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Ph. Georges Maths 1/4
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
En Physique, en Économie, en Biologie,... , la loi d'évolution de nombreux phénomènes est décrite par
une équation dans laquelle figurent une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées.
Par exemple en physique, la chute verticale, sans vitesse initiale, d'un corps soumis à la résistance
de l'air aboutit à l'expression v ' = g – k v ² , v désignant la vitesse, g et k des constantes.
La résolution consiste à trouver la fonction v telle que, pour tout réel t
0, v ' (t) = g – k v ² (t)
avec la condition initiale v(0) = 0.
I- Généralités
Soit f une fonction définie sur un intervalle I ; on appelle équation différentielle du n-ième ordre,
toute relation entre la variable, la fonction f et les dérivées de f jusqu'à l'ordre n, si elles existent.
Résoudre une équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions qui vérifient cette équation.
On dit aussi intégrer une équation différentielle. La courbe représentative d'une fonction solution est
appelée courbe intégrale.
II- Équation du premier ordre y ' – a y = 0, a
0
Soit a un réel non nul, une fonction f, définie et dérivable sur un intervalle I, est solution de
l'équation différentielle y ' – a y = 0 signifie que pour tout x de l'intervalle I on a f '(x) – a f(x) = 0.
Commentaires
L'inconnue de l'équation y ' – a y = 0 est une fonction et l'on ne mentionne pas la variable.
Le second membre de cette équation différentielle est la fonction nulle.
Bien sûr, u ' – a u = 0 désigne la même équation que y ' – a y = 0
Vocabulaire
L'équation est dite :
- différentielle parce que figurent des fonctions dérivées de la fonction inconnue ;
- du 1er ordre parce qu'elle contient seulement la fonction dérivée première ;
- linéaire car n'interviennent que la fonction et ses dérivées au premier degré (y et y ' et non pas
y ², sin y, ... ) ;
- à coefficient constant car a est un réel donné.
Théorème
La solution générale de l'équation différentielle y' – a y = 0 est l'ensemble des fonctions f
définies sur I; R par f(x) = k e ax avec k un réel.