Chapitre G1 - TRIANGLE RECTANGLE ET THEOREME DE

Chapitre G1 - TRIANGLE RECTANGLE ET THEOREME DE PYTHAGORE
 Le théorème de Pythagore
Théorème
Si un triangle est rectangle
Alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs
des deux autres côtés.
BC² = AB² + AC²
 Ce théorème permet, sachant qu’un triangle est rectangle, de calculer la longueur d’un côté du
triangle connaissant la longueur des deux autres côtés.
1er exemple (calcul de la longueur de l’hypoténuse)
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm.
Calculez la longueur BC.
Le triangle ABC est rectangle en A
donc, d’après le théorème de Pythagore, on peut écrire :
BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25
BC = 5
Donc la longueur BC vaut 5 cm
2ème exemple (calcul de la longueur de l’hypoténuse)
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 7 cm.
Calculez la longueur BC.
Le triangle ABC est rectangle en A
donc, d’après le théorème de Pythagore, on peut écrire :
BC² = AB² + AC²
BC² = 6² + 7²
BC² = 36 + 49
BC² = 85
BC =
85
 valeur exacte
BC  9,2  valeur arrondie à 10-1 près
Donc la longueur BC vaut 9,2 cm
3ème exemple (calcul de la longueur d’un des deux autres côtés)
Soit DEF un triangle rectangle en E tel que DE = 5 cm et DF = 8 cm.
Calculez la longueur EF.
Le triangle DEF est rectangle en E
donc, d’après le théorème de Pythagore, on peut écrire :
13 169
x²

DF² = DE² + EF²
8² = 5² + EF²
64 = 25 + EF²
EF² = 64 – 25
EF² = 39
EF =
39
 valeur exacte
EF  6,2  valeur arrondie à 0,1 près
Donc la longueur EF vaut 6,2 cm
 La réciproque du théorème de Pythagore
Théorème
Dans un triangle,
Si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs
des deux autres côtés
Alors le triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce plus grand côté.
BC² = AB² + AC²
 Ce théorème permet, connaissant les longueurs des trois côtés d’un triangle, de prouver que ce
triangle est rectangle.
1er exemple Soit MNP un triangle tel que MN = 3,3 cm, MP = 4,4 cm et NP = 5,5 cm
Le MNP triangle est-il rectangle ?
Dans le triangle MNP :
NP² = 5,5² = 30,25
MN² + MP² = 3,3² + 4,4² = 10,89 + 19,36 = 30,25
Donc NP² = MN² + MP²
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore,
le triangle MNP est rectangle en M.
2ème exemple Soit RST un triangle tel que RS = 7 cm, RT = 9,2 cm et ST = 6 cm
Le RST triangle est-il rectangle ?
Dans le triangle RST,
RT² = 9,2² = 84,64
RS² + ST² = 6² + 7² = 36 + 49 = 85
Donc RT²  RS² + ST²
Or, si le triangle avait été rectangle, on aurait eu RT² = RS² + ST²
Donc, d’après le théorème de Pythagore, le triangle RST n’est pas rectangle.

Démonstration du théorème de Pythagore
On considère le triangle rectangle suivant :
1ère Partie
1) On a construit un carré ABCD de côté de longueur a + b
Compléter la figure ci-contre à l’aide des longueurs a, b et c
2) Justifier que le quadrilatère MNOP est un losange.
3) a) Prouver que les angles
PMA ˆ
et
MPA ˆ
sont
complémentaires.
b) Démontrer que
 90
ˆˆ NMBPMA
.
c) En déduire que le losange MNOP est un carré.
2ème Partie
1) On a construit un carré EFGH de côté de longueur a + b
Compléter la figure ci-contre à l’aide des longueurs a, b et c
2) Quelle est la nature des quadrilatères RUTF et HVUS ?
3) Justifier que l’aire du carré MNOP est égale à la somme
des aires des quadrilatères RUTF et HVUS.
4) En déduire une égalité en utilisant les données a, b et c.
1ère Partie
2) MNOP est un quadrilatère qui possède 4 côtés de même longueur donc c’est un losange.
3) a) Le triangle AMP est rectangle en A donc
 90
ˆˆ MPAPMA
donc les angles
PMA ˆ
et
MPA ˆ
sont complémentaires.
b)
NMBMPA ˆˆ 
(les triangles APM et BMN sont identiques) donc
 90
ˆˆ NMBPMA
c) La somme des mesures des angles d’un triangles est égale à 180° donc :
 180
ˆˆˆ NMBNMPPMA
 90180
ˆNMP
 180
ˆˆˆ NMBPMANMP
 90
ˆNMP
 18090
ˆNMP
Donc le losange MNOP possède un angle droit : c’est un carré.
2ème Partie
2) RUTF et HVUS sont des quadrilatères qui possèdent 4 angles droits et 4 côtés de même longueur
donc ce sont des carrés.
3) Les carrés ABCD et EFGH ont les mêmes dimensions et on retrouve dans ces deux carrés 4 triangles
rectangles identiques donc le carré MNOP a la même aire que les carrés RUTF et HVUS réunis.
donc on a bien : Aire (MNOP) = Aire (RUTF) + Aire (HVUS)
4)
Aire (MNOP) = c²
donc c² = a² + b²
Aire (RUTF) = a²
Aire (HVUS) = b²