le mouvement rectiligne

Chapitre n° 5 : Le mouvement rectiligne.
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LE MOUVEMENT RECTILIGNE
Les mouvements sont dus à des forces.
Dès que l'on parle de mouvement, on parle de position, de déplacement, de
vitesse et d'accélération.
Le déplacement est une variation de position.
Lors d'un mouvement rectiligne, les objets se déplacent en ligne droite ; c'est un
mouvement de translation. Chaque partie du corps se déplace dans la même
direction et ne subit pas de rotation.
I. DEFINITIONS
Le mouvement d'un corps est défini par une équation qui exprime la position x
du corps en fonction du temps.
x = f (t)
Tout mouvement va être décrit par la position du corps, sa vitesse et son
accélération.
On distingue deux types de vitesse : la vitesse moyenne et la vitesse instantanée.
A. LA VITESSE MOYENNE
Elle se définit en terme de déplacement d'un corps au cours d'un intervalle de
temps donné.
Elle s'exprime par le temps divisé par le temps écoulé :
Δx
v =
x2 – x1
=
Δt
t2 – t1
La vitesse moyenne est proportionnelle au déplacement et a la même direction
que ce déplacement.
Si un corps en mouvement parcoure des distances égales en des temps égaux, sa
vitesse moyenne sera la même quelque soit l'intervalle de temps considéré.
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Son mouvement sera dit « uniforme » et sera représenté par une droite.
Quand un mouvement n'est pas uniforme, il est « accéléré ». Dans le cas d'un
mouvement accéléré, la vitesse moyenne dépendra de l'intervalle de temps
considéré.
B. LA VITESSE INSTANTANEE
C'est la vitesse à un instant précis, à t donné. Elle est déterminée par la vitesse
moyenne pour un intervalle de temps extrêmement court.
C'est la limite de la vitesse moyenne quand Δt tend vers 0.
dx
v =
dt
C. L'ACCELERATION MOYENNE
C'est la variation de vitesse au cours d'un intervalle de temps donné. Elle
s'exprime par la variation de vitesse divisée par l'intervalle de temps.
Δv
a =
v2 – v1
=
Δt
t2 – t1
D. L'ACCELERATION INSTANTANEE
L’accélération instantanée est une accélération à un instant précis, à t donné.
Elle est déterminée par l’accélération moyenne pour un intervalle de temps le
plus court possible.
On parle donc de la dérivée de la vitesse par rapport au temps.
dv
a
=
d² x
=
dt
d t²
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II. DETERMINATION DU MOUVEMENT D'UN CORPS
Pour déterminer le mouvement d'un corps, il faut connaître :
- Son accélération.
- Sa vitesse initiale v0.
- Sa position initiale x0.
Si on prends un corps en mouvement à une vitesse v0, subissant une accélération
pendant un certains temps, on obtient :
Δv = Δt.a
(car a = Δ v / Δ t)
Δ v = v – v0 = Δ t . a
Soit :
v = a t + v0
Interprétation graphique :
a constante pendant Δ t.
Δv
a =
Δt
Δv = a.Δt
Δ v = aire du rectangle
a
a
Δt
(v – v0) = a . Δ t
v = v0 + a . Δ t
t
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v
v1
v2
t
t0
Δt
t2
Δ x = aire du triangle + aire du rectangle.
Δ x = ½ Δv . Δt + v0 . Δt
Δv
Δx = ½ .
. Δt² + v0 . Δt
Δt
Δ x = ½ . a . Δt² + v0 . Δt
équation du second degré.
x
t
Δt
v = a . t . v0
x = ½ a . t² + v0 . t + x0
Δx = x - x0
Exercice d’application :
Un mobile décrit une trajectoire rectiligne, on donne la représentation graphique
de sa vitesse en fonction du temps ci-dessous.
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v (m/s)
5
0
16
28
35
t (s)
a) Calculer son accélération au cours des 3 phases du
mouvement.
b) Calculer la distance parcourue par le mobile jusqu’à son
arrêt.
a)
Δv
a1 =
Δt
5–0
=
16 – 0
5
=
= 0,31 m/s²
16
a2 = 0 car la vitesse est constante.
Δv
a3 =
Δt
0–5
=
= - 0,71 m/s²
35 - 28
b)
distance = aire sous la courbe.
Δx = ½ . 5 . 16 + 5 . 12 + ½ . 7 . 5
Δx = 40 + 60 + 17,5
Δx = 117,5 m
A. LES EQUATIONS DU MOUVEMENT RECTILIGNE
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- Un mouvement rectiligne est dit « uniformément accéléré » quand
l’accélération est constante.
a = cte
v = a.t + v0
x = ½ a.t² + v0.t + x0
Illustration graphique :
déplacement
a
v
t
t
t
- Un mouvement est rectiligne si et seulement si sa vitesse est constante et
donc l’accélération est nulle.
a = 0
v = cte
x = v0.t + x0
déplacement
a
v
t
t
t
B. APPLICATION A LA CHUTE DES CORPS
Un corps sans support tombe vers le sol. Sa vitesse au moment de l'impact
s'accroît si la distance de chute augmente. Ils sont soumis à l'accélération
gravitationnelle g.
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Deux aspects de l'accélération gravitationnelle influencent le mouvement d'un
corps en chute libre.
Elle est la même pour tous les corps qui tombent quelque soit leur taille et leur
composition.
Elle est constante et ne varie pas au cours de la chute.
La trajectoire d'un corps qui est en chute libre est verticale. C'est un mouvement
uniformément accéléré d'accélération g.
a = cte = g
v = g.t + v0
x = ½ g.t² + v0.t + x0
x ou h = ½ g . t²
car a = g
ou x ou h = - ½ g . t²
h dépend de l’axe
v = g.t
ou
selon l’axe
v = -g.t
III. LES FROTTEMENTS
Ils constituent une force qui s'oppose toujours au mouvement d'un corps qui se
déplace à la surface d'un autre corps.
Il existe différents types de frottements :
- Frottements de roulement.
- Frottements de glissement.
- Résistance de l'air.
- Résistance de l'eau.
Si on a un corps au repos sur une surface horizontale, la force résultante
s'exerçant sur ce corps est nulle.
R
G
P
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On applique une force horizontale F sur ce corps mais il reste au repos. Cela
signifie qu'il y a une force de frottement – F d’intensité au moins égale à F et de
sens opposé à F.
fts = - F
R
F
G
P
fts
Si on augmente à nouveau F, l’objet va commencer à glisser. Cela veut dire qu’il
existe une force de frottement statique maximum qui est dépassée (fs).
On veut que l’objet garde une vitesse constante. La force F va être inférieure à
celle qui a du être appliquée au départ pour le faire commencer à avancer (fc)
Ces deux forces sont indépendantes de l’air de contact du corps avec sa surface
de glissement et elles sont aussi proportionnelles à la force de réaction de la
surface de glissement (ou d’action)
Ce qui relie la force de frottement et la force de réaction de la surface est appelé
le coefficient de frottement, μs et μc.
On sait que :
ft = μ . Rs
Le coefficient de frottement va dépendre de la nature de la surface (glace
cailloux…)
Le coefficient de frottement cinétique μc est pratiquement indépendant de la
vitesse.
Exercice d’application :
Un skieur de 70 kg descend une piste faisant un angle de 30° avec l’horizontale,
le coefficient de frottement entre ses skis et la neige vaut 0,1.
Si on néglige la résistance de l’air, quelle est accélération de ce skieur ?
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Rs
fts
α
P
le skieur étant soumis à la deuxième loi de Newton, on a :
∑F = m.a
P + R + Fts = m . a
Par projection sur l’axe x, on obtient :
P . sin α - Fts = m . a
P . sin α - µ . Rs = m . a
P . sin α - µ . P . cos α = m . a
m . g ( sin α - µ . cos α ) = m . a
a = g ( sin α - µ . cos α )
a = 9,81 (0,9 - 0,1 × √3/2) = 4,06 m/s²
Dans l’air ou dans l’eau, les frottements valent :
fts = k . v² . s
k : constante d’aérodynamisme ou d’hydrodynamisme.
s : surface de frottement.