bruneau_1

Dénombrements :
Exemple : Codage
Exemple : Octets
1
2
3
4
5
6
7
8
Un octet est défini par le choix de k cases parmi 8
[case contenant 1]
Question posée :
Si n se fixe la valeur de k , combien d’octets sont ils à notre disposition ?
Exemple 1 :
k =2
Il y a 28 octets possibles
Exemple 2 :
k =6
Il y a 28 octets possibles
Exemple 3 :
k =1
Il y a 8 octets possibles
Exemple 4 :
k =0
Il y a 1 octet possible
Exemple 5 :
k =8
Il y a 1 octet possible
Notation :
Si n est le nombre d’objets d’un ensemble et k ( 0  k  n ) est un entier C nk
désigne le nombre de combinaisons de k objets choisis parmi les n objets de
l’ensemble.
Vocabulaire :
Combinaison = sous ensemble
Exemple :
C82  28
Exemple simple :
E  O;;
Tous les ensembles possibles de E .
;O;;;O ;O ; ;O  
C 32  3
vide
 mpty
C 30  1
C 31  3
C33  1
Formule de Pascal :
C nk11  C nk1  C nk
Démonstration :
n

O
O
O
O
O
O
 O ……..O
+
k
0
1
2
3
4
Cnk1
5
6
7
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
7
1
7
21
35
35
21
7
1
8
1
8
28
56
70
56
28
8
8
1
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Théorème 1:
Si E Est un ensemble de n objets, il possède 2 n parties.
Illustration :
Il y a : C n  C n  C n  ............  C n  .......... C n  2
0
0 élément
n
 C nk
k 0
1
2
2 éléments
 2n
k
3 éléments
???..............??
=
C nk11
n 1
n
O………….O
n
k éléments
n
n éléments
Cnk
A savoir par cœur :
C n0  1
C nn  1
C nn1  n
Cn2 
Cn1  n
n(n  1)
 Cnn2
2
Formule du formulaire :
Cnk 
n!
k!(n  k )
0! 1
1! 1
2! 1  2
3! 1  2  3
n! n(n  1)!
n! = « Factoriel n »
Application d’un ensemble dans un autre
Toute personne a une mère et une seule
Situation :
E (Départ)
F (Arrivée)
Ursule
Micheline
Bernadette
Martine
Jean
Marie
Renée
Pierre
Alain
Vocabulaire :
f (Jean ) =Micheline
Micheline est l’IMAGE de Jean par l’application f .
Pierre est un antécédent de Micheline.
Exercice 1 :
Remplir les tableaux suivants
Nom
Image
Jean
Micheline
Marie
Ursule
René
Micheline
Pierre
Bernadette
Alain
Micheline
Nom
Ursule
Antécédent
Marie
Micheline
Jean
René
Alain
Bernadette
Martine
Pierre
Définition :
f : E  F désigne une application de l’ensemble E (départ) vers l’ensemble F (arrivée)
A tout éléments de E on fait correspondre un unique élément de F appelé son image par f
f ( x)  F
xE
f :E F
x  f (x)
f (x ) est l’image de x par f .
Exercice 2 :
E  1,2,3,4,5,6
F  1,2,3,4,5
f associé à tout élément x de E le nombre f (x ) de F qui est le nombre des divisions de x .
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
Exercice 3 :
F nombre
1
E
antécédent
1
2
2
3
5
3
4
5
4
6
0
Définition d’un nombre premier :
Un nombre est premier lorsqu’il possède seulement deux diviseurs.
Un nombre qui possède 1 ou lui-même comme diviseur n’est pas forcément un nombre
premier. (ex : 1)
Il existe un seul nombre premier qui est paire, touts les autres nombres premier sont impair.
Exemple d’application
f : IN*  IN*
x IN*, f (x) est le nombre des diviseurs de x .
Définition : Les antécédent de 2 par cette application forment l’ensemble des nombres
premiers.
Vocabulaire : (Antécédent)
x est un antécédent de y par f : E  F lorsque
1) x  E
2) y  F
3) f ( x)  y
Définition :
Surjection
f : E  F est une surjection (de E sur F) si tout élément deF admet au moins un antécédent.
Exemple : L’application f (a pour mère) donnée n’est une surjection car Martine n’à pas
d’antécédent.
Injection :
f : E  F est une injection lorsque tout élément y de F a au plus un antécédent.
Si f (x) ’= y et f (x) ’= y alors x  x ’