bruneau_1

Dénombrements :
Exemple : Codage
Exemple : Octets
Un octet est défini par le choix de
k
cases parmi 8
[case contenant 1]
Question posée :
Si
n
se fixe la valeur de
k
, combien d’octets sont ils à notre disposition ?
Exemple 1 :
k
=2
Il y a 28 octets possibles
Exemple 2 :
k
=6
Il y a 28 octets possibles
Exemple 3 :
k
=1
Il y a 8 octets possibles
Exemple 4 :
k
=0
Il y a 1 octet possible
Exemple 5 :
k
=8
Il y a 1 octet possible
Notation : Si
n
est le nombre d’objets d’un ensemble et
k
(
nk 0
) est un entier
k
n
C
désigne le nombre de combinaisons de
k
objets choisis parmi les
n
objets de
l’ensemble.
Vocabulaire :
Combinaison = sous ensemble
Exemple :
28
2
8C
Exemple simple :
 ;;OE
Tous les ensembles possibles de
E
.
 OOOO ;;;;;;;
3
2
3C
1
3
3C
vide
mpty
1
0
3C
3
1
3C
1
2
3
4
5
6
7
8

Formule de Pascal :
k
n
k
n
k
nCCC   1
1
1
Démonstration :
n
O O
O O O ……..O O………….O ???..............??
O O + =
1n
1
1
k
n
C
k
n
C1
k
n
C
n k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
0
2
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
3
1
3
3
1
3
2
4
1
4
6
4
1
4
2
5
1
5
10
10
5
1
5
2
6
1
6
15
20
15
6
1
6
2
7
1
7
21
35
35
21
7
1
7
2
8
1
8
28
56
70
56
28
8
1
8
2
Théorème 1:
Si
E
Est un ensemble de
n
objets, il possède
n
2
parties.
Illustration :
Il y a :
nn
n
k
nnnn CCCCC 2......................
210 
0 élément 2 éléments 3 éléments
k
éléments
n
éléments
n
n
k
k
n
C2
0

Jean
Marie
Renée
Pierre
Alain
Ursule
Micheline
Bernadette
Martine
A savoir par cœur :
1
0
n
C
1
n
n
C
nCn
1
nCn
n
1
22 2)1( 
n
nn C
nn
C
Formule du formulaire :
)(! !knk n
Ck
n
!n
= « Factoriel
n
»
1!0 
1!1
21!2 
321!3 
)!1(!  nnn
Application d’un ensemble dans un autre
Toute personne a une mère et une seule
Situation :
E
(Départ)
F
(Arrivée)
Vocabulaire :
)(Jeanf
=Micheline
Micheline est l’IMAGE de Jean par l’application
f
.
Pierre est un antécédent de Micheline.
Exercice 1 :
Remplir les tableaux suivants
Nom
Jean
Marie
René
Pierre
Alain
Image
Micheline
Ursule
Micheline
Bernadette
Micheline

1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
Nom
Ursule
Micheline
Bernadette
Martine
Antécédent
Marie
Jean
Pierre
René
Alain
Définition :
FEf :
désigne une application de l’ensemble E (départ) vers l’ensemble F (arrivée)
A tout éléments de E on fait correspondre un unique élément de F appelé son image par f
Ex 
Fxf )(
)(xf
est l’image de x par
f
.
FEf :
)(xfx 
Exercice 2 :
6,5,4,3,2,1E
5,4,3,2,1F
f
associé à tout élément
x
de E le nombre
)(xf
de F qui est le nombre des divisions de
x
.
Exercice 3 :
F nombre
1
2
3
4
5
E
antécédent
1
2
4
6
0
3
5
Définition d’un nombre premier :
Un nombre est premier lorsqu’il possède seulement deux diviseurs.
Un nombre qui possède 1 ou lui-même comme diviseur n’est pas forcément un nombre
premier. (ex : 1)
Il existe un seul nombre premier qui est paire, touts les autres nombres premier sont impair.

Exemple d’application
:f
IN* IN*
x
IN*,
)(xf
est le nombre des diviseurs de
x
.
Définition : Les antécédent de 2 par cette application forment l’ensemble des nombres
premiers.
Vocabulaire : (Antécédent)
x
est un antécédent de
y
par
FEf :
lorsque
1)
Ex 
2)
Fy 
3)
yxf )(
Définition :
Surjection
FEf :
est une surjection (de E sur F) si tout élément deF admet au moins un antécédent.
Exemple : L’application
f
(a pour mère) donnée n’est une surjection car Martine n’à pas
d’antécédent.
Injection :
FEf :
est une injection lorsque tout élément
y
de F a au plus un antécédent.
Si
)(xf
’=
y
et
)(xf
’=
y
alors
xx 
’