équation et en déduire la valeur exacte de x en fraction.
Quelle est alors la nature de x ?
2) En procédant de la même façon, démontrer que : 0,999999999999.......  1 ( 0, 9  1 )
3) a) Déterminer l’écriture fractionnaire du nombre :
x  0,123123123....(soit x  0,123)
b) En remarquant que 12, 09  12  0, 09 , déterminer l’écriture fractionnaire
de 12, 09 .
Parmi les nombres rationnels,on peut en distinguer des particuliers :
1
 0, 25
 Ici, le développement décimal s’arrête.
4
1
 0,33333333....  Ici, le développement décimal est illimité et possède une période 3.
3
Définition : L’ensemble des nombres décimaux contient tous les nombres pouvant s’écrire
a
sous la forme n , avec n un entier naturel et a un entier relatif.
10
Il se note D .
Remarque : tout entier est bien sûr un nombre décimal.
a  , 10n  donc D 
Exemple : 1,349 
Emilie Bouchez
1349 1349

1000 103
2007/2008
Chapitre I
2nde D4
-3-
Propriété : Soient a et b deux entiers relatifs (avec b non nul) tels que
a
soit irréductible
b
( cad pgcd(a ;b)=1)
Si b s’écrit sous la forme d’un produit 2 p  5q , avec p et q deux entiers naturels, alors le
a
nombre rationnel
est décimal.
b
a
a
a  2q  5 p a  2q  5 p
Preuve : En effet :

D
 p q 
b 2 5
10( p  q )
(2  5) p  q 
Exemples : Parmi les nombres rationnels suivants, déterminer ceux qui sont des nombres
10
16 77 54 7 16 21
;
; ; ; ;
décimaux:  ; 
3
280 280 21 20 30 30
Dans un premier temps, il faut simplifier les fractions pour obtenir des fractions irréductibles.
On va décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers.
7
7
77 11 7
11
21
7
7
D
D
 2

 3
D
  
20 2  5
280 40  7 2  5
30
10
25
3) L’ensemble des nombres réels.
Définition : L’ensemble des nombres réels contient tous les nombres rationnels et tous les
nombres irrationnels.
Il se note .
Remarque : L’ensemble des nombres réels est l’ensemble des abscisses des points d’une
droite graduée ( sur laquelle est choisi un repère (O ;I) )
Remarques :_ 0 est le seul nombre qui est à la fois un nombre positif et un nombre négatif.
_ Le signe* prive l’ensemble du nombre 0 :
par exemple : * désigne tous les réels sauf 0.

: ensemble des nombres réels positifs.

: ensemble des nombres réels négatifs.
Propriété :

D 

.
Comment construire un rationnel à la règle et au compas ?
Comment construire p ,avec p un entier naturel, à la règle et au compas ?
Emilie Bouchez
2007/2008
Chapitre I
2nde D4
-4-
II)
Arithmétique
1) Divisibilité
Définition : L’entier naturel a est un diviseur de l’entier naturel b, s’il existe un entier naturel
c tel que : b  a  c
On dit aussi que b est un multiple de a.
Exemple : 3 divise 6 car 6  3 2
Critère de divisibilité :
Un nombre est divisible :
_ par 2 si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6, 8
_ par 3 si la somme des chiffres est multiple de 3.
_ par 5 si le dernier chiffre est 0 ou 5.
_ par 10 si le dernier chiffre est 0.
_ par 9 si la somme des chiffres est multiple de 9.
2) Nombres premiers et décomposition d’un entier naturel.
Définition : un entier naturel p est premier, s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et luimême.
Conséquences :
_ 1 n’est pas un nombre premier, car le seul diviseur de 1 est 1.
_ 0 n’est pas un nombre premier car il est divisible par tous les nombres entiers.
_ 2 est un nombre premier, car il admet 1 et 2 comme diviseurs, c’est le seul nombre premier pair.
Trouver les nombres premiers inférieurs à 100 :
On va utiliser le crible d’Eratosthène.
1) Faire un tableau de tous les nombres de 2 à 100.
2) Rayer tous les multiples de 2 (cad tous les pairs) autre que 2.
3) Sélectionner le nombre qui suit 2 et qui n’est pas rayé (ici c’est 3), et rayer tous ses multiples autre
que lui-même.
4) Réitérer l’opération précédente avec 5, etc.
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Théorème (admis): Tout nombre entier naturel n ( n  2 ) admet au moins un diviseur premier.
Reconnaître si un nombre est un nombre premier :
Méthode : Pour savoir si un naturel est premier, il suffit d’examiner la divisibilité par les nombres premiers
successifs ; on s’arrête lorsque le quotient devient inférieur au diviseur.
Exemple : 359 est-il premier ? On effectue la division de 359 par 2,3,5,7,11,13,17 et 19. On remarque que dans
la division par 19, le quotient est inférieur à 19, donc il n’est pas nécessaire d’aller plus loin.
Emilie Bouchez
2007/2008
Chapitre I
2nde D4
-5-
Théorème :
Pour savoir si un entier naturel n est premier, on teste sa divisibilité par tous les nombres
premiers inférieurs dont le carré est inférieur à n.
Si aucun de ces nombres premiers ne divise n, alors n est premier, sinon n n’est pas premier.
Exemple : les nombres 737 et 1069 sont-ils premiers ?
737
27,14
Nombres premiers inférieurs à 27 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23
11 divise 737 : 737= 11  67
donc 737 n’est pas premier.
1069
32
Nombres premiers inférieurs à 31 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 et 31
Aucun de ces nombres ne divise 1069, donc 1069 est un nombre premier.
Tout entier naturel n ( n  2 ) se décompose en produit de facteurs premiers.
Théorème :
Exemple : Décomposer 15 435 en produit de facteurs premiers.
On part de 15 435 et on effectue des divisions successives par des nombres premiers jusqu’à obtenir 1. On
utilise les règles de divisibilité et la liste des nombres premiers inférieurs à 100.
15 435 3
5 145 3
1715 5
343 7
49 7
7 7
1
donc 15435  3  5  7
2
3
Approximation d’un nombre réel.
III)
1) Ecriture scientifique d’un décimal.
Théorème : Tout nombre décimal non nul peut s’écrire sous l’unique forme
a  10 p s'il est positif
où a est un nombre décimal vérifiant 1  a  10 et p  .

p
 a  10 s'il est négatif
Cette écriture est appelée écriture scientifique.
Exemple : 834 000 = 8,34  10 donc 8,34  10 est l’écriture scientifique de 834 000.
5
5
Donner l’écriture scientifique de 0,00014 :
4
Ecrire 7,089  10 en écriture décimale :
2) Approximation décimale d’un réel .
De nombreux réels ne sont pas des décimaux, mais la calculatrice peut en donner une
valeur décimale approchée.
2
Exemple :
n’est pas un décimal, on obtient à la calculatrice : 0,666666667.
3
Emilie Bouchez
2007/2008
Chapitre I
2nde D4
-6-
_ Si l’on garde 3 chiffres après la virgule, soit 0,666 , ce nombre décimal est la troncature de
2
à la 3ème
3
décimale.
_ L’arrondi de
2
à la 3ème décimale est 0,667 : La troisième décimale 6 a été remplacée par 7, car la quatrième
3
décimale est supérieure à 5.
Définition : Soit x un nombre réel positif et p un entier naturel.
L’approximation décimale, à 10  p près, de x (respectivement de -x) est le nombre obtenu :
_ par défaut (respectivement par excès) : en prenant les p premières décimales de son
écriture décimale ;
_ par excès ( respectivement par défaut) : en ajoutant 1 à la p-ième décimale de la valeur
approchée précèdente.
Reprenons l’exemple précèdent :
2
3
à 10 (= 0,001) près ;
3
2
3
0,667 est une valeur approchée par excès de à 10 près.
3
2
On a l’encadrement : 0, 666   0, 667 .
3
0,666 est une valeur approchée par défaut de
Donner l’approximation décimale de
4
x
Approximation décimale à 10 près
Par défaut
Par excès
2
 2

2,  2,  par défaut et par excès à 104 près :
1,4142
-1,4143
3,1415
Situation sur la droite graduée
1,4143
-1,4142
3,1416
Déterminer un ordre de grandeur
Méthode pour obtenir un ordre de grandeur d’un décimal d :
On l’écrit en écriture scientifique d '10a , où d’est un décimal compris entre 1 et 10 exclu,
Puis on arrondit le décimal d’à l’entier le plus proche
Et on conserve la puissance de 10.
Exemple : D  43,85  0, 0925  0, 00175
43,85  4,385 10  4 10
0,0925  9, 25 102  9 102
0,00175  1,75 103  2 103 .
D’où D  4  9  2 10123  72 104  7, 2 103
Ainsi D est de l’ordre de 7 millièmes.
Emilie Bouchez
2007/2008