ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

T Ba
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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
En Physique, en Économie, en Biologie,... , la loi d'évolution de nombreux phénomènes est décrite par
une équation dans laquelle figurent une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées.
Par exemple en physique, la chute verticale, sans vitesse initiale, d'un corps soumis à la résistance
de l'air aboutit à l'expression v ' = g – k v ² , v désignant la vitesse, g et k des constantes.
La résolution consiste à trouver la fonction v telle que, pour tout réel t  0, v ' (t) = g – k v ² (t)
avec la condition initiale v(0) = 0.
I- Généralités
Soit f une fonction définie sur un intervalle I ; on appelle équation différentielle du n-ième ordre,
toute relation entre la variable, la fonction f et les dérivées de f jusqu'à l'ordre n, si elles existent.
Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions qui vérifient cette équation.
On dit aussi intégrer une équation différentielle. La courbe représentative d'une fonction solution est
appelée courbe intégrale.
II- Équation du premier ordre y ' – a y = 0, a  0
Soit a un réel non nul, une fonction f, définie et dérivable sur un intervalle I, est solution de
l'équation différentielle y ' – a y = 0 signifie que pour tout x de l'intervalle I on a f '(x) – a f(x) = 0.
Commentaires
L'inconnue de l'équation y ' – a y = 0 est une fonction et l'on ne mentionne pas la variable.
Le second membre de cette équation différentielle est la fonction nulle.
Bien sûr, u ' – a u = 0 désigne la même équation que y ' – a y = 0
Vocabulaire
L'équation est dite :
- différentielle parce que figurent des fonctions dérivées de la fonction inconnue ;
- du 1er ordre parce qu'elle contient seulement la fonction dérivée première ;
- linéaire car n'interviennent que la fonction et ses dérivées au premier degré (y et y ' et non pas
y ², sin y, ... ) ;
- à coefficient constant car a est un réel donné.
Théorème
La solution générale de l'équation différentielle y' – a y = 0 est l'ensemble des fonctions f
définies sur I; R par f(x) = k e ax
Ph. Georges
avec k un réel.
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Démonstrations
Soit f une fonction solution de l'équation différentielle y ' – a y = 0 alors f ' (x) – a f(x) = 0
d’où f ' (x) = a f(x). La fonction f est proportionnelle à sa fonction dérivée première.
L'étude des fonctions exponentielles nous a révélé de telles fonctions proportionnelles à leur
dérivée.
Les fonctions f(x) = k e ax donnent f '(x) = a k e ax = a f(x) soit f ‘(x) – a f(x) = 0.
Conditions de Cauchy
D'après le théorème, il existe une infinité de solutions à l'équation différentielle y ' – a y = 0.
Si l'on fixe des conditions initiales (ou conditions de Cauchy) pour la fonction ou ses fonctions
dérivées, k prend une valeur unique et l'équation y ' – a y = 0 admet alors une solution unique.
Exemple
Si y0 est la valeur de la fonction solution en x0, l'unique solution est : y = y0
e a (x x
0)
.
III- Équation du second ordre y" + ² y = 0, 
1. Recherche des solutions de l’équation y" + ² y = 0
Considérons l'ensemble des fonctions g(x) = cos x.
Calculons leurs dérivées successives.
g '(x) = – sin x
g "(x) = – ².cos x = – ² g(x)
On a donc : g "(x) + ² g(x) = 0. Les fonctions de la forme g(x) = cos x sont solutions.
De même, considérons l'ensemble des fonctions h(x) = sin x
h ' (x) = cos x
h ''(x) = – ² sin x = – ² h(x)
d'où
h "(x) + ² h(x) = 0
Les deux fonctions g et h sont donc des solutions de l'équation y" + ² y = 0.
2. Théorème
La solution générale de l'équation différentielle y" +  ² y = 0 est l'ensemble des fonctions f
définies sur I; R par f(x) = C1 cos  x + C2 sin  x avec C1 et C2 des réels.
Démonstration
Considérons l'ensemble des fonctions f définies par f(x) = C1 cos x + C2 sin x
.
Les dérivées successives sont : f '(x) = – C1  sin x + C2  cos x
et
f "(x) = – C1 cos x – C2 sin x = –  C1 cos x + C2 sin x) = – f(x)
On obtient bien : f "(x) + f(x) = 0
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IV- Équation différentielle avec second membre
La solution générale d'une équation différentielle avec second membre est obtenue en ajoutant à la
solution générale de l'équation sans second membre, une solution particulière de l'équation avec
second membre.
Solution Générale = Solution Sans Second Membre + Solution Particulière
La solution particulière de l'équation différentielle sera toujours donnée.
V- Équation du second ordre y" + ay' + by = 0, a  0, b  0
1. Recherche des solutions
Nous ne connaissons pas à priori de solutions, hormis la fonction nulle, comme pour l'équation
du premier ordre. Voyons si les fonctions exponentielles sont solutions.
Considérons la fonction f(x) = e rx avec r un réel quelconque.
Notons que f '(x) = r.e rx et que f "(x) = r².e rx
Si f est solution, pour tout réel x, on peut écrire : r².e rx + a r.e rx + b e rx = 0
Puisque e rx n'est jamais nulle, il nous faut résoudre : r² + a r + b = 0.
Cette équation du second degré appelé équation caractéristique.
2. Théorème
On associe à l'équation différentielle y" + a y ' + b y = 0, l'équation caractéristique r² + a r + b = 0.
On démontre et on admettra que la solution générale de l'équation différentielle est l'ensemble des
fonctions f définies sur I; R comme suit.
Équation caractéristique
Solutions de l'équation
r² + a r + b = 0
y" + a y ' + b y = 0
f(x) = A e r1 x  B e r2 x
  > 0, deux racines réelles r1 et r2
 = 0, une racine double r
f(x) = (Ax + B) e rx
 < 0, deux racines complexes conjuguées
r1 =  + i  et r2 =  – i 
avec
 = – Error! et  =
f(x) = e x (A cos x + B sin x)
1
2

A et B sont deux constantes réelles quelconques.
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Exemples :
1. Résolution de l'équation différentielle y" – y ' – 6y = 0
L'équation caractéristique est r ² – r – 6 = 0 d'où  = (– 1)² – 4  (1)  (– 6) = 25.
L'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes r 1 = – 2 et r 2 = 3
L'équation différentielle y" – y ' – 6y = 0 a pour solution générale f(x) = A e – 2x + B e 3x.
2. Résolution de l'équation différentielle y" + 6 y ' + 9y = 0
L'équation caractéristique est r ² + 6r + 9 = 0 ;  = (6)² – 4  (1)  (9) = 0.
La solution double est : r = – 3.
L'équation différentielle y" + 6y ' + 9y = 0 a pour solution générale f(x) = (Ax + B) e – 3x.
3. Résolution de l'équation différentielle y" + 2 y ' + 5y = 0
L'équation caractéristique est r2 + 2r + 5 = 0 ;  = – 16, pas de solution réelle.
On a :  = – Error! = – Error! = – 1 et  =
1
2
 = 2.
(Attention : a est le coefficient de y" + a y ' + by = 0)
La solution générale est
f(x) = e – x (A cos 2x + B sin 2x).
A
VI- Application : décharge d'un condensateur à travers un résistor
Un condensateur de capacité C se décharge dans un résistor de résistance R.
À l'instant t = 0, le condensateur porte la charge q0 sous une tension U0.
B
C
i
1. Déterminer la loi de décharge du condensateur.
2. Calculer la solution particulière pour C = 1,6 F, R = 500  et U0 = 24 V.
R
3. En déduire l'expression de l'intensité i(t).
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