Modèle mathématique.
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Relation trigonomètrique dans le triangle quelconque 1) Théorème des sinus. a) Découverte du théorème. Construire un triangle ABC tel que AB = 4,5 cm et AC = 5,5 cm. A 4,5 72 ° 5,5 C B 5,9 Tracer la hauteur [AH]. Utiliser les relations trigonométriques, dans le triangle ABH, rectangle en H, pour exprimer sin B̂ : sin B = AH AB En déduire une expression de AH en fonction de sin B̂ et ABError! Utiliser les relations trigonométriques, dans le triangle ACH, rectangle en H, pour exprimer sin Ĉ sin C = AH AC En déduire une expression de AH en fonction de sin Ĉ et AC Error! En déduire la relation suivante : AB AC = ˆ sin Bˆ sin C AB AC D’après formules précédentes : AB sin B = AC sin C soit sin C sin C Mesurer sur la figure, les angles  , B̂ et Ĉ et compléter le tableau suivant : B̂ = 62 °  =72 ° Valeur exacte Valeur arrondie à 10-1 près Ĉ = 46 ° AB sin Cˆ BC sin Aˆ AC sin Bˆ 4,5 sin 46° 5,9 sin 72° 5,5 sin 62° 6,2 6,2 6,2 Conclure. Les résultats sont quasiment identiques, on peut donc conclure que les longueurs de côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés. Tracer le cercle circonscrit au triangle. Mesurer son diamètre. En déduire son rayon. On mesure = 6,2 cm soit R = Error! 3,1 AB BC AC En déduire une égalité entre la relation suivante = = et le rayon R. sin Cˆ sin Aˆ sin Bˆ AB AC BC = 2R sin C sin B sin A b) Définition. Dans tout triangle, les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés. a sinA b sin B c sinC c) Dans quelle situation utiliser le théorème des sinus. Calculer la longueur d’un côté lorsque l’on connaît la mesure de deux angles et la longueur d’un côté. Calculer la mesure d’un angle lorsque l’on connaît la longueur de deux côtés et la mesure d’un angle non compris entre ces deux côtés. d) Applications. Calculer les longueurs du côté [AB] d’un triangle ABC tel que : Résolution BC = 10 ;  = 70° ; Ĉ = 50° FIGURE a) BC =8 ; B̂ = 50°; Ĉ = 100° FIGURE b) Calculer la mesure de l’angle  d’un triangle ABC tel que : AB = 8 ; BC = 10 ; Ĉ = 40° FIGURE a) AB = 15 ; BC = 20 ; Ĉ = 40° FIGURE b) 2) Théorème des cosinus ou théorème de Carnot. a) Découverte du théorème. premier cas : Triangle quelconque dont tous les angles sont aigus. Soit le triangle quelconque ABC. Travail dans le triangle rectangle ABH. Ecrire la relation de Pythagore pour le triangle rectangle ABH. ...............................................................………………………………….. Exprimer BH en fonction de BC et HC. …………………………………………………………………………….. Donner alors l’expression de AB². ...........................................................................................................……………………………… .…………………………………………………………………………………………. (1) Travail dans le triangle rectangle ACH. Ecrire la relation de Pythagore pour le triangle rectangle ACH. ………………………………………………………………………….. Exprimer AH en fonction de AC et CH. …………………………………………………………………………… Remplacer l’expression de AH² dans la relation (1). …………………………………………………………………………… .....................................................................................………………….. Exprimer CH en fonction de AC et de l’angle Ĉ . ……………………………………………………………………………. En déduire l’expression de AB² en fonction de AC, BC et Ĉ . ………………………………………………………………………………. deuxième cas : Triangle quelconque dont l’un des angles est obtus. Exprimer BH en fonction de HC et BC. ………………………………………………………………………. Exprimer AB² dans le triangle rectangle AHB. .........................................................................................…………….. Exprimer AB² en fonction de AC, BC et HC. ....…………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………... Exprimer CH en fonction de AC et de l’angle Ĉ . ……………………………………………………………………….. En déduire l’expression de AB² en fonction de AC, BC et Ĉ . ……………………………………………………………………… Obtient-on le même résultat que dans le premier cas ? ……………………………………………………………………………………………………………….. b) Définition. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ………………………………………………. ……………………………………………….. c) Dans quelle situation utiliser le théorème des sinus. Calculer la longueur d’un côté lorsque l’on connaît la mesure d’un angle et les longueurs de deux côtés. Calculer la mesure d’un angle lorsque l’on connaît la longueur des trois côtés. d) Applications. Calculer la mesure de l’angle B̂ du triangle ABC tel que : Résolution AB = 8; AC = 7; BC = 6 FIGURE a) FIGURE b) AB = 3; AC = 5; BC = 4 Calculer la mesure de la longueur du côté [AB] du triangle ABC tel que : AC = 15 ; BC = 19 ; Ĉ = 115° FIGURE a) AC = 10 ; BC = 20 ; Ĉ = 60° FIGURE b) 3) Aire d’un triangle. a) Définition. L’aire d’un triangle ABC est égale à : 1 1 1 S .b.c. sin Aˆ .a.c. sin Bˆ .a.b. sin Cˆ 2 2 2 b) Exemple. Calculer l’aire du triangle ABC tel que : AB = 10 cm ; …………………………………….……….. ……………………..……………….……… ………………...…………………….…….. ……………..……………………………… ………….…………………………………. …………………………………….……….. AC = 5 cm ;  = 60° 4) Activités d’examen. a) Calculer les angles d’un triangle ABC tel que : BC = 8 cm ; AC = 4 cm ; AB = 6 cm za b) On considère le diagramme ou dynamique des forces appliquées à un solide en équilibre : F1 = 100 N ; F2 = 70 N ; F3 = 50 N Calculer la mesure ( à 1° près ) de chaque angle de ce triangle. c) Calculer l’intensité des forces F 1 et F2 . d) Déterminer les mesures m et n des côtés LN et LM du triangle LMN ci-contre pour MN = 15 cm. N = 45° ; M = 105°. e) On rappelle que la condition d’équilibre du point A s’écrit : P F1 F2 0 Tracer le polygone, ou dynamique des forces. En déduire le sens et l’intensité des forces F 1 et F2 .
