PROBABILITÉ

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Probabilité
Introduction
Il y a deux sortes d’aléatoires, le premier est lié au hasard, lorsqu’on tire à pile ou face
une pièce ordinaire le résultat est aléatoire, il est aussi bien pile que face. Nous avons
dans ce cas une connaissance intuitive de la loi d’incertitude qui gouverne le résultat
obtenu.
L’autre type d’aléatoire émerge lorsque la loi elle-même est inconnue. Imaginez que la
pièce lancée serait un peu tordue, il sera alors peu vraisemblable qu’il y ait autant de
chances d’obtenir pile que face. Nous ne jouons pas à quelle loi correspond l’état de la
nature.
Pour connaître l’état de la nature, le statisticien pourrait lancer la pièce plusieurs fois et
noter les résultats obtenus pour estimer l’état de la nature.
Que signifie « lancer plusieurs fois »?. Pour l’instant il suffit de savoir que la réponse
dépendra de :
1) le coût de chaque lancer de pièce
2) le coût associé à une mauvaise décision
Par exemple, s’il en coûte 25¢ par lancer, on peut être porté à prendre peu
d’observations par rapport à une situation où il en coûterait 1¢.
D’autre part si un jeu prévoit un gain de 2 000 $ si la pièce tombe face contre une perte
de 1 000 $ si la pièce tombe pile, il sera payant de tirer un plus grand nombre
d’observations de façon à avoir une meilleure estimation de l’état de la matrice et
permettre de prendre la bonne décision que si le jeu prévoit un gain de 2 $ contre une
perte de 1 $.

2
Probabilité et variable aléatoire
Supposons qu’on lance deux dés, un dé rouge et un dé vert et qu’on s’intéresse à la
somme des deux faces supérieures des dés, on observe que le nombre 7 apparaît
comme somme environ 30% des lancers.
Si on porte attention au geste de lancer les dés, on peut le considérer comme la
réalisation d’une expérience dont le résultat n’est pas connu à l’avance. Associé à ce
résultat il y a un nombre X, soit la somme des faces supérieures qui est déterminée par
le résultat de l’expérience et est appelée une « variable aléatoire ».
Puisque la fréquence à laquelle X est égale à 7 semble se produire environ 30% des
lancers, nous sommes tentés de prétendre que la probabilité que X égale sept est 0,3.
Si la proportion des lancers où X est égale à sept tend à se rapprocher près de 0,3
lorsque l’expérience est répétée plusieurs fois dans les mêmes conditions nous dirons
alors que la probabilité que X égale 7 est 0,3 et noterons :
3,07 XP
.
Les manufacturiers de dés font de grands efforts pour obtenir des dés bien balancés.
Un dé bien balancé doit présenter chaque face aussi souvent qu’une autre. Si on décrit
le résultat d’un lancer de deux dés par deux nombres, où le premier correspond au dé
vert et le second dé rouge, tous les résultats suivants :
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
devraient s’observés aussi souvent l’un que l’autre. De ces 36 résultats possibles les 6
suivants : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) produisent une somme de 7.

3
Conséquemment si les dés sont bien balancés, on devrait s’attendre à ce de X = 7
environ 6/36 = 1/6 des lancers soit 16,67% au lieu de 30%.
Par la suite lorsque nous parlerons d’un dé bien balancé (ou honnête), nous
postulerons que chaque face a une probabilité 1/6 d’apparaître.
Imaginons maintenant une surface circulaire dont la circonférence a été graduée de 0 à
1 à espaces réguliers de telle façon que 0,5 est à l’opposé du 0 sur le « cadran ».
Une longue tige (pointeur) est fixée au centre du dispositif et lorsque lancée peut
tourner librement plusieurs tours avant de s’arrêter.
Si on traite la rotation du pointeur comme une expérience, une variable d’intérêt est la
valeur X du nombre indiqué par le pointeur lorsqu’il a cessé de tourner. Maintenant si
on reçoit un ourson en peluche à chaque fois que X s’arrête entre 0.4 et 0.6, soit :
6.04.0  X
il y a un intérêt à savoir à quelle fréquence X satisfera cette condition. En
fait pour un mécanisme bien balancé
20.06.04.0  XP
puisque la probabilité est
proportionnelle à la longueur de l’intervalle. Comme l’exemple précédent nous
pourrions faire tourner le pointeur un grand nombre de fois et noter les résultats
obtenus ! Puisque toutes les valeurs de X sur l’intervalle
1,0
sont possibles on parlera
d’une distribution continue, la valeur 0,23339 est aussi plausible que la valeur
0,8881122.
.4
.6
.5
.3
.2
.1
0
.9
.8
.7

4
Distributions
Dans l’exemple précédent nous étions intéressés à savoir si X vérifie une condition ou
non, soit X = 7. Si on utilise les dés d’autre façon on peut être intéressé aux autres
possibilités ex. X = 2, X = 3, etc.
On s’intéressera alors à la distribution de Probabilité de la variable aléatoire.
La distribution de probabilité d’une variable aléatoire X est la règle qui assigne une
probabilité à chaque définition de X pour illustration prenons X = « le nombre de faces
obtenues lors du lancer de deux pièces de monnaies idéales ». Les résultats possibles
de l’expérience peuvent être notés (F, F), (F, P), (P, F), (P, P) de ces résultats possibles
des valeurs correspondantes de X sont 2, 1, 1, 0 respectivement. Ainsi nous avons
12ou1,0
4/31ou0
2/12ou0
4/32ou1
4/10
2/11
4/12
XP
XP
XP
XP
XP
XP
XP
Dans cette expérience il n’y a pas d’autre façon de définir X, les valeurs ci-dessus
représentent la distribution de probabilité de X.
Pour l’exemple des dés « honnêtes » nous donnons quelques probabilités qui
caractérisent la distribution de probabilité X :
8/3611ou7XP
36/412ou3,2
36/112
36/23
36/12
XP
XP
XP
XP

5
Pour l’exemple du pointeur idéal quelques-unes des probabilités qui caractérisent la
distribution de probabilité de X seraient :
02.0
0001.019999.0
02.032.030.0
04.042.040.0ou32.030.0
2.06.04.0
XP
XP
XP
XXP
XP
Dans cet exemple, il est clairement impossible de donner la liste des conditions qui
peuvent être imposées à X et les probabilités correspondantes, par contre la façon de
les obtenir et la méthode à appliquer pour obtenir d’autres conditions sont claires.
Une façon importante de résumer l’information de la distribution de probabilité est la
« fonction de distribution cumulée ».
La fonction de distribution cumulée F donne la probabilité pour des conditions de la
forme :
aX 
.
Pour l’exemple des pièces de monnaie
12
4/31
4/10
XP
XP
XP
en détail
aaXP
aaXP
aaXP
aaXP
2pour1
21pour4/3
10pour4/1
0pour0