Devoir surveillé N°1.

¤ PCSI ¤ 04/05. Durée 3 heures. CALCULATRICE AUTORISEE.
Physique.
Devoir surveillé N°1.
Cette épreuve de trois heures présente trois exercices indépendants :
Exercice 1. Mouvement d'un point matériel.
Exercice 2. Mouvement d’une bille dans un tube.
Exercice 3. Etude d'un système masse ressort.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et
lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Une grande importance sera attachée à la rigueur, à la clarté des raisonnements et des schémas.
Tous les résultats devront être donnés sous forme littérale.
Toute valeur numérique demandée devra être accompagnée de son unité correcte.
Exercice 1. Mouvement d'un point matériel.
Soit C la courbe d'équations paramétriques, en coordonnées cartésiennes :
cos
sin
ln 1
o
o
o
x r e
y r e
zr
où
o
r
est une constante positive
représente l'angle entre l'axe (Ox) et le vecteur
OH
, où H est la projection de M sur le plan (Oxy).
Un point M se déplace sur C à vitesse angulaire constante.
1. Déterminer les composantes cartésiennes des vecteurs vitesse et accélération.
2. En déduire l’expression du module de ces vecteurs.
3. Déterminer la position du point M en coordonnées cylindriques d'axe (Oz).
4. Déterminer les composantes cylindro-polaires des vecteurs vitesse et accélération.

Exercice 2.Mouvement d’une bille dans un tube.
Le problème envisage l’évolution d'une bille B, de masse m, quasi-ponctuelle, soumise à la pesanteur et
susceptible de déplacements à l'intérieur d'un tube cylindrique mince T, de longueur 2l, effectuant un
mouvement caractérisé par une vitesse angulaire autour d'un axe contenant son centre O. L’accélération
de la pesanteur est
g
, de module g constant, et dirigée selon la verticale descendante.
On note
r OP
le vecteur de la position de B dans T à l'instant t, et r = OP la distance OP.
Les grandeurs ro et vo caractérisent la position et la vitesse de B à l'instant initial t = 0.
Le tube T est dans le plan horizontal (x, y) et tourne autour de l'axe Oz à la vitesse angulaire constante.
A. Les mouvements de la bille B ont lieu sans frottements.
1. Etablir l'équation différentielle en r du mouvement de B.
2. Intégrer cette équation pour les conditions initiales ro, vo.
3. Etablir l'expression du temps que mettra B pour sortir de T.
4. Application numérique : Calculer pour l = 0,10 m,
1
0,10 m, 0, 2 radians.
oo
r v s
.
B. Les mouvements de la bille B sont soumis à une force de frottement solide de coefficient . On a alors,
lorsqu’il y a mouvement, la relation suivante : RT =
RN
où RN est la composante normale à la tige de la réaction
R
et RT la composante tangentielle.
5. Etablir l'équation différentielle en r du mouvement de B.
6. En déduire la loi v (r) liant la vitesse et la position de B pour la condition v = vo en r = 0.
On posera que g >> 2 v pour résoudre l’équation différentielle obtenue qui n’est pas linéaire.
7. On constate que B s'arrête à la cote r = r1.
Cette constatation expérimentale permet-elle de justifier l’approximation effectuée en 5 ?
En déduire l'expression du coefficient de frottement en fonction de g, , vo et r1.
7. Application numérique: Calculer pour que B s'arrête au bout du tube, avec g = 9,81 m.s-2,
l = 0,1 m, vo = 0,5 m.s-1, = 2 radians.s-1.

Exercice 3. Etude d'un système masse ressort.
On se place dans le référentiel galiléen  de repère (Oxyz) orthonormé, direct, de vecteurs unitaires de
base
,,i j k
. Le dispositif envisagé est constitué d'un ressort R, d'un demi-cercle C et d'une perle P.
Le ressort R est parfait, c'est-à-dire sans masse et développant selon sa propre direction une force
proportionnelle à son élongation. On note K ce coefficient de proportionnalité et l la longueur à vide de R.
Le demi-cercle C (fixe dans ), de rayon a, de centre O, est contenu dans le demi-plan xOy, x > 0,
supposé vertical, Ox étant la verticale descendante.
La perle P est un objet quasi-ponctuel de masse M astreint à se déplacer sans frottement sur C. Le ressort
R a une extrémité liée à P et l'autre à un point situé aux coordonnées x = - a, y = 0, z = 0.
La position de P dans  est repérée par l'angle =
,i OP
,  (- /2, /2). On note
r
u
le vecteur unitaire
de OP,
u
le vecteur unitaire déduit de
v
par la rotation de + /2 autour de
k
. Le système est placé dans
le champ de pesanteur d'accélération
g gi
de valeur g constante.
On suppose que quelque soit la position de la perle P sur le demi-cercle on a le ressort en élongation.
Les expressions vectorielles demandées (questions 1, 3, 4 et 5) seront exprimées dans la base
,
r
uu
.
1. Donner l'expression du vecteur
P
en fonction de a et .
2. Donner l'expression du module P de
P
en fonction de a et (ou mieux, de /2).
3. Donner l'expression du vecteur tension
T
du ressort en fonction de a, K, l et (ou mieux,
de /2).
4. Soit
F
la résultante des forces extérieures appliquées à la nasse M. On note r le module de la
réaction de C sur P. Donner l'expression des composantes de
F
en fonction de a, g, K, l, M, r
et .
5. En déduire, lorsque le mouvement de M a lieu, son équation différentielle en fonction de a, g,
K, l, M, et ses dérivées convenables.
6. Déterminer l'expression des positions d'équilibre =
i envisageables pour le système.
Si des positions d’équilibre autres que
i = 0 sont possibles entre 0 et /2 (ce qui implique par
symétrie une position équivalente -
i comprise entre 0 et - /2), écrire les inégalités que cela
implique sur les paramètres a, g, K, l, M du problème