Chapitre 1 Mécanique Quantique ondulatoire 1.1 Dualité ondes-corpuscules Relation de de Broglie (1923) association particules - ondes de matieres p~ = h̄~k avec ~k le vecteur d'onde. → ~k = 2π λ donc p = h̄k = →λ= 2πh̄ λ = h λ h p Avec la relation d'Einstein E = hν = h̄ω sachant que h̄ = h 2π (cste de Planck réduite) ou p est la quantité de mouvement (impulsion) avec T = 2π ω = 1 ν Cette association ondes-corpuscules est vériée par l'experience des Fentes de Young (1927) : Les électrons sont envoyés un par un Les impacts sont ponctuels (corpusculaire) Les impacts sont aléatoires bien que l'on ai les mêmes conditions initiales Reconstitution d'une gure d'interférence (ondulatoire) Loi de probabilité du type intensité lumineuse P (z) ∝ I ∝ |A|2 La mesure perturbe le système → on obtient une gure de diraction Abandon de la notion de trajectoire 1 1.2 Equation de Schrödinger (1926) Equation de la mécanique quantique ondulatoire : Ondulatoire I = |A|2 probabiliste A = amplitude de probabilité équation d'onde : ∂Ψ −h̄2 ∆Ψ(~r, t) + V (~r, t)Ψ(~r, t) = ih̄ (~r, t) 2m ∂t 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∆ = Laplacien = ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 V (~r, t) = potentiel (énergie) Ψ(~r, t) = fonction d'onde complexe Sens physique dP (~r, t) = |Ψ(~r, t)|2 d3 r → probabilité de présence de particule dans le volume élémentaire d3 r autour de ~r a l'instant t. Donc Ψ(~r, t) = amplitude de probabilité 7→ caracterise l'état quantique de la particule L'équation de Scrödinger : c'est un postulat, mais jamais remis en cause. Elle ne marche que pour les particules non relativistes. régit l'évolution de l'état quantique dans le temps (dérivée première en t). équation linéaire On peut appliquer le principe de superposition. Donc si Ψ1 et Ψ2 sont solutions de l'équation de Schrödinger, alors αΨ1 + βΨ2 sera aussi solution de l'équation de Schrödinger. → C'est le phénomène d'interference. I = |A1 + A2 |2 6= |A1 |2 + |A2 |2 La distribution suit la loi de probabilité |Ψ(~r, t)|2 Ensemble de N particules (N >> 1) toutes préparées dans le même état quantique. Alors Z +∞ < x >= x|Ψ(x, t)|2 dx −∞ √ ∆x = < x2 > − < x >2 permet de décrire un objet ponctuel si la précision des mesures δx > ∆x Ψ(~r, t) déni à une phase près. Ψ(~r, t) et eiθ Ψ(~r, t) dénissent le même état quantique car ils ont le même module au carré. cas particulier des potentiels indépendants du temps : V (~r) 2 On peut montrer que les solutions de l'ES sont de la forme Ψ(~r, t) = ϕ(~r)e− iEt h̄ avec ϕ solution de l'ES indépendante du temps : −h̄2 ∆ϕ(~r) + V (~r)ϕ(~r) = Eϕ(~r) 2m avec E = énergie de la particule dans l'état Ψ(~r, t) → |Ψ(~r, t)| = |ϕ(~r)| indépendant de t. On est alors dans le cas d'états stationnaires. cas particulier des potentiels 1D V (x) rappels : ϕ est continue partout. ϕ0 continue partout sauf aux discontinuités innies de V. ϕ = 0 si V = ∞ E < V (x)∀x → solutions ϕ pas physiquement acceptables. normalisation : Z +∞ |ϕ(x)|2 dx = 1 2 2 −∞ ϕ ne doit pas diverger a l'inni. si V (x) est pair, on peut chercher les solutions parmis les solutions paires et impaires. → quantications des énergies pour des états liés tels que ϕ = 0 à l'inni. 3