TS DM3(2016-2017)

DEVOIR MAISON no 3
TS
pour le 3 novembre 2016
Exercice 1
Une maladie atteint 10 % d’une population. Un test de dépistage vise à détecter si un individu est malade.
Ce test devrait être positif si l’individu est malade, négatif sinon. Mais il est imparfait :
r la probabilité qu’un test soit positif sachant que l’individu est sain est 0,008
r la probabilité qu’un test soit négatif sachant que l’individu est malade est 0,02
On choisit un individu au hasard dans la population. On note :
M l’événement « l’individu est atteint de la maladie »et T l’événement « le test est positif »
On appelle valeur diagnostique d’un test la probabilité qu’un individu dont le test est positif soit malade, c’est à dire
p T (M).
On appelle fiabilité d’un test la probabilité p(M ∩ T) + p(M ∩ T)
A Etude du test
1. Valeur diagnostique
a. Compléter l’arbre de probabilité
T
M
T
T
M
T
b. Calculer la valeur diagnostique du test
2. Fiabilité du test
Une erreur de test survient :
r soit lorsque l’individu est sain et le test est positif (cas d’un « faux positif »)
r soit lorsque l’individu est malade et le test est négatif (cas d’un « faux négatif »)
a. Compléter le tableau de probabilités suivant :
T
T
M
M
b. Quelle est la probabilité qu’un individu sur lequel on a pratiqué le test soit un « faux positif » ? Un « faux négatif » ?
c. Calculer les probabilités d’une erreur de test et en déduire la fiabilité du test.
B Influence de la proportion de malades
On se place dans le cas où la proportion de malades dans la population est x avec 0 < x < 1.
1. Sur la valeur diagnostique
a. Exprimer la valeur diagnostique notée d(x) en fonction de x puis étudier ses variations sur ]0 ; 1[.
b. A partir de quelle valeur de x la valeur diagnostique dépasse-t-elle 0,9 ?
2. Sur la fiabilité du test
a. Exprimer la fiabilité du test notée f (x) en fonction de x.
b. Pour quelles valeurs de x cette fiabilité dépasse-t-elle 0,99 ?