cours RO programmation linéaire S6 Gestion - Economie et Gestion ATMANI-EZZAHAR

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FSJES-AC
RECHERCHE OPERATIONNELLE
Semestre 6
Filière : Gestion E1-E2-E3
Filière : Economie et Gestion E1 -E2
PROGRAMMATION LINEAIRE - Complément –
- Partie III : Algorithme du simplexe
- Partie IV : Post – Optimalité
 Dualité
 Analyse de sensibilité
- Exercices avec solutions
M.ATMANI M .EZZAHAR
A/U : 2019 - 2020

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Remarque : la partie I : Formulation déjà traitée
la partie II : Résolution graphique déjà traitée
Partie III
ALGORITHME DU SIMPLEXE
I - Introduction
La méthode du simplexe est un algorithme qui permet la recherche de la solution optimale d’un
programme linéaire donné.
Dans la partie précédente ( Partie II ) on a présenté la résolution graphique d’un PL à deux variables ,
mais dans d’autres problèmes on a plus de deux variables , d’où la nécessité d’une procédure
algébrique pour résoudre des PL avec plus de deux variables « Cette méthode appelée méthode du
simplexe ».
II – Méthode du simplexe « MAXIMISATION »
Dans ce paragraphe on présentera la méthode du simplexe pour un problème de maximisation sous des
contraintes de types inférieur ou égal.
Donc on présente la méthode à l’aide d’un exemple illustratif.
 = 25+15
2+ 2 ≤ 240
3+ 1 ≤ 140
≥0,≥0

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Première étape :
Transformer le PL sous sa forme standard c à d transformer les inégalités sous forme des égalités en
introduisant des variables d’écarts (  )
2+2 ≤ 240 2+ 2+ 1= 240
3+1 ≤ 140 3+ 21 +1= 140
 peuvent être interpréter comme suit :
 : la qté de ressource 1  : la qté de ressource 2
Les variables d’écarts n’ont aucun effet sur la fonction objectif
Le modèle s’écrit donc sous sa forme standard :
 = 25+ 15 + 0 + 0
2+ 2+ 1= 240
3+ 21 + 1= 140
≥0,≥0,≥0,≥0
La question qui se pose c’est comment identifier une solution optimale ?
La réponse sera donnée par les étapes suivantes
Deuxième étape :
La deuxième étape consiste à poser le premier tableau de simplexe à l’origine.
A l’origine = 0,= 0 donc = 240 et = 140
 sont des variables HORS BASE et  et  sont des variables de BASE.
TAB : 0
Cj
25
15
0
0
VB
qté
0
240
2
2
1
0
0
140
3
2
0
1
Dans le TAB 0 on a placé en première ligne les coefficients Cj des variables , ,  et 
dans la fonction objectif.
La troisième ligne contient les coefficients liés à la première contrainte : 2+2+ 1= 240

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La quatrième ligne contient les coefficients liés à la première contrainte : 3+ 21 +1= 140
La première colonne indique les contributions des variables de base dans la fonction objectif .
Troisième étape :
Dans cette étape , on donne la méthode itérative pour la détermination de la solution optimale d’un PL.
 Première Itération
- Déterminer la variable entrante - Ve - « Colonne du pivot »
TAB 1
Cj
25
15
0
0
VB
qté
0
240
2
2
1
0
0
140
3
2
0
1
Zj
0
0
0
0
Cj
-
Zj
25
15
0
0
La variable entrante c’est la variable qui correspond à la plus grande valeur positive de Cj – Zj ( le
plus grand profit marginal )
Explication
Zj : correspond aux coefficients des variables de base multiplié par les coefficients de la variable dans
les contraintes deux à deux. ( Z 1 = 2× 0 + 3×0 = 0 )
A l’origine ( au départ ) on a x1=0 c à d x1 est hors base ( on ne produit pas le produit type 1 ) si
maintenant on augment x1 d’une unité on a une diminution de e1 de 2 unités et e2 de 3 unités.
L’effet d’une telle variation sur la fonction objectif est 25 – ( 0x1 + 0x2 ) = C1 – Z1
Les Cj – Zj sont données par la dernière ligne du tableau de simplexe .cette variation indique le profit
marginal provenant de la production d’une unité .
Donc si x1 augmente d’une unité le profit augmente de 25 et si x2 augmente d’une unité le profit
augmente de 15.
Alors dans notre exemple la plus grande valeur positive est 25 donc la variable entrante c’est x1.
- Déterminer la variable sortante - Vs - « Ligne du pivot »
On détermine la variable sortante en divisant les valeurs de la quantité par les valeurs correspondantes
dans la colonne de la variable entrante ( on obtient une nouvelle colonne RT ) ratio test.
On sélectionne la ligne avec le plus petit quotient positif pout RT.
On remarque que l’augmentation de x1 est restreinte par deux limites 240/2 et 140/3

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Alors la ressource 1 permet de produire 240/2 produit type 1 par contre la ressource 2 permet de
produire 140/3 . donc on se limite à 140/3 par conséquent on choisit comme variable sortante e2.
TAB 2
Cj
25
15
0
0
VB
qté
R
T
0
240
2
2
1
0
240/2
0
140
3
2
0
1
140/3
Zj
0
0
0
0
Cj
-
Zj
25
15
0
0
- Développer un nouveau tableau de simplexe
Ce nouveau tableau est déterminé à l’aide de la méthode de changement de base suivante ( méthode de
pivot )
Le pivot c’est l’intersection entre la colonne de la variable entrante et la ligne de la variable sortante
Remplir le nouveau tableau par la règle de pivotage :
1 – Diviser la ligne du pivot sur la valeur de pivot
2 - remplir les autres cases par la règle suivante : =− ×
∶   : Ancienne valeur
 : projection de l’ancienne valeur sur la ligne de pivot
 : projection de l’ancienne valeur sur la colonne de pivot.
TAB 3
Cj
25
15
0
0
VB
qté
0
440/3
0
4/3
1
-
2/3
25
140/3
1
1/3
0
1/3
Zj
25
25/3
0
25/3
Cj
-
Zj
0
20/3
0
-
25/3
Exemple de calcul : on a diviser toute la ligne de pivot sur la valseur de pivot.
Pour les autres valeurs exp : 
= 240 −×  ;;  = 2−  ×
Remarque : les nouvelles valeurs de la colonne de pivot sont nuls
FIN D’ITERATION TEST
Si les Cj – Zj sont tous inférieurs ou égal à zéro on arrête la solution est optimale , si non on
développe une nouvelle itération.