Calcul vectoriel

Mécanique modélisation des AM cours
1ère S option S.I Bases du calcul vectoriel & modèle page 1/8
Gallienne.B
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Mécanique : (Petit Larousse)
- Science qui à pour objet l’étude des forces et de leurs actions
La mécanique branche de la physique qui étudie le mouvement des corps et les forces auxquelles ils
sont soumis. La mécanique couvre plusieurs domaines d’études : la statique, la cinématique et la
dynamique. Ainsi la mécanique exige des définitions précises de grandeurs telles que la quantité de
mouvement, le temps, la vitesse, l’énergie, l’accélération, la masse ou la force.
Présentation :
Pour résoudre un problème de mécanique, nous avons besoin d’étudier un grand nombre de données (voir
paragraphe ci-dessus) le plus souvent représentées par des vecteurs.
Voici quelques exemples :
1- Etude de l’action d’une voiture sur la route :
2- Etude des actions mécaniques sur un concorde lors de la phase de décollage :
Avant de résoudre un problème de mécanique nous allons faire un petit rappel sur
les vecteurs et sur les différentes opérations mathématiques associées.
Vecteur poids
Vecteur réaction de la route
sur la roue avant
Vecteur réaction de la route
sur la roue arrière
Chaîne d’énergie
ACTION
ALIMENTER
DISTRIBUER
CONVERTIR
TRANSMETTRE
Energies
d’entrée

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I. Calcul vectoriel
1. Les vecteurs
1.1. Définition
Un vecteur est défini par :
- une direction droite
- une origine point A
- son sens de A vers B
- sa norme (ou intensité)
AB
=d(A,B)
1.2. Coordonnées
Soit
V
un vecteur de composantes Vx, Vy et Vz dans un repère (o,x,y,z).
On peut écrire le vecteur sous la forme :
Norme :
V
= = un scalaire
1.3. Calcul à partir des coordonnées de deux points
Soient A et B deux points tels que :
A
A
A
Z
Y
X
A
et
B
B
B
Z
Y
X
B
, alors
AB
AB
AB
Z-Z
Y-Y
X-X
AB
Support du vecteur
(droite)
A
B
O
Y
X
Z
V
z
V
x
V
y
V

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1.4. Relation fondamentale
- Relation de Chasles :
ACBCAB 
-
BAAB 
1.5. Projection d’un vecteur dans un plan
Les coordonnées du vecteur
V
s’écrivent :
V
1.6. Opérations sur les vecteurs
Somme : soient
CBA 
,,
trois vecteurs libres. Les lignes d’actions de ces vecteurs ne sont pas
forcement dans le même plan.
Par définition, la somme des trois vecteurs est le vecteur
R
appelé vecteur résultant et s’écrit :
O
Y
Z
V
z
V
y
V
Lignes d’action
A
B
C
A
B
C
R
y
V
O
Y
x
V
x
V

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1.7. Le vecteur nul
un vecteur de norme (ou module) nul est dit vecteur nul.
Reprenons l’exemple du 1.6. L’équation peut s’écrire :
RCBA 
 0
(origine et extrémité confondues)
2. Produit scalaire
Remarque :
- le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire
- si =k./2 où k est un nombre impair, alors le produit scalaire est nul
X1 X2
Soient :
1
V
Y1 et
2
V
Y2 alors …………………………………………
Z1 Z2
Exemple :
1
V
=(3 ;5 ;6)
2
V
=(0 ;1 ;2)
Le produit scalaire ça sert à quoi ?
• Pour démontrer par le calcul, un repère orthonormé étant choisi, une orthogonalité.
• Pour déterminer un angle géométrique, avec le calcul de son cosinus, dès lors que l'on
sait calculer le produit scalaire dans un repère.
A
B
C
R

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3. Produit vectoriel
Notation :
21 FF  
WFF   21
W
est défini par :
- sa direction, perpendiculaire au plan formé par
21 FetF
;
- son sens, tel que le trièdre soit direct ;
- sa norme, ||
W
|| = ||
1
V
||.||
2
V
||.sin(
1
V
,
2
V
).
Y1.Z2 – Z1.Y2
W
= Z1.X2 – X1.Z2
X1.Y2 – Y1.X2
Remarque : On effectue le « produit en croix ».
X1
Y1
Z1
^
X2
Y2
Z2
Y1.Z2 – Z1.Y2
(X1)
(X2)
V1^V2 =
Exemples :
6 2
1
V
-2
2
V
1
3 -2
2 -5
1
V
-3
2
V
6
4 7
Attention !
A
B
Attention angle orienté
C
A
B
Attention angle orienté
C
BAC 
ABC 
W
1
F
2
F
x
y
z
O