Force de frottement fluide et vitesse

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CS S1 1 - - F Fo or rc ce e d de e f fr ro ot tt te em me en nt t f fl lu ui id de e e et t v vi it te es ss se e
Le but de cette fiche est d'aider les enseignants en rassemblant dans un même document un ensemble
d'informations dont l'obtention n'est pas toujours immédiate.
1. Forces exercées par un fluide sur un corps en mouvement
Un corps solide, en mouvement de translation dans un fluide, est soumis à des forces, réparties en
surface, dont les valeurs et distributions dépendent du fluide, de son état physique, de la vitesse
relative, et bien sûr de la forme du corps et de la rugosité de sa surface.
La somme de ces forces peut être décomposée en une composante dirigée en sens inverse de la vitesse,
appelée résistance ou traînée, et une composante perpendiculaire appelée portance en aérodynamique.
Pour effectuer l'étude expérimentale des forces aérodynamiques, le corps est placé dans la «veine»
d'une soufflerie où il est maintenu par des systèmes qui permettent de mesurer la traînée et la portance
en fonction de la vitesse de l'air pour une orientation choisie du corps. Dans le cas des forces
hydrodynamiques, on utilise de préférence le déplacement du corps dans un bassin de grande longueur
en le suspendant à une potence mobile. Dans les deux cas, c'est la vitesse relative du corps par rapport
au fluide qui est le paramètre important. Dans ce qui suit, nous nous limiterons à l'étude de la traînée.
Expérimentalement, on constate l'existence de deux régimes particuliers :
1) Aux faibles vitesses, l'écoulement du fluide autour du corps est laminaire, c'est-à-dire sans
turbulence. Le fluide possède une vitesse locale, égale à celle du corps à la surface de celui-ci, et
décroissant régulièrement en fonction de son éloignement du corps. Les «couches» de fluide glissent
les unes sur les autres, avec frottement interne : c'est le phénomène de viscosité. L'effet résultant de
ces forces de frottement internes, appelée traînée, est de freiner le mobile. Pour caractériser cette
propriété du fluide, on définit un coefficient de viscosité, coefficient qui dépend de façon notable de la
température (voir plus bas). Dans ces situations, on peut admettre que la traînée, dirigée en sens
inverse de la vitesse, lui est proportionnelle.
2) Un autre régime se rencontre pour des vitesses relatives nettement plus élevées. Le corps «pousse»
violemment le fluide devant lui et il se forme à l'arrière un sillage avec turbulences où le fluide est
partiellement entraîné avec le mobile. Expérimentalement, on constate qu'il existe toute une plage de
vitesse pour laquelle la traînée est proportionnelle au carré de la vitesse. Dans ce régime, c'est la mise
en mouvement du fluide par le corps, donc son inertie, qui prédomine dans l'effet de traînée.
Entre ces deux régimes, il existe toute une gamme de vitesses intermédiaires pour lesquelles les deux
propriétés, viscosité et inertie du fluide, jouent un rôle, et la relation traînée-vitesse n'y possède pas
d'expression simple.
2. Coefficient de traînée en régime laminaire
Rappelons la définition du coefficient de viscosité  d’un fluide. Lorsque deux couches de fluide
voisines, glissant l’une sur l’autre suivant l’axe x, sont animées de vitesses différentes, la force de
frottement, en module, peut dans de nombreux cas être modélisée par l’expression suivante :
x
V
FS
z
où S représente la surface de contact des couches, Vx/z le gradient de vitesse perpendiculaire à la
direction locale de l’écoulement. Cette expression peut être considérée comme une définition du
coefficient de viscosité. La pertinence de la modélisation résulte, comme toujours, d’une comparaison
avec l’expérience.
Dans le cas d’une sphère de rayon r se déplaçant à faible vitesse V dans un fluide, on peut démontrer, à
partir des équations de l’hydrodynamique, que la traînée est donnée par une formule due à Stokes :
VrT π6
(1)
Le facteur 6 est propre à la sphère, mais la structure du terme est générale : dans la mesure où la
traînée, qui est une force, est proportionnelle à la vitesse et à la viscosité (dont la dimension est celle
d’une pression multipliée par un temps), elle doit être également proportionnelle à une longueur
(caractéristique de l’objet).

La viscosité d’un fluide dépend de sa température (cf. tableaux plus bas). Mais alors que la viscosité
d’un liquide, en général, diminue lorsque la température augmente (penser à de l’huile dans une poêle
que l’on chauffe), celle d’un gaz croît avec la température. Cette différence de comportement tient au
rôle des interactions. Dans le cas d’un liquide, les molécules sont liées les unes aux autres, et la force
qu’une couche de fluide exerce sur sa voisine sera d’autant plus faible que les molécules peuvent
bouger facilement : ce mouvement est facilité lorsque la température augmente, d’où diminution de la
viscosité. Dans un gaz, les interactions sont souvent négligeables et l’action d’une couche de gaz sur
une voisine est directement reliée à la vitesse moyenne des molécules ; une théorie simple conduit à
une viscosité proportionnelle à la racine carrée de la température absolue ; l'expérience donne une
variation plus importante, en T avec  de l'ordre de 0,8 pour l'air.
En ce qui concerne les effets de la pression, là aussi gaz et liquides ont des comportements différents :
une augmentation de pression a tendance a empêcher le mouvement des molécules d’un liquide, donc
à augmenter sa viscosité. En revanche, la viscosité d’un gaz dépend très peu de la pression.
3. Coefficient de traînée à grande vitesse
Lorsqu’un objet se déplace à grande vitesse dans un fluide de masse volumique , il met le fluide en
mouvement dans son sillage. L’énergie ainsi communiquée, égale à
2
1
V2 par unité de volume, a pour
effet de ralentir le mobile et doit donc intervenir dans l’expression de la force de frottement. La
dimension latérale du sillage étant de l’ordre de grandeur de la surface apparente S présentée par le
corps perpendiculairement à la vitesse (surface appelée « maître-couple »), on est amené à écrire pour
la traînée une expression de la forme :
SVCT x2
2
1
(2)
Le coefficient Cx est un nombre sans dimension qui dépend de la forme du corps et de son orientation
par rapport à la direction de la vitesse ; il est mesuré en soufflerie. Les constructeurs automobiles
cherchent évidemment à réduire la valeur de Cx, car en réduisant la traînée, on réduit la consommation
du véhicule.
4. Cas général
Dans la gamme des vitesse intermédiaires, la viscosité et les effets de sillage (donc l’inertie du fluide)
jouent un rôle, mais on ne dispose pas d’une relation simple entre la traînée et la vitesse. Compte tenu
de l’importance des situations où l’inertie du fluide joue un rôle prédominant (traînée en V2), on
convient d’écrire dans tous les cas la traînée sous la forme :
SVCT x2
2
1
mais où le coefficient de traînée Cx dépend maintenant de la vitesse.
Par exemple dans le cas d’une sphère, aux faibles vitesses, la traînée est donnée par la formule de
Stokes
VrT π6
; en utilisant S = r2, on obtient :
Vr
12
Cx
.
5. Nombre de Reynolds
Il est intéressant de considérer le rapport des deux expressions de la traînée, à grande vitesse et à
vitesse faible. Ainsi que nous l’avons remarqué, la traînée à faible vitesse est proportionnelle à une
dimension caractéristique d de l’objet (dans le cas de la sphère d = 2r), et la traînée à grande vitesse au
carré de cette dimension (à travers la surface S). Lorsqu'on effectue le rapport des relations (2) et (1),
on obtient, si ne considère que les grandeurs dimensionnées (c'est-à-dire en laissant de côté les
coefficients numériques), une grandeur sans dimension appelée le «nombre de Reynolds» et désigné
par le symbole Re
eVd
R
.
Le nombre de Reynolds est évidemment un nombre sans dimension, puisqu’il est proportionnel au
rapport de deux forces. Sa pertinence tient à la propriété suivante : pour des corps de géométrie

donnée, la nature de l’écoulement du fluide autour du corps (par exemple laminaire ou turbulent) ne
dépend des divers paramètres en jeu (forme du corps, caractéristiques du fluide, vitesse du corps) que
par la combinaison intervenant dans Re.
6. Coefficient de traînée d’une sphère
Pour une sphère, S = πr2 et on prend pour d son diamètre 2r. Ainsi :
22 rVCT xπ
2
1
(2 )
eVr
R
.
Le graphe reproduit ci-dessous représente Cx en fonction de Re, en coordonnées log-log : en abscisses
log10(Re), en ordonnées log10(Cx). Il est constitué par le regroupement de résultats expérimentaux
obtenus sur des systèmes très divers (billes d'alliages métalliques dans de l'huile, billes de cire dans
l'alcool, de paraffine dans l'aniline, d'ambre dans l'eau, bulles d'air dans l'eau, etc.).
Notons que le nombre de Reynolds est proportionnel à la vitesse relative corps/fluide. Aussi, les
faibles nombres de Reynolds correspondent aux faibles vitesses, donc au cas où les forces de viscosité
dominent, et les grandes valeurs de Re aux grandes vitesses où les effets d’inertie dominent.
Aux faibles valeurs de Re, la traînée, due à la viscosité, est donnée par la formule de Stokes ; en
utilisant l'expression du nombre de Reynolds, ce résultat se traduit par : Cx = 12/(rV) = 24/Re soit en
coordonnées log-log :
10 10 10
log ( ) log ( ) log (24)
xe
CR  
; c'est la droite de pente –1 ajoutée au
graphe. La coïncidence montre bien que la loi de Stokes est valable pour Re  1.
Le Cx devient constant aux alentours de la valeur 1000 pour le nombre de Reynolds : le régime
turbulent est alors installé, mais la transition n’a bien sûr pas lieu pour une valeur déterminée, la
transition est continue.
La traînée est en V2 (Cx constant ) pour 1 000 < Re < 2  105 ; Cx vaut alors environ 0,45 et c’est
l’inertie du fluide déplacé qui domine. La diminution brusque de Cx pour une valeur de Re comprise
selon les cas entre 2  105 et 1  106 est due à une modification de la «couche limite», zone de fluide
en contact avec le corps, dans laquelle se manifestent alors des turbulences (plus la surface est
rugueuse, plus la valeur correspondante de Re est faible, et plus faible est la vitesse pour laquelle se
manifeste la diminution de traînée ; c'est la raison des zones en creux à la surface d'une balle de golf,
et de la plus grande rapidité d'une balle de tennis neuve).
7. Tableaux
Variation de la viscosité de l’eau et du glycérol avec la température :
 en mPa.s
10 °C
20 °C
25 °C
30 °C
50 °C
75 °C
100 °C
Eau
1,307
1,002
0,890
0,798
0,547
0,378
0,282
Glycérol
934
152
39,8
14,8
Viscosité d'une solution aqueuse de glycérol à 25 °C ( en fonction du pourcentage en masse) :
%
0
5
10
20
40
60
80
100
 (mPa.s)
0,89
1,01
1,15
1,54
3,18
8,82
45,9
934
Variation de la viscosité de l'air en fonction de la température :
Température (K)
100
200
300
400
500
 (Pa.s)
7,1
13,3
18,6
23,1
27,1

Les valeurs sont données pour une pression de 1  105 Pa.
8. Quelques évaluations numériques
− Pour une chute verticale dans du glycérol pur à 25 °C, la formule de Stokes est valable pour des
billes (du verre au plomb) de rayon inférieur à 2 mm environ.
− Pour une chute dans de l’eau pure, on obtient une traînée en V2 pour un rayon de bille supérieur à
1 mm environ.
Choisir des billes de 2 à 4 mm de diamètre doit permettre de mettre en évidence les deux régimes
− Pour une automobile, prenons d = 1,5 m ; avec air = 1,3 gL1, air = 18,6  106 Pa.s, on obtient
des nombres de Reynolds allant de 3  105 à 3  106 pour des vitesse de 10 à 100 km/h. Ce sont
des situations où une traînée en V2 est observée. Les constructeurs d'automobiles cherchent à
obtenir des Cx les plus faibles possibles pour diminuer la traînée et économiser le carburant. Les
véhicules modernes ont, au mieux, des Cx de l'ordre de 0,30.
Références
— COMELET R;, Mécanique expérimentale des fluides, tome II, Masson, 1963.
— FAROUX J.-P., RENAULT J., Mécanique des fluides et ondes mécaniques, Dunod, 1999. Le
graphe log-log ci-dessous est emprunté à cet ouvrage.