TS DM3(2016-2017)

TS DEVOIR MAISON no3pour le 3 novembre 2016
Exercice 1
Une maladie atteint 10 % d’une population. Un test de dépistage vise à détecter si un individu est malade.
Ce test devrait être positif si l’individu est malade, négatif sinon. Mais il est imparfait :
rla probabilité qu’un test soit positif sachant que l’individu est sain est 0,008
rla probabilité qu’un test soit négatif sachant que l’individu est malade est 0,02
On choisit un individu au hasard dans la population. On note :
M l’événement « l’individu est atteint de la maladie »et T l’événement « le test est positif »
On appelle valeur diagnostique d’un test la probabilité qu’un individu dont le test est positif soit malade, c’est à dire
pT(M).
On appelle fiabilité d’un test la probabilité p(M ∩T) + p(M∩T)
A Etude du test
1. Valeur diagnostique
a. Compléter l’arbre de probabilité
M
T
T
M
T
T
b. Calculer la valeur diagnostique du test
2. Fiabilité du test
Une erreur de test survient :
rsoit lorsque l’individu est sain et le test est positif (cas d’un « faux positif »)
rsoit lorsque l’individu est malade et le test est négatif (cas d’un « faux négatif »)
a. Compléter le tableau de probabilités suivant :
M
M
TT
b. Quelle est la probabilité qu’un individu sur lequel on a pratiqué le test soit un « faux positif »? Un « faux néga-
tif » ?
c. Calculer les probabilités d’une erreur de test et en déduire la fiabilité du test.
B Influence de la proportion de malades
On se place dans le cas où la proportion de malades dans la population est xavec 0 < x < 1.
1. Sur la valeur diagnostique
a. Exprimer la valeur diagnostique notée d(x) en fonction de xpuis étudier ses variations sur ]0 ; 1[.
b. A partir de quelle valeur de xla valeur diagnostique dépasse-t-elle 0,9 ?
2. Sur la fiabilité du test
a. Exprimer la fiabilité du test notée f(x) en fonction de x.
b. Pour quelles valeurs de xcette fiabilité dépasse-t-elle 0,99 ?