Étude du réseau quadratique centré I) Le cristal métallique du protactinium Le protactinium (Pa) est l'un des rares éléments cristallisant suivant un réseau quadratique centré : la maille du cristal, comme l'indique le schéma ci-dessous, est un prisme droit à base carrée, les nœuds du réseau occupant les sommets et le centre du prisme. c a a I.1) Connaissant le numéro atomique du protactinium, Z = 91, donner la structure électronique, souscouche par sous-couche de l'atome isolé, prévue par la règle de Klechkowsky. En fait l'atome de protactinium, dans son état fondamental, ne respecte pas exactement cette règle; la dernière sous couche f a un électron de moins que prévu. Dans quelle sous-couche est cet électron ? I.2) Le réseau cristallin du protactinium a pour paramètres : a = b = 392,5 pm c = 323,8 pm = = = 90° La masse molaire atomique de l'isotope le moins instable du protactinium est M = 231 g.mol1. Calculer la masse volumique du protactinium cristallisé connaissant la constante d'Avogadro : N = 6,022.1023 mol1. I.3) Montrer que chaque atome est entouré d'un certain nombre de voisins situés à deux distances très voisines d' et d" que l'on calculera. Quelle valeur doit-on attribuer au rayon atomique du protactinium ? I.4) Calculer la compacité du cristal de protactinium. II) Les réseaux quadratiques centrés c quelconque et a résultant de l'arrangement dans l'espace de sphères identiques tangentes à leurs plus proches voisines. On considère les 14 sphères les moins éloignées d'une sphère donnée, soit : N1 sphères dont les centres sont à la distance d1, N2 sphères dont les centres sont à la distance d2, N3 sphères dont les centres sont à la distance d3, avec, par convention, N1 > N2 > N3. II.1) Quelles sont les valeurs de N1, N2 et N3 ? Quelles sont, exprimées avec z et a, les distances correspondantes d1, d2 et d3. On considère maintenant un réseau quadratique centré présentant un rapport z II.2) Représenter sur un même diagramme les trois rapports compris entre 0 et 3, avec pour échelles : 5 cm pour II.3.1) d3 ? II.3.2) II.3.3) II.3.4) d1 d2 d , et 3 en fonction de z, pour z a a a d = 1 et 5 cm pour z = 1. a Pour quelle valeur z0 de z observe-t-on l'égalité des deux plus grandes parmi les trois distances d1, d2 et À quel réseau cristallin a-t-on alors affaire ? Quelle est alors la coordinence I0 ? Quelle est alors la compacité 0 du cristal ? II.4.1) Pour quelle valeur z1 de z la coordinence est-elle I1 = 10 ? Montrer que le protactinium est très voisin de ce cas idéal. II.4.2) Quelle est alors la compacité 1 du cristal ? II.5.1) Pour quelle valeur z2 de z la coordinence est-elle I2 = 12 ? II.5.2) Quelle est alors la compacité 2 du cristal ? II.5.3) Comment nomme-t-on habituellement un tel réseau ? On le décrit habituellement par une maille de géométrie plus simple, dont on notera a' le paramètre. Quelle relation y a-t-il entre a et a' ? II.6.1) Quel autre réseau, que l'on ne peut décrire par une maille quadratique, possède la même coordinence I = 12 ? Donner sa compacité '2 (sans calcul) ? II.6.2) Pour chacun des deux réseaux de coordinence 12, préciser le type d'empilement des plans réticulaires de compacité maximale. II.6.3) Quelle remarque peut-on faire au sujet des deux suites obtenues : I0, I1, I2 et 0, 1, 2 ?