Chapitre 2

Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
Chapitre 2
Diviseurs et multiples
2.1) Un professeur part en voyage scolaire avec ses élèves. Pour les loger, il
exige qu’il y ait toujours le même nombre d’élèves par chambre. Quelles sont
les diverses possibilités, s’il part avec 20 élèves ? Complète le tableau :
Nombre d’élèves
par chambre
1
2
4
5
_____
Nombre de chambres
nécessaires
20
10
5
____
Donc : div.20 = ______________
____
Pourquoi n’as-tu pas envisagé les cas de 3 et 7 élèves par chambre ?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
En comparant les deux colonnes de nombres, que constates-tu ?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Pour trouver ces nombres, n'aurais-tu pas pu économiser du temps et du travail,
en t'arrêtant plus tôt ? Comment ?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Campus Saint Jean
Ex.2 - 1
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
2.2) Réalise le même travail (songe à économiser ton temps et ton travail) pour
un groupe de :
15 élèves
___ ___
16 élèves
___ ___
21 élèves
___ ___
40 élèves
___ ___
___ ___
___ ___
___ ___
___ ___
___ ___
___ ___
___ ___
___ ___
___ ___
___ ___
___ ___
___ ___
___ ___
___ ___
___ ___
___ ___
Donc : div.15 = _____________________________________
div.16 = _____________________________________
div.21 = _____________________________________
div.40 = _____________________________________
2.3) Ecris tous les éléments des ensembles suivants :
div.7 = __________________________________________________________
div.25 = _________________________________________________________
div.9 = __________________________________________________________
div.42 = _________________________________________________________
div.24 = _________________________________________________________
div.50 = _________________________________________________________
div.52 = _________________________________________________________
div.13 = _________________________________________________________
div.60 = _________________________________________________________
div.29 = _________________________________________________________
div.1 = __________________________________________________________
Campus Saint Jean
Ex.2 - 2
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
2.4) x est un naturel choisi parmi la liste suivante : 11, 9, 1, 4, 6
Détermine une valeur de x qui convient dans les écritures suivantes et
justifie :
a) div.x = { 1 , x }
: x = __________________
car ______________________________________________________
______________________________________________________
b) x divise 27
: x = _____________ ou x = _________
car ______________________________________________________
______________________________________________________
c) div.x = { x }
: x = __________________
car ______________________________________________________
______________________________________________________
d) div.28 = { 1 , 2 , x , 7 , 14 , 28 } : x = ____________
car ______________________________________________________
______________________________________________________
2.5) Recherche les naturels demandés et énonce la caractéristique qui unit ces
nombres :
Recherche les nombres inférieurs à 10 qui ont exactement 2 diviseurs distincts :
________________________________________________________________
Campus Saint Jean
Ex.2 - 3
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
2.6) Indique, dans la case prévue, si les propositions suivantes sont vraies ou
fausses :
Vrai Faux Car :
1.
1 ne divise pas 0.
2.
28 est un diviseur de 4.
3.
div.14 = { 1, 2, 3, 7, 14 }
4.
8  div.32.
5.
8 divise 4.
6.
7.
0 est un diviseur de tout
naturel.
51 possède exactement 2
diviseurs distincts.
8.
7 est un diviseur de 56.
9.
div.24 = { 2, 3, 6, 8, 12, 24 }
10. 1 ne divise que lui-même.
2.7) Enumère les cinq premiers multiples des nombres suivants (si c'est
possible):
1N =
0N =
11N =
3N =
25N =
7N =
4N =
20N =
Campus Saint Jean
Ex.2 - 4
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
2.8) Recherche le contenu des ensembles suivants :
div.28 (< 14) = _______________________________
div.27 (> 3) = ________________________________
div.38 ( 19) = _______________________________
div.42 (< 21) = _______________________________
12N ( 36) = _________________________________
12N (> 36) = _________________________________
20N (> 31) = _________________________________
20N ( 31) = _________________________________
6N ( 60) = __________________________________
6N (< 60) = __________________________________
div.25 (> 5) = ________________________________
div.25 ( 5) = ________________________________
div.30 (> 12) = _______________________________
div.30 ( 12) = _______________________________
2.9) Enumère tous les éléments de :
15N = _____________________________________
125N = ____________________________________
12N = _____________________________________
div.105 = __________________________________
div.54 = ___________________________________
div.1 = ____________________________________
div.0 = ____________________________________
14N = _____________________________________
0N = _____________________________________
7N = _______________________________________
Campus Saint Jean
Ex.2 - 5
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
1N = _____________________________________
5N = _____________________________________
2.10) Complète les phrases suivantes par l'une au moins des expressions que
voici:
est un diviseur de, est un multiple de, est divisible par, divise.
35 ________________________ 5
3 ________________________ 84
50 ________________________ 100
44 ________________________ 11
8 ________________________ 200
36 ________________________ 9
21 ________________________ 3
7 ________________________ 7
7 ________________________ 21
0 ________________________ 12
1 ________________________ 15
12 ________________________ 1
Parmi les quatre expressions utilisées ci-dessus, quelles sont celles qui sont
équivalentes ?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
2.11) Complète par "diviseur" ou par "multiple"
3 est ________________ de 21
7 est ________________ de 1
8 est ________________ de 4
0 est ________________ de 105
1 est ________________ de 33
25 est ________________ de 0
Campus Saint Jean
Ex.2 - 6
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
2.12) Complète les phrases suivantes par l'une au moins des expressions que
voici:
est diviseur de, est multiple de, est divisible par, divise.
5
________________________ 25
15
________________________ 15
12
________________________ 4
4
________________________ 64
100
________________________ 10
50
________________________ 150
1
________________________ 8
0
________________________ 24
8
________________________ 2
1
________________________ 1
2.13) Relie à la latte les écritures mathématiques à leurs traductions.
40 = 5.8 
 40 est divisible par 5
 5 divise 40
 8 est un diviseur de 40
a = 5.b 
 a est un diviseur de b
 b est un diviseur de a
 b divise a
a = 1.a 
 1 est diviseur de a
 a divise 1
 a est un diviseur de a
Campus Saint Jean
Ex.2 - 7
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
2.14) Indique, dans la case prévue, si les propositions suivantes sont vraies ou
fausses :
Vrai Faux Car :
1.
La somme de deux nombres
impairs consécutifs est un
multiple de 4.
Le produit de deux nombres
2. consécutifs est divisible par 2.
Le carré d’un nombre pair est
3. divisible par 4.
La somme de deux nombres pairs
4. consécutifs est un multiple de 4.
La somme de cinq nombres
5. consécutifs est un multiple de 5.
Le carré d’un naturel dont le
6. dernier chiffre est 5 est divisible
par 25.
7. 78 265 n’est pas divisible par 11.
La somme de deux nombres
8. impairs consécutifs est divisible
par 4.
2.15) Vrai ou Faux ? Si tu réponds "faux", donne un contre-exemple.
Tous les multiples de 3 sont des multiples de 6.
______________________________________________
Tous les multiples de 15 sont des multiples de 5.
______________________________________________
Tous les multiples de 7 sont des multiples de 14.
______________________________________________
Tous les multiples de 16 sont des multiples de 8.
______________________________________________
Tous les multiples de 33 sont des multiples de 11.
______________________________________________
Campus Saint Jean
Ex.2 - 8
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
2.16) Indique, dans la case prévue, si les propositions suivantes sont vraies ou
fausses :
Vrai Faux Car :
Tous les diviseurs de 4 sont
1. diviseurs de 20.
Tous les multiples de 5 sont
2. multiples de 10.
Tous les multiples de 6 sont
3. multiples de 3.
Tous les diviseurs de 15 sont
4. diviseurs de 45.
Tous les diviseurs de 9 sont
5. diviseurs de 21.
Tous les multiples de 8 sont
6. multiples de 4.
Tous les diviseurs de 3 sont
7. diviseurs de 15.
Tous les diviseurs de 12 sont
8. diviseurs de 42.
La somme de deux multiples de 2
9. est un multiple de 4.
Tous les diviseurs d'un nombre
10. pair sont pairs.
2.17) Indique, dans la case prévue, si les propositions suivantes sont vraies ou
fausses :
Vrai Faux Car :
1.
2.
3.
4.
3 est un multiple de 6.
Tous les multiples de 5 sont impairs.
91 est multiple de 7.
0 est multiple de tous les naturels.
Tous les multiples de 12 sont
5. également multiples de 6 et de 4.
6. Tous les multiples de 1 sont impairs.
Tous les multiples de 8 sont multiples
7. de 16.
Un nombre est à la fois multiple et
8. diviseur de lui-même.
Le plus petit multiple d’un nombre est
9. ce nombre.
Un multiple de 7 n’est jamais multiple
10. de 3.
Campus Saint Jean
Ex.2 - 9
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
2.18) Explique le raisonnement en employant une des propriétés précédentes :
Enoncé
6 divise 642
Raisonnement
car
3 divise 636
car
7 divise 217
car
9 divise 891
car
n° de la prop.
15 divise 135 car
7 divise 133
car
6 divise 114
car
8 divise 800
car
9 divise 720
car
11 divise 88
car
2.19) Si tu sais que 5 divise 35, explique pourquoi 5 divise les nombres
suivants :
Enoncé
70
car
40
car
25
car
105
car
45
car
Raisonnement
n° de la prop.
2.20) Les lettres désignent des naturels. Je sais que a, b, c, d sont des multiples
de n. Les affirmations suivantes sont vraies. Justifie-les en te basant sur les
propriétés de la divisibilité (indique toutes les propriétés employées).
n divise a + b + d car
Campus Saint Jean
Ex.2 - 10
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
n divise a.b.c car
Si c<d, alors n divise d – c car
n divise 3b car
n divise 2b + 3c car
2.21) Complète le tableau suivant, en notant une croix aux endroits qui
conviennent.
Divisible par
72
122
160
120
350
1 244
3 450
3 244
5 328
3 072
Campus Saint Jean
2
3
Ex.2 - 11
4
5
25
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
2.22) Justifie (sur une feuille annexe) en utilisant un critère de divisibilité ou
une des propriétés vue au point 3.
Les nombres suivants sont divisibles …
par 3
21 – 69 – 312 – 735 – 474
par 4
12 – 48 – 724 – 796 – 3 400
par 9
54 – 261 – 234 – 918 – 720
2.23) Complète le tableau ci-dessous en notant une croix dans les cases qui
conviennent :
Divisible par
Nombre 2
3
4
468
495
9 750
19 800
792
99 000
5
9
10
25
6
2.24) Remplace le ---- par un chiffre pour obtenir le plus grand naturel
possible satisfaisant la condition énoncée.
Le nombre doit être divisible
Par 2
Par 3
Par 4
Par 5
Par 9
5 89__
591 __25
6 5__6
9 86__
43 7__8
2.25) Justifie par le caractère de divisibilité approprié :
1 374 est divisible par 3 car _____________________________________
17 328 est divisible par 6 car ____________________________________
3 548 est divisible par 4 car _____________________________________
5 875 est divisible par 125 car ___________________________________
3 978 est divisible par 9 car _____________________________________
Campus Saint Jean
Ex.2 - 12
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
2.26) Complète le tableau de divisibilité suivant en notant une croix aux
endroits qui conviennent :
2
3
6
354
406
231
402
273
322
2.27) Complète le tableau de divisibilité suivant en notant une croix aux
endroits qui conviennent :
2
3
4
5
6
9
10
25
621
315
2 517
792
6 375
1 175
230
2 584
972
2 002
2.28) Place le chiffre adéquat dans les espaces afin de trouver le plus grand
nombre qui réponde aux conditions indiquées :
1__3__ est divisible par 2
6__1__4 est divisible par 3
__ __6 est divisible par 4
23__ est divisible par 5
1__7__4 est divisible par 9
81__ __ est divisible par 10
Campus Saint Jean
Ex.2 - 13
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
2.29) Complète le tableau suivant.
Si tu réponds « vrai », justifie par une définition ou une propriété
Si tu réponds « faux », donne un contre-exemple
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Enoncé
Vrai Faux Justification
Si a divise 8,
alors a divise
40
Si a divise 15,
alors a divise 5
Si a est multiple
de 6, alors a est
multiple de 24
Tous
les
multiples de 3
sont divisibles
par 6
4
est
un
diviseur de 400
et de 36. Donc
4 divise 436
9 177 525 est
divisible par 3
13
est
un
diviseur de 169
Si a divise b,
alors a divise
3b
2n + 3 est un
naturel impair
2n + 1 est
divisible par 3
Tous
les
diviseurs de 12
sont pairs
2.30) Place le chiffre adéquat dans les espaces afin de trouver un nombre qui
réponde aux conditions indiquées :
7__ __ est divisible par 9 mais pas par 5
4__7__ est multiple de 3 mais pas de 9
__ __6__ est multiple de 8 et de 5
Ex.2 - 14
Campus Saint Jean
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
2.31) Les nombres ci-dessous ne sont pas premiers. Pourquoi ?
93 – 295 – 531 – 217 – 1 734
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
2.32) Décompose les nombres suivants en facteurs premiers :
150
300
270
700
150 = _______
150 = _______
300 = _______
300 = _______
270 = _______
270 = _______
700 = _______
700= _______
2.33) Décompose les nombres suivants en un produit de facteurs premiers.
168
441
420
168 =
441 =
420 =
Campus Saint Jean
Ex.2 - 15
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
243
273
180
243 =
273 =
180 =
2.34) Décompose en facteurs premiers les naturels suivants :
81
145
1 380
81 =
145 =
1 380 =
1 001
1 001 =
2.35) Lolita a effectué quelques décompositions; rectifie ses erreurs
éventuelles.
Corrections
60 = 2.5.6
60 = ______________________
132 = 3.4.11
132 = ______________________
81 = 23.32
81 = ______________________
36 = 62
36 = ______________________
Campus Saint Jean
Ex.2 - 16
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
2.36) Recherche mentalement le P.G.C.D. de
6 et 22
150 et 275
21 et 25
55 et 27
75 et 125
9 et 15
120 et 160
14 et 49
36 et 37
15 et 35
240 et 320
45 et 27
140 et 240
22 et 55
300 et 250
2.37) Recherche du P.G.C.D. en utilisant la décomposition en facteurs
premiers
160 et 96
720 et 660
Méthode à suivre :________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Campus Saint Jean
Ex.2 - 17
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
2.38) Calcule le P.G.C.D. des nombres suivants, par décomposition en facteurs
premiers :
12 et 18
45 et 75
49 et 63
48 et 60
120 et 180
135 et 90
132 et 140
270 et 560
204 et 85
84 et 294
84 et 270
66 et 140
Campus Saint Jean
Ex.2 - 18
Math 1ère
Nom :
Prénom :
91 et 143
Classe :
Date :
135 et 243
220, 350 et 180
2.39) Les phrases ci-dessous sont-elles exactes ? justifie.
24 et le plus grand commun diviseur de 72 et 48.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
8 est le plus grand commun diviseur de 48 et 64.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
15 est le plus grand commun diviseur de 135 et 60.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
2.40) Illustre par 3 exemples les affirmations suivantes :
Affirmations
Exemples
Si la somme de deux
nombres est un nombre
1. premier, alors les deux
nombres sont premiers entre
eux.
Campus Saint Jean
Ex.2 - 19
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Si deux nombres
premiers entre eux,
2. leur différence et
produit sont premiers
eux.
Classe :
Date :
sont
alors
leur
entre
Un nombre impair et la
moitié du nombre pair qui le
3. suit sont des nombres
premiers entre eux.
2.41) Indique dans la case prévue, si les propositions suivantes sont vraies ou
fausses :
Vrai Faux Car :
1.
Tous les nombres premiers
sont impairs.
Tout nombre composé peut
2. s'écrire sous la forme d'un
produit de facteurs premiers.
Lorsqu'un nombre n'est pas
premier, il admet au moins un
3.
nombre
premier
comme
diviseur.
4. 87 est un nombre premier.
5.
Deux nombres consécutifs ne
sont jamais premiers.
6.
Tous les nombres impairs
sont des nombres premiers.
Si deux nombres sont impairs,
7. alors ils sont premiers entre
eux.
Campus Saint Jean
Ex.2 - 20
Math 1ère
Nom :
Prénom :
8.
Classe :
Date :
Deux naturels consécutifs
sont premiers entre eux.
Si deux nombres sont
premiers entre eux, alors leur
9. somme et leur différence sont
des nombres premiers entre
eux.
Campus Saint Jean
Ex.2 - 21
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
Pour aller plus loin
2.42) Traduis, par une expression algébrique, les propositions suivantes (la
lettre représente un naturel quelconque) :
Un multiplie de 2 :
Un nombre pair :
Un multiple de 2, augmenté de 5 :
Un nombre impair :
Un multiple de 3, diminué de 4 :
Le carré d'un multiple de 4 :
Un multiple de 11, diminué de 11 :
La somme de 2 nombres consécutifs :
La somme de 2 nombres pairs consécutifs :
La somme de 2 nombres impairs consécutifs :
2.43) Remplace la variable x par la valeur proposée et calcule la valeur de
chaque expression algébrique. Entoure les expressions qui ont 29 comme
valeur quand on remplace la variable x par un des nombres :
Valeur de x
3x + 2
Expressions algébriques
7x + 1
5x + 4
11x + 7
13x + 4
x=2
x=4
x=5
x=7
x=8
Campus Saint Jean
Ex.2 - 22
Math 1ère
Nom :
Prénom :
Classe :
Date :
2.44) Trouve la maison de ces trois garçons :
Le numéro de la maison de Valentin est le plus petit naturel de 3 chiffres
différents divisible par 11.
Le numéro de la maison de Jérôme est le plus petit naturel de 3 chiffres divisible
par 3.
Le numéro de la maison de Quentin est le plus petit naturel impair de 3 chiffres
divisible par 9.
Valentin habite
au n° ______
Valentin habite
au n° ______
Valentin habite
au n° ______
2.45) Pour paver un rectangle de 270 sur 126, on a le choix entre les pavés
suivants :
A (6 sur 9)
B (18 sur 7)
C (14 sur 18)
D (18 sur 18)
E (9 sur 9)
Combien il faut de pavés pour couvrir le rectangle initial ?
A : ____ pavés
B : ____ pavés
C : ____ pavés
D : ____ pavés
E : ____ pavés
2.46) Quelles sont les mesures des côtés de tous les carrés avec lesquels,on
peut paver un rectangle de :
a) 64 sur 48 ?
b) 20 sur 20 ?
c) 40 sur 24 ?
d) 23 sur 46 ?
Campus Saint Jean
Ex.2 - 23
Math 1ère