Algèbre linéaire et bilinéaire

Algèbre linéaire et bilinéaire
Quelques rappels sur les « bases » de l’algèbre linéaire ................................ 3
I) Matrices et applications linéaires ........................................................ 3
II) Déterminants ........................................................................................ 6
III) Sommes de sous-espaces vectoriels ................................................. 7
IV) Premiers éléments de réduction ...................................................... 8
1) Objectif ............................................................................................ 8
2) Eléments propres ............................................................................. 9
3) Diagonalisation. Trigonalisation. .................................................. 10
Polynômes d’endomorphisme ....................................................................... 11
I) Définitions .......................................................................................... 11
II) Arithmétique des polynômes .............................................................. 11
III) Le lemme des noyaux..................................................................... 13
IV) Polynômes annulateurs d’un endomorphisme ............................... 13
Réduction d’endomorphismes ....................................................................... 15
I) Premiers pas ...................................................................................... 15
1) Recherche de sous-espaces stables ................................................ 15
2) Critère pour qu’un endomorphisme soit diagonalisable ................ 15
3) Théorème de Cayley Hamilton...................................................... 15
II) Réduction de Jordan .......................................................................... 16
1) Décomposition en sous espaces caractéristiques ........................... 16
2) Réduction des endomorphismes nilpotent ..................................... 16
3) Méthode pratique de la réduction des endomorphismes nilpotents 17
4) Théorème de Jordan ...................................................................... 18
5) Intérêt de la forme de Jordan ......................................................... 18
Formes Quadratiques .................................................................................... 21
I) Définitions .......................................................................................... 21
II) Réduction par la méthode de Gauss ................................................... 22
Index des notions ............................................................................................ 23

Quelques rappels sur les « bases » de
l’algèbre linéaire
Dans tout le cours, on notera
CRK ou 
(corps des scalaires).
I) Matrices et applications linéaires
Notation (E) : La lettre E désigne en général un K-espace vectoriel
de dimension finie. En particulier, si on note
Ed dim
, une fois
le choix d’une base fait, étudier E revient à étudier
d
K
.
Notation (espace des matrices) : On notera
K
pn,
M
l’espace
vectoriel des matrices à coefficients dans K qui ont n lignes et p
colonnes (et
KK nnn , MM 
).
Notation (espace des applications linéaires) : Si E et F sont des
espaces vectoriels (de dimension finie), on note
FE,L
l’espace
vectoriel des applications linéaires de E dans F.
Notation (matrices d’une application linéaire) : Si on se donne
j
e
et
i
f
des bases de E et F, et si
 E
iiijjfaeuEj dim 1
dim,,2,1 
alors la matrice
Ej Fi
ij
aA dim1 dim1  
est appelée matrice de u dans les bases
j
e
et
i
f
.
On note
uA ij fe Mat
.
Le choix d’une base de l’espace de départ et d’une base de
l’espace d’arrivé fait correspondre bijectivement les applications
linéaires et les matrices.
Bien sûr,
FE,L
est un K-espace vectoriel, et on a donc :
Def (addition interne) :
xvxuxvux
FEvu :
Def (produit externe) :

xuxux
FEu :
Naturellement, correspondent la somme des matrices et la
multiplication par un scalaire.
Def (composition) : On peut enfin composer des applications
linéaires.
GFE vu 
On défini
xuvxuvx
GEuv :
Matriciellement correspond à la composition d’applications
linéaires le produit de matrice.
On défini
BAC 
par
kkjikij bac
.
Alors
uvuv jkijik fegfge MatMatMat 
.
Def (inverse) : Si
FE 
, on note
EEE ,LL 
et on parle
d’endomorphisme.
Eu L
Est dit inversible s’il existe
Ev L
tel que
idvuuv  
où
xx
EEid :
.
L’inverse est usuellement noté
1
u
.
Matriciellement lui correspond l’inverse de matrice
(ie
IdAAAA   11
).
Def (ensemble des matrices inversibles) : L’ensemble des matrices
(de
K
n
M
) inversibles est noté
K
n
GL
. C’est un groupe non
commutatif pour la multiplication des matrices.
Def (puissance d’application linéaire) : Si
Eu L
et
Nk 
, on
note
uuuuk
k fois. Si
iduk  0 0
.

Def (polynôme d’application linéaire) : Si
XKP
(polynôme à
coefficients dans K), disons que
 d
i
i
iXaP 0
.
Alors
 d
i
i
iuauP 0
.
Def (changement de base) : Si
j
e
et
j
h
sont deux bases de E,
et
Ex
, on note
  jj
jjj hyexx
.
Def (matrice de passage) : Si X est le vecteur
E
x
x
dim
1
et Y le
vecteur
E
y
y
dim
1
alors
YPX 
où P est appelée matrice de
passage de
j
e
dans
j
h
.
Les colonnes de P sont les coordonnées des vecteurs
j
h
dans la
base
j
e
.
On la note
jj he
P
.
Def (changement de base des matrices) : Si
i
i
j
jg
f
h
eFEu :
,
application linéaire :
jjijiiij ehghgffe PuPu   MatMat
.
Rq :
jjjj heeh PP 
1
Donc si
Eu L
:
jjjjjj heeheh PuPu 
 MatMat 1
Def (matrices semblables) : Si
KBA n M,
tel qu’il existe
KP GL
telle que
PAPB  1