applications du produit scalaire

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE
1 ) RELATIONS METRIQUES DANS LE TRIANGLE
A
A ) NOTATIONS USELLES
Soit ABC un triangle quelconque. L’usage est de noter :


BC = a , AC = b , AB = c
S l’aire du triangle

A = BAC , B = CBA , C = BCA
H
I
B
B ) THEOREME D’AL KASHI
a ² = b ² + c ² – 2 b c cos A
On a :
b
c
C
a
Ce théorème est aussi appelé théorème de Pythagore généralisé …
Preuve :
On a Error! = Error! + Error! = Error! – Error!
Ainsi a ² = (Error! ) ² = (Error! – Error! ) ² = AC ² + AB ² – 2 Error! . Error! = b ² + c ² – 2 b c cos Error!
Rem :


De la même façon ( par permutation circulaire ) , on montre que : b ² = a ² + c² – 2 a c cos B et c ² = a ² + b ² – 2 a b cos C
Si le triangle est rectangle en A , alors A =  , cos A = 0 et … a ² = b² + c² ( On retrouve le théorème de Pythagore )
2
C ) LE THEOREME DE LA MEDIANE
Soit I le milieu de [ AB ]. On a :
AB ² + AC ² = 2 AI ² +
BC ²
2
Ona aussi :
Error! . Error! = AI ² – Error! BC ² et AB ² – AC ² = 2
Error! . Error!
Preuve :
On a AB ² = ( Error!) ² = ( Error!+Error!) ² = AI ²+ IB ² + Error!. Error!
Et
AC² = ( Error!) ² = ( Error! –Error!) ² = AI ²+ IB ² – Error!. Error!
En additionnant membres à membres on obtient :
BC ²
AB ² + AC ² = 2 AI ² + 2 IB ² = 2 AI ² +
2
D ) AIRE D’UN TRIANGLE
On a :
S = 1 b c sin A
2
Preuve :
L’aire du triangle ABC est donnée par S = 1 AB  CH
2
Deux cas se présentent :

si l’angle A est aigu, CH = AC sin A

si l’angle  est obtus, CH = AC sin CAH
Or CAH =  – Â , donc sin CAH = sin (  – A ) = sin A
Dans les deux cas, on S = 1 AB  AC  sin A = 1 b c sin A
2
2
Rem :
De la même façon ( par permutation circulaire ) , on montre que S = 1 a c sin B et
2
S = 1 a b sin C
2
E ) FORMULE DES SINUS
On a :
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
Preuve :
On a S = 1 b c sin A = 1 a c sin B = 1 a b sin C
2
2
2
En multipliant par 2 , on obtient 2 S = sin A = sin B = sin C
abc
abc
a
b
c
En passant aux inverses ( les sinus des angles d’un triangle sont différents de zéro ) , on obtient
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
Rem :
1 ) TRIANGLES ISOMETRIQUES
Dire que deux triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques signifie que AB = A’B’ , AC = A’C’ et BC = B’C’ .
Grâce au théorème d’Al Kashi, on montre facilement que :

Si deux triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques, alors A = A ’ , B =B’ et C = C ’

Si A = A ’ , B= B’ et BC = B’C’ , alors les triangles sont isométriques .

Si AB = A’B’ , AC = A’C’ et A = A ’ , alors les triangles sont isométriques .
2 ) TRIANGLES SEMBLABLES
Dire que deux triangles ABC et A’B’C’ sont semblables signifie que A = A ’ , B = B’ et C = C ’
En appliquant la formule des sinus aux deux triangles, on montre facilement la proportionnalité des côtés : a = b = c
a' b' c'
2 ) DROITE
A) CARACTERISATION D’UNE DROITE
Un vecteur normal à une droite d est un vecteur non nul orthogonal
à un vecteur directeur de d .
d
Error!
Error!
A
Soit d une droite, A un point de d et Error! un vecteur normal à d .
M
d
La droite d est l’ensemble des point M du plan tels que Error!. Error!= 0.
La droite d est l’ensemble des points M du plan tels que
C'est à dire
Error! et Error! sont orthogonaux …
M  d  Error!. Error!= 0
Rem : Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires on peut utiliser le produit scalaire et les vecteurs directeurs .
B ) APPLICATION : EQUATION D’UNE DROITE DONT ON CONNAIT UN POINT ET UN VECTEUR NORMAL
Soit (O; Error!, Error!) un repère orthonormal et Error! ( a ; b ) un vecteur non nul.

Si le vecteur Error! est normal à une droite d , alors d a une équation de la forme a x + b y + c = 0 ( où c est un réel )

Réciproquement, toute droite ayant une équation de la forme a x + b y + c = 0 ( avec a  0 et b  0 ) admet le vecteur Error! ( a ; b )
comme vecteur normal.
Preuve :

Soit A ( x 0 ; y 0 ) un point de d et M ( x ; y ) un point du plan , alors :
M  d  Error!. Error!= 0
On a Error! ( a ; b ) et Error! ( x – x 0 ; y – y 0 )
Ainsi

Md
 a (x – x 0 ) + b (y – y 0 ) = 0
 a x + b y – ( a x 0 + b y 0) = 0
ax+by+c=0
, en posant c = – ( a x 0 + b y 0 )
Si la droite d a pour équation a x + b y + c = 0 , alors le vecteur Error! ( – b , a ) est un vecteur directeur de d . ( facile à montrer )
Or Error! . Error! = a ( – b ) + b a = 0
Ainsi Error! et Error! sont orthogonaux et Error! est normal à d .
3 ) CERCLE
A ) CARACTERISATION D’UN CERCLE DE CENTRE ET DE RAYON DONNES
Preuve :
Soit A un point du plan et r un réel positif .
Le cercle C de centre A et de rayon r est l’ensemble des points M du plan tels que Error! 2 = r 2
APPLICATION : EQUATION D’UN CERCLE DE CENTRE ET DE RAYON DONNES
On se place dans un repère orthonormal (O; Error!, Error!) .
Soit A un point de coordonnées ( x 0 ; y 0 ) , un réel positif r et C le cercle de centre A et de rayon r .
Soit M un point du plan .
M  C  AM = r  AM 2 = r 2 …
Pour tout point M ( x ; y ) du plan ,
Error! a pour coordonnées ( x – x 0 ; y – y 0 ) et Error! 2 = ( x – x 0 ) 2 + ( y – y 0 ) 2
Le cercle C est donc l’ensemble des points M ( x ; y ) du plan tels que ( x – x 0 ) 2 + ( y – y 0 ) 2 = r 2
M
B ) CARACTERISATION D’UN CERCLE DE DIAMETRE DONNE
Soit A et B deux points distincts du plan.
A
B
O
La cercle C de diamètre [ AB ] est l’ensemble des points M du plan tels que Error! . Error! = 0 .
Preuve :
C
Comme vous le savez depuis longtemps ( ! ! ! ) , le cercle C , privé des points A et B ,est l’ensemble des points M du
plan tels que le triangle MAB est rectangle en M , c'est à dire l’ensemble des points M tels que Error! . Error! = 0 .
D’autre part, si M = A ou M = B , alors Error!= Error! ou Error! = Error! et on a encore Error! . Error! = 0
APPLICATION : EQUATION D’UN CERCLE DE DIAMETRE DONNE
Etude d’un exemple :
On se place dans un repère orthonormal :
Déterminons une équation du cercle C de diamètre [ AB ] avec A ( – 1 ; 3 ) et B ( 2 ; 2 ) .
Soit M ( x ; y ) un point du plan .
On a
M  C  Error! . Error! = 0
Or Error! ( – 1 – x ; 3 – y ) et Error! ( 2 – x ; 2 – y )
Ainsi M  C  ( – 1 – x ) ( 2 – x ) + ( 3 – y ) ( 2 – y ) = 0  x ² + y ² – x – 5 y + 4 = 0
Rem :
En développant ( x – x 0 ) 2 + ( y – y 0 ) 2 = r 2 ( trouvé en A ) ) on obtient une équation de la forme
x ² + y ² + 2 a x + 2 b y + c = 0 ( où a , b et c sont des réels ) , mais réciproquement une équation de cette forme ne représente pas toujours un
cercle .
Ex :
x²+y²–x–3y+3=0
(x²–x)+(y²–3y)+3=0

( x – 1 ) ² – 1 + ( y – 3) ² – 9 + 3 = 0
2
4
2
4
1
3
1

(x– )²+(y– )² =–
2
2
2
Ce qui est impossible ; l’ensemble des points vérifiant cette relation est donc l’ensemble vide .

4 ) TRIGONOMETRIE
A ) FORMULES D’ADDITION
Pour tout réel a et b :
cos ( a – b ) = cos a cos b + sin a sin b
;
cos ( a + b ) = cos a cos b – sin a sin b
sin ( a – b ) = sin a cos b – sin b cos a
;
sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a
Preuve :

+
Montrons que cos ( a – b ) = cos a cos b + sin a sin b
On considère le cercle trigonométrique C de centre O muni du repère orthonormal
direct (O ; Error!, Error!) .
On note A et B les points de C , définis par ( Error! , Error! ) = a et ( Error!, Error! ) = b .
Les coordonnées de A et de B sont respectivement ( cos a ; sin a ) et ( cos b ; sin b ) .
B
Error!
O
D’autre part, d’après la relation de Chasles, on a :
A
b
a
Error!
(Error! , Error! ) = (Error! , Error! ) + ( Error! , Error! ) = – ( Error! , Error! ) + ( Error! , Error! ) = b – a
Calculons alors de deux manières le produit scalaire Error! . Error! :

avec les coordonnées :
Error! . Error!= cos a cos b + sin a sin b

en utilisant cos ( Error! , Error! ) :
Error! . Error! = OA  OB  cos ( Error! , Error! ) = cos ( b – a )
Ainsi cos ( a – b ) = cos a cos b + sin a sin b

Montrons que cos ( a + b ) = cos a cos b – sin a sin b
Il suffit d’écrire cos ( a + b ) = cos ( a – ( – b ) ) …

Montrons que sin ( a + b ) = sin a cos b – sin b cos a
Il suffit d’écrire sin ( a + b ) = cos (  – ( a + b ) ) = cos ( (  – a ) – b ) = …
2
2

Montrons que sin ( a – b ) = sin a cos b + sin b cos a
Il suffit d’écrire sin ( a – b ) = sin ( a + ( – b ) ) = …
Ex :
En remarquant que  =  –  , on peut calculer les valeurs exactes de cos  et sin  .
12 3
4
12
12
 cos  = cos  cos  + sin  sin  = … = 6 + 2
12
3
4
3
4
2
 sin  = sin  cos  – sin  cos  = … = 6 – 2
12
3
4
4
3
2
B ) FORMULES DE DUPLICATION ET DE LINEARISATION
FORMULES DE DUPLICATION
FORMULES DE LINEARISATION

sin 2 a = 2 sin a cos a

cos ² a = 1 + cos 2 a
2

cos 2a = cos ² a – sin ² a
= 2 cos ² a – 1
= 1 – 2 sin ² a

sin ² a = 1 - cos 2 a
2
Preuve :
En prenant b = a , dans les formules précédentes on obtient sin 2 a = 2 sin a cos a et cos 2a = cos ² a – sin ² a .
En utilisant la relation cos ² a + sin ² a = 1 , on obtient cos 2 a = 2 cos ² a – 1 et cos 2a = 1 – 2 sin ² a .
On en déduit les deux dernières formules.