Exercice - Colegio Francia

Exercice 1
Trouver deux nombres a et b tels que leur ppcm est 2100 et la somme de leurs carrés est 12 681.
On pose a' = da et b' = db où d est le pgcd(a ; b) avec pgcd(a' ; b') = 1.
On a de plus md = ab ou encore md = a'b'd² ou enfin m = a'b'd
Le système devient :
2 2 2
' ' 2100
' ' 12681
a b d
d a b
On a 12681 = 3²  1409 donc, nécessairement d² = 3² ou d = 3
Le système devient :
22
' ' 700
' ' 1409
ab
ab
On utilise une astuce qui permet de "fabriquer" lune identité remarquable dans la deuxième égalité.
(a' + b')² = a'² + 2a'b' + b'² = 1409 + 2700 = 2809 = 53²
Le système devient enfin :
' ' 700
' ' 53
ab
ab
que l'on résout en résolvant l'équation X² – SX + P = 0 avec P = 700 et S = 53.
(On pourrait aussi résoudre par substitution, et le résultat serait le même).
² 4 53 53² 4 700 53 3
2 2 2
S S P
X     
Soient les solutions :
a' = 25 et b' = 28 ou leurs symétriques a' = 28 et b' = 25
Soit, pour les valeurs de a et b :
S = {(75 ; 84) ; (84 ; 75) }
Exercice 2
1. Démontrer qu'il existe au moins deux entiers relatifs u et v tels que 13u – 23v = 1.
Comme 13 et 23 sont premiers entre eux, il existe, d'après le théorème de Bézout, un couple (u ; v)
vérifiant l'équation donnée.
2. Déterminer, à l'aide de l'algorithme d'Euclide, deux de ces entiers.
23 = 13  1 + 10
13 = 10  1 + 3
10 = 3  3 + 1
1 = 10 – 3  3
1 = 10 – 3  (13 – 10) = 10 – 3  13 + 3  10 = 4  10 – 3  13
1 = 4  10 – 3  13 = 4  (23 – 13) – 3  13 = 4  23 – 4  13 – 3  13 = 4  23 – 7  13
1 = 4  23 – 7  13
Le couple (– 7 ; – 4) est solution de l'équation 13u – 23v = 1.
3. Résoudre l'équation –156x + 276y = 24 dans l'ensemble des entiers relatifs.
On peut diviser par 12 les deux membres de cette égalité et l'équation devient :
– 13x + 23 y = 2 ou encore 13x – 23y = – 2

On sait, d'après la question 2 que le couple les valeurs x = – 7  (–2) = 14 et y = – 4  (– 2) = 8 sont des
solutions particulières de cette équation.
On a :
13x – 23y = – 2
1314 – 238 = – 2
__________________
13(x – 14) – 23(y – 8) = 0
13(x – 14) = 23(y – 8)
13 divise le produit 23(y – 8) et est premier avec 23 donc il divise y – 8 d'après le théorème de Gauss.
On a donc : y – 8 = 13k ou y = 13k + 8 (avec k entier relatif)
En remplaçant dans l'équation (E) on obtient :
13(x – 14) = 23  13k ou encore x – 14 = 23k ou x = 23k + 14
Les solutions de l'équation –156x + 276y = 24 sont donc de la forme (23k + 14 ; 13k + 8) avec k entier
relatif.
Exercice 3
n étant un entier relatif quelconque, on pose
a = n – 1 et b = n² – 3n + 6
Préliminaire : Démonstration de cours
Démontrer que pgcd(a ; b) = pgcd (b ; a – bq) avec q entier relatif.
1. a. Montrer que le pgcd( a ; b) est égal au pgcd( a ; 4)
On a n² – 3n + 6 = (n – 1)(n – 2) + 4, d'où le résultat.
b. Déterminer, suivant les valeurs de n, le pgcd( a ; b)
pgcd( a ; b) = pgcd( a ; 4) est égal à 1 ; 2 ou 4.
n – 1 = 4k ou n = 4k + 1 alors pgcd( a ; b) = 4
n – 1 = 4k + 1 ou n = 4k + 2 alors pgcd( a ; b) = 1
n – 1 = 4k + 2 ou n = 4k + 3 alors pgcd( a ; b) = 2
n – 1 = 4k + 3 ou n = 4k alors pgcd( a ; b) = 1
2. Pour quelles valeurs de n le nombre
² 3 6
1
nn
n
est-il un entier relatif ?
² 3 6 ( 1)( 2) 4 4
2
1 1 1
n n n n n
n n n
pour que ce nombre soit un entier relatif, il faut que n – 1 | 4, soit
n – 1 = – 4 n = – 3
n – 1 = – 2 n = – 1
n – 1 = – 1 n = 0
n – 1 = 1 n = 2
n – 1 = 2 n = 3
n – 1 = 4 n = 5