Estimation de la conductivité thermique effective d`une structure

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ième
Congrès de Mécanique, FS Semlalia, Marrakech 514
Estimation de la conductivité thermique effective d’une structure hétérogène par
une méthode de type Boltzmann sur Réseau
M. R. Arab
*
, B. Pateyron, M. El Ganaoui
SPCTS Université de Limoges CNRS UMR6638
123, avenue Albert Thomas 87060 Limoges Cedex France
*(Auteur correspondant : [email protected])
Mot clés: Boltzmann sur Réseau, transfert de chaleur par
conduction, conductivité thermique effective.
Résumé
Pendant ces dernières années les méthodes de Boltzmann
sur Réseau (BR), appelée aussi Boltzmann sur Treillis, ont
connu un succès évolutive dans le domaine d’écoulements
isothermes [1, 2, 3]. La possibilité avec ces méthodes de
traiter des géométries complexes, comme des milieux
poreux, à l’utilisation des conditions aux limites simples à
l’application ont permis de l’exploiter de façon croissante.
Dans cette méthode, le fluide est traité comme l’ensemble
des particules se déplaçant selon des règles simplifiées dans
un réseau composé de noeuds solides et fluides. Pendant un
pas de temps, les particules se propagent vers les nœuds de
voisinage et s’échangent leur quantité de mouvement
pendant la collision. Chaque pas de temps entraîne
l’application des forces externes au fluide, si il y a, et aussi
les différentes conditions aux limites.
La dérivation de l’équation de Boltzmann est basée sur trois
approximations :
1. les collision entre les particules se passent juste
entre deux particules. Cette hypothèse limite
l’équation au cas des gaz dilués.
2. Les particules sont considérées comme des points,
et donc les vitesses sont pas corrélées avant et
après la collision.
3. Il n’y a pas d’influence des forces externes lors de
la collision.
D’après la théorie cinétique des gaz, et sans tenir compte
des forces externes, l’évolution de la distribution de la
quantité de mouvement d’une seule particule dans un fluide
suit l’équation de Boltzmann (Eq. 1), où f est la fonction de
distribution,
c
r
est la vitesse macroscopique, et l’opérateur
(
)
f
Ω
va prendre en charge les interactions entre les
particules i.e. les collisions.
Pour notre intérêt, des propriétés physiques d’une structure
poreuse peuvent être estimées en utilisant un modèle BR
D2Q9 (Figure 1) pour estimer le coefficient de perméabilité
dans le cas d’un écoulement isotherme Newtonien où la loi
de Darcy peut être appliquée. Référence [4] contient
quelques résultats. Un autre aspect est d’estimer la
conductivité thermique effective (CTE); un mot clé très
important quand on parle d’un milieu hétérogène.
Récemment, M. Wang et al [5] ont proposé un modèle BR
simplifié pour traiter le problème de transfert de chaleur par
conduction. Basé sur son travail, la valeur de CTE est
estimée.
Deux fonctions de distribution avec deux valeurs
différentes de temps de relaxations sont définies pour les
deux différentes phases de la structure (solide/fluide quand
on parle d’une structure poreuse, et solide/solide quand on
parle d’une structure composite). Résultats obtenus par le
modèle BR sont comparés avec ceux obtenus
analytiquement (Eq. 2, Figure 2 et Figure 3), théoriquement
(Tableau 1) et par simulation en utilisant un modèle
d’éléments finis.
Une structure poreuse est étudiée pour déterminer sa
conductivité thermique effective (Figure 4).
Le travail sera étendu à l’étude de l’influence de la terme de
résistance thermique de contacte RTC sur le résultats.
La représentation d’un milieu hétérogène en 3D est
importante. La reconstruction stochastique à partir d’image
bidimensionnelle est en train d’être développée. Cette
structure tridimensionnelle permet l’exploitation d’un outil
BR avec un modèle 3D.
Références
[1] S. Succi, The Lattice Boltzmann Equation for Fluid
Dynamics and Beyond. (Oxford Science Publications
2001).
[2] M. Sukop and D. Thorne, Lattice Boltzmann Modeling:
An Introduction for Geoscientists and Engineers (Springer
2006)
[3] Mohamad A. A., 2007 Applied Lattice Boltzmann
Method for Transport Phenomena, Momentum, Heat and
Mass Transfer. Calgary-Canada.
[4] M. R. Arab, E. A. Semma, B. Pateyron and M. El
Ganaoui, J. FDMP accepted for publication (2008).
[5] M. WANG, N. PAN, J. WANG and S. CHEN, J. of
Colloid and interface Science 311 562-570 (2007).

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( )
f
x
f
c
t
fΩ=
∂
∂
+
∂
∂
r
Eq. 1
Eq. 1 : l’équation de Boltzmann
( )
≤≤∆
+
−
+−−
≤≤∆
+
−
=lxhT
lxTT
lxT
lx
T
xT 2/*
2/
*
2
2/0*
2/
*
)(
21
1
21
22111
21
2
1
κκκ κκ κκκ κκκ
Eq. 2
Eq. 2 : la solution analytique de transfert de chaleur par conduction dans le domaine en Fig. 1
(
)
( ) ( )
( )
=±± =±± =
=8,7,6,5 1,1 4,3,2,1 1,0,0,1
0 0,0
ic
ic
ic
e
i
Figure 1 : réseau du modèle D2Q9 avec les 9 vecteurs.
Tableau 1 : les valeurs de la conductivité thermique
effective estimées par relations empiriques et calculées
par simulations BR
1 2
:
κ κ
modèle parallèle
estimée W/m.K calculée W/m.K
1 :2 1.50 1.499
1 :5 3.00 2.992
1 :10 5.50 5.467
1 :50 25.5 25.26
1 2
:
κ κ
modèle séries
estimatée W/m.K calculée W/m.K
1 :2 1.333 1.335
1 :5 1.667 1.676
1 :10 1.818 1.827
1 :50 1.961 1.996
Figure 2 : présentation du milieu à traiter, deux
matériaux avec deux valeurs différentes de
conductivité thermique 2:1:
21
= κκ
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
x / l
T (K)
analytical
TLBM
Figure 3 : comparaison entre la solution analytique de
l’équation (1) et les résultats de la simulation par la
méthode BR
T
1
>T
2
T
2

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(a) image binaire
(b) contours de la température
Figure 4 : une structure poreuse