Estimation de la conductivité thermique effective d’une structure hétérogène par une méthode de type Boltzmann sur Réseau M. R. Arab*, B. Pateyron, M. El Ganaoui SPCTS Université de Limoges CNRS UMR6638 123, avenue Albert Thomas 87060 Limoges Cedex France *(Auteur correspondant : [email protected]) Mot clés: Boltzmann sur Réseau, transfert de chaleur par conduction, conductivité thermique effective. Résumé Pendant ces dernières années les méthodes de Boltzmann sur Réseau (BR), appelée aussi Boltzmann sur Treillis, ont connu un succès évolutive dans le domaine d’écoulements isothermes [1, 2, 3]. La possibilité avec ces méthodes de traiter des géométries complexes, comme des milieux poreux, à l’utilisation des conditions aux limites simples à l’application ont permis de l’exploiter de façon croissante. Dans cette méthode, le fluide est traité comme l’ensemble des particules se déplaçant selon des règles simplifiées dans un réseau composé de noeuds solides et fluides. Pendant un pas de temps, les particules se propagent vers les nœuds de voisinage et s’échangent leur quantité de mouvement pendant la collision. Chaque pas de temps entraîne l’application des forces externes au fluide, si il y a, et aussi les différentes conditions aux limites. La dérivation de l’équation de Boltzmann est basée sur trois approximations : 1. les collision entre les particules se passent juste entre deux particules. Cette hypothèse limite l’équation au cas des gaz dilués. 2. Les particules sont considérées comme des points, et donc les vitesses sont pas corrélées avant et après la collision. 3. Il n’y a pas d’influence des forces externes lors de la collision. D’après la théorie cinétique des gaz, et sans tenir compte des forces externes, l’évolution de la distribution de la quantité de mouvement d’une seule particule dans un fluide suit l’équation de Boltzmann (Eq. 1), où f est la fonction de r distribution, c est la vitesse macroscopique, et l’opérateur Ω( f ) va prendre en charge les interactions entre les particules i.e. les collisions. Pour notre intérêt, des propriétés physiques d’une structure poreuse peuvent être estimées en utilisant un modèle BR D2Q9 (Figure 1) pour estimer le coefficient de perméabilité dans le cas d’un écoulement isotherme Newtonien où la loi de Darcy peut être appliquée. Référence [4] contient quelques résultats. Un autre aspect est d’estimer la conductivité thermique effective (CTE); un mot clé très important quand on parle d’un milieu hétérogène. Récemment, M. Wang et al [5] ont proposé un modèle BR simplifié pour traiter le problème de transfert de chaleur par conduction. Basé sur son travail, la valeur de CTE est estimée. Deux fonctions de distribution avec deux valeurs différentes de temps de relaxations sont définies pour les deux différentes phases de la structure (solide/fluide quand on parle d’une structure poreuse, et solide/solide quand on parle d’une structure composite). Résultats obtenus par le modèle BR sont comparés avec ceux obtenus analytiquement (Eq. 2, Figure 2 et Figure 3), théoriquement (Tableau 1) et par simulation en utilisant un modèle d’éléments finis. Une structure poreuse est étudiée pour déterminer sa conductivité thermique effective (Figure 4). Le travail sera étendu à l’étude de l’influence de la terme de résistance thermique de contacte RTC sur le résultats. La représentation d’un milieu hétérogène en 3D est importante. La reconstruction stochastique à partir d’image bidimensionnelle est en train d’être développée. Cette structure tridimensionnelle permet l’exploitation d’un outil BR avec un modèle 3D. Références [1] S. Succi, The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond. (Oxford Science Publications 2001). [2] M. Sukop and D. Thorne, Lattice Boltzmann Modeling: An Introduction for Geoscientists and Engineers (Springer 2006) [3] Mohamad A. A., 2007 Applied Lattice Boltzmann Method for Transport Phenomena, Momentum, Heat and Mass Transfer. Calgary-Canada. [4] M. R. Arab, E. A. Semma, B. Pateyron and M. El Ganaoui, J. FDMP accepted for publication (2008). [5] M. WANG, N. PAN, J. WANG and S. CHEN, J. of Colloid and interface Science 311 562-570 (2007). ___________________________________________________________________________________________________ 9ième Congrès de Mécanique, FS Semlalia, Marrakech 514 ∂f r ∂f +c = Ω( f ) ∂t ∂x Eq. 1 Eq. 1 : l’équation de Boltzmann x κ2 T1 − * * ∆T κ1 + κ 2 l / 2 T ( x) = 2κ T − (κ1 − κ 2 )T2 x κ1 11 − * * ∆T κ1 + κ 2 κ1 + κ 2 l / 2 0≤ x≤l/2 Eq. 2 h/2≤ x≤l Eq. 2 : la solution analytique de transfert de chaleur par conduction dans le domaine en Fig. 1 T2 T1>T2 (0,0 )c ei = (± 1,0 ), (0,±1)c (± 1,±1)c i=0 i = 1,2,3,4 i = 5,6,7,8 Figure 1 : réseau du modèle D2Q9 avec les 9 vecteurs. Figure 2 : présentation du milieu à traiter, deux matériaux avec deux valeurs différentes de conductivité thermique κ 1 : κ 2 = 1 : 2 Tableau 1 : les valeurs de la conductivité thermique effective estimées par relations empiriques et calculées par simulations BR κ1 : κ 2 modèle parallèle 50 estimée W/m.K calculée W/m.K 1 :2 1.50 1.499 1 :5 3.00 2.992 40 T (K) 35 analytical 30 TLBM 25 1 :10 5.50 5.467 1 :50 25.5 25.26 κ1 : κ 2 45 20 15 10 modèle séries estimatée W/m.K calculée W/m.K 1.333 1 :2 1 :5 1 :10 1.667 1.818 1.335 1.676 1.827 1 :50 1.961 1.996 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x/l Figure 3 : comparaison entre la solution analytique de l’équation (1) et les résultats de la simulation par la méthode BR ___________________________________________________________________________________________________ 9ième Congrès de Mécanique, FS Semlalia, Marrakech 515 (a) image binaire (b) contours de la température Figure 4 : une structure poreuse ___________________________________________________________________________________________________ 516 9ième Congrès de Mécanique, FS Semlalia, Marrakech