CH5_Mini_Test_SN_Chap5_corrige

Nom: ___________________________________ Groupe ______
Mini-Test 1 Chapitre 5
Répondre aux questions suivantes :
1) Soit le triangle isocèle ABC. Démontrez que les triangles CEF et BDF sont isométriques si les
segments
CD
et
BE
sont les bissectrices des angles ABC et ACB respectivement.
Hypothèse :
Le triangle ABC est isocèle.
Les segments
CD
et
BE
sont les bissectrices
des angles ABC et ACB respectivement.
Conclusion :
BDF CEF  
Affirmations Justifications
1-
m ABC m ACB  
1- Les angles opposés aux côtés isométriques d’un
triangle isocèle sont isométriques.
2-
1
2
m DBF m FBC m ABC    
2- Par hypothèse, les segments
BE
et
CD
sont des
1
2
m ECF m FCB m ACB    
bissectrices.
3-
m DBF m ECF  
3- Par transitivité de l’égalité avec les affirmations 1 et 2.
m FBC m FCB  
4-
BFC
est isocèle 4- Un triangle isoangle est aussi isocèle.
5-
m BFD m CFE  
5- Les angles opposés par le sommet sont isométriques.
6- m
BF
= m
CF
6- Les côtés opposés aux angles isométriques d’un triangle
isoangle sont isométriques.
7-
BDF CEF  
7- Par la condition minimale ACA des triangles isométriques.
Deux triangles qui ont un côté isométrique compris entre
des angles homologues isométriques sont isométriques.
A
B
C
D
E
F

2) Quelle justification permet de dire que les triangles suivants sont isométriques ?
a)
Par la condition minimale ACA des triangles isométriques.
Deux triangles ayant un côté isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont
isométriques.
b)
6mAB 
6mDF 
8
8
m
C = 80o
m
A = 43o
B
C
A
D
E
F
m
F = 43o
m
E = 80o

1- m B = 57o La somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180o.
2- m D = 57o La somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180o.
3- m B = m D Par la transitivité de l’égalité, affirmations 1 et 2.
4-m
AB
= m
DF
Par hypothèse, même mesure
5- m A = m F Par hypothèse, même mesure
6-
ABC DEF  
Par la condition minimale ACA.
Deux triangles ayant un côté isométrique compris entre des angles homologues
isométriques sont isométriques.
3) Quelle justification permet de dire que les triangles suivants sont semblables ?
a)
Par la condition minimale AA des triangles semblables.
Deux triangles ayant deux angles homologues isométriques sont semblables.
b)
Le 3e angle du 2e triangle est de 680. La somme des angles intérieurs d’un triangle rectangle est de
1080.
Par la condition minimale CAC des triangles semblables.
Deux triangles qui ont un angle isométrique compris entre des côtés homologues de longueurs
proportionnelles sont semblables.
4
6
680
3
2
700
420

4) Trouve la mesure des côtés manquants. (Donne aussi les justifications.)
a) Le triangle ABC est rectangle en D.
Le triangle BCD est rectangle en B.
m
AB
= 8 et m
BC
= 2
2
2
2
2
*
8*2
16
16
4
h m n
h
h
h
h
m
BD
= 4
Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue de l’angle droit est moyenne
proportionnelle entre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.
2 2 2
2 2 2
2
2
84
64 16
80
80
4*4*5
45
8,94
c a b
c
c
c
c
c
c
c
2 2 2
2 2 2
2
2
24
4 16
20
20
2*2*5
25
4,47
c a b
c
c
c
c
c
c
c
m
45AD 
et m
25CD 
Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme du carré des
mesures des cathètes. (Relation de Pythagore)
b) Le triangle ABC est rectangle en D.
Le triangle BCD est rectangle en B.
m
AD
= 6 et m
BC
= 5
A B C
D
A B C
D

On pose m
AB
= x
2
2
2
2
2
2
*
6 *( 5)
36 5
36 36 5 36
5 36 0
9 4 36 0
( 9) 4( 9) 0
( 4)( 9) 0
4 0 9 0
4 9
a m c
xx
xx
xx
xx
x x x
x x x
xx
x ou x
x ou x
Une longueur est positive donc x = 4.
Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque côté de l’angle droit est moyenne proportionnelle
entre la mesure de sa projection sur l’hypoténuse et l’hypoténuse entière.
45
9
mAC mAB mBC
mAC
mAC
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
96
81 36
45
45
3*3*5
35
6,71
a b c
b c a
b
b
b
b
b
b
b
m
35CD 
Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme du carré des
mesures des cathètes. (Relation de Pythagore)
2
2
2
2
*
4*5
20
20
2*2*5
25
4,47
h m n
h
h
h
h
h
h
m
25BD 
Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue de l’angle droit est moyenne
proportionnelle entre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.