Étude du réseau quadratique centré

Étude du réseau quadratique centré
I) Le cristal métallique du protactinium
Le protactinium (Pa) est l'un des rares éléments cristallisant suivant un réseau quadratique centré : la
maille du cristal, comme l'indique le schéma ci-dessous, est un prisme droit à base carrée, les nœuds du réseau
occupant les sommets et le centre du prisme.
a
a
c
I.1) Connaissant le numéro atomique du protactinium, Z = 91, donner la structure électronique, sous-
couche par sous-couche de l'atome isolé, prévue par la règle de Klechkowsky.
En fait l'atome de protactinium, dans son état fondamental, ne respecte pas exactement cette règle; la
dernière sous couche f a un électron de moins que prévu. Dans quelle sous-couche est cet électron ?
I.2) Le réseau cristallin du protactinium a pour paramètres :
a = b = 392,5 pm c = 323,8 pm  =  =  = 90°
La masse molaire atomique de l'isotope le moins instable du protactinium est M = 231 g.mol1.
Calculer la masse volumique  du protactinium cristallisé connaissant la constante d'Avogadro :
N = 6,022.1023 mol1.
I.3) Montrer que chaque atome est entouré d'un certain nombre de voisins situés à deux distances très
voisines d' et d" que l'on calculera.
Quelle valeur doit-on attribuer au rayon atomique du protactinium ?
I.4) Calculer la compacité  du cristal de protactinium.
II) Les réseaux quadratiques centrés
On considère maintenant un réseau quadratique centré présentant un rapport
zc
a
quelconque et
résultant de l'arrangement dans l'espace de sphères identiques tangentes à leurs plus proches voisines.
On considère les 14 sphères les moins éloignées d'une sphère donnée, soit :
N1 sphères dont les centres sont à la distance d1,
N2 sphères dont les centres sont à la distance d2,
N3 sphères dont les centres sont à la distance d3,
avec, par convention, N1 > N2 > N3.
II.1) Quelles sont les valeurs de N1, N2 et N3 ? Quelles sont, exprimées avec z et a, les distances
correspondantes d1, d2 et d3.

II.2) Représenter sur un même diagramme les trois rapports
d
a1
,
d
a2
et
d
a3
en fonction de z, pour z
compris entre 0 et 3, avec pour échelles : 5 cm pour
d
a
= 1 et 5 cm pour z = 1.
II.3.1) Pour quelle valeur z0 de z observe-t-on l'égalité des deux plus grandes parmi les trois distances d1, d2 et
d3 ?
II.3.2) À quel réseau cristallin a-t-on alors affaire ?
II.3.3) Quelle est alors la coordinence I0 ?
II.3.4) Quelle est alors la compacité 0 du cristal ?
II.4.1) Pour quelle valeur z1 de z la coordinence est-elle I1 = 10 ? Montrer que le protactinium est très voisin
de ce cas idéal.
II.4.2) Quelle est alors la compacité 1 du cristal ?
II.5.1) Pour quelle valeur z2 de z la coordinence est-elle I2 = 12 ?
II.5.2) Quelle est alors la compacité 2 du cristal ?
II.5.3) Comment nomme-t-on habituellement un tel réseau ? On le décrit habituellement par une maille de
géométrie plus simple, dont on notera a' le paramètre. Quelle relation y a-t-il entre a et a' ?
II.6.1) Quel autre réseau, que l'on ne peut décrire par une maille quadratique, possède la même coordinence
I = 12 ? Donner sa compacité '2 (sans calcul) ?
II.6.2) Pour chacun des deux réseaux de coordinence 12, préciser le type d'empilement des plans réticulaires
de compacité maximale.
II.6.3) Quelle remarque peut-on faire au sujet des deux suites obtenues : I0, I1, I2 et 0, 1, 2 ?