Etablissement de l'équation de Schrödinger Etablissement de l'équation de Schrödinger Grégoire Henning iℏ ∂ ℏ2 =− V ∂t 2m 1/3 Etablissement de l'équation de Schrödinger Prélude Une des équations les plus fondamentale de la physique moderne est sans doute l'équation de Schrödinger, à la base de la mécanique quantique. Nous allons voir ici comment l'établir par analogie avec une équation d'onde, pour un problème à une dimension. Etablissement de l'équation Système étudié Nous étudions une particule de masse m se déplaçant sur un axe V dérivant du potentiel V x . =− grad Ox et soumise à une force F Notations Nous conviendrons de noter la quantité de mouvement de la particule p=m v et on notera p=∣p∣=m v . Quelques propriétés Ce système possède déjà quelques propriétés qui nous serons utiles pour établir l'équation de Schrödinger ; notamment la conservation de l'énergie : on p2 établit très simplement que E= V x=cste . 2m Nous allons aussi nous appuyer sur deux relations quantiques : E=ℏ qui donne l'énergie d'un photon à la pulsation et p=ℏ k qui donne l'impulsion p (une quantité analogue à la quantité de mouvement) d'un photon de vecteur d'onde k . 2/3 Etablissement de l'équation de Schrödinger Méthode Nous allons utiliser ces relations quantiques et les généralisés à une particule en considérant qu'elle peut être décrite par une onde (c'est la grande idée du monde quantique). Cette onde sera caractérisée par une fonction d'onde x , t éventuellement complexe et dont le module au carré caractérisera la probabilité de présence de la particule en un point. Par analogie avec toutes les ondes étudiées en physique, nous poserons : x , t =0 e j k.x−. t . Dérivées Calculons alors quelques dérivées de 2 ∂ =−k 2 2 ∂x : ∂ =− j. ∂t et Or, d'après les deux relations quantiques que nous avons rappelés, cela équivaut aux égalité suivantes : ∂2 − p 2 = 2 2 ∂x ℏ et ∂ E =− j. ∂t ℏ Equation de Schrödinger En multipliant la formule E= p2 V 2m par nous obtenons : p2 V , soit encore grâce aux relations sur les dérivées : 2m ∂ ℏ 2 ∂2 jℏ =− V qui est la célèbre équation de Schrödinger pour les ∂t 2 m ∂ x2 conditions du problème. E = Conclusion Si la mise en place mathématiques de cette équation ne pose aucun problème, c'est la méthode et les postulat utilisés qui sont fort éloignés du bon sens (décrire une particule par une fonction d'onde n'est pas très intuitif). Et pourtant, cette équation n'a pas encore était mise en défaut malgrès de très nombreuse mises à l'épreuve... 3/3