VARIABLES ALEATOIRES – Cours T GE

VARIABLES ALEATOIRES – Cours T GE
Soit une expérience aléatoire et un univers fini . On appelle variable aléatoire toute application de 
dans R. Cette application (fonction) est en général notée X.
Exemple :
On lance 3 fois de suite une pièce de monnaie et on note, dans l’ordre, les piles et faces obtenus.
  PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF. Soit X la variable aléatoire : le nombre de piles obtenus
lors des 3 lancers. X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3
Loi de probabilité :
C’est le tableau, qui à chaque valeur xi de X fait correspondre la probabilité pi de l’événement (X = xi).
X
pi
0
1
2
3
Error! Error! Error! Error!
4
On vérifie que
p
i 1
i
 1.
On appelle fonction de répartition de X, l’application notée F, de R dans 0 ; 1 qui à tout réel x associe
la probabilité de l’événement X  x  .
Reprenons notre exemple :
y
Représentation de la fonction F de répartition :
F( x )  P(X  x ) .
C’est une fonction en escaliers.
1
7/8
j
1/2
1/8
0
i
1
2
3
x
Valeurs caractéristiques d’une variable aléatoire :
n
-
Espérance mathématique : E (X )   x i p i . C’est une caractéristique de position : le barycentre
-
des nombres xi affectés des coefficients pi. Dans notre exemple,
1
3
3
1
3
E(X)  0   1   2   3  , soit E ( X )  . Cette valeur était attendue, car si on répète
8
8
8
8
2
l’expérience un grand nombre de fois, on obtiendra « en moyenne » la moitié de piles sur 3
lancers.
2
2
Variance de X : V(X)  EX  E(X) ou encore V(X)  EX 2   E(X) , ce qui s’écrit encore
i 1
n
n
V(X)   x i  E(X)  .p i ou bien V(X)   x i2 .p i  E(X) 
i 1
2
i 1
2
- Ecart type : (X)  V(X)
Ce sont des caractéristiques de dispersion. Plus ces valeurs sont grandes, plus les valeurs de X sont
dispersées autour de E(X).
4
1
3
3
1
Dans notre exemple, E(X 2 )   x i2 .p i  0 2   12   2 2   3 2   3
8
8
8
8
i 1
( X ) 
2
3
3
V(X)  3     et
4
2
3
.
2
Deux personnes A et B jouent 3 fois de suite à pile ou face de la façon suivante :
Si le nombre de faces est 1 ou 3 : B donne 2 € à A
Si le nombre de faces est 2 : A donne 4 € à B
Si le nombre de faces est 0 : le jeu est nul
Soit Y la variable aléatoire suivante : le gain de A (négatif en cas de perte). Donnons la loi de probabilité
de Y et calculons son espérance et sa variance.
Y
pi
-4
0
2
Error! Error! Error!
3
1
1
1
E(Y)  4   0   2    . L’espérance est négative : A est perdant (en « moyenne » sur un
8
8
2
2
grand nombre de parties).
Dans le cas où l’espérance est nulle, le jeu est dit équitable.
p.224 n°16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 32, 37.