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Probabilités
A) Loi de probabilité. Equiprobabilité. Variable aléatoire.
1) Langage et notations.
On appelle :
- expérience aléatoire, une expérience dont on ne connaît pas le
résultat à l’avance, mais dont on connaît les résultats possibles.
- éventualité (ou issue), tout résultat possible de l’expérience.
- univers, l’ensemble des éventualités.
- événement, tout sous-ensemble (ou partie) de l’univers.
- événement impossible, noté , l’événement qui ne contient aucune événtualité.
2) Evénements incompatibles. Evénements contraires.
Définitions : soit A et B deux événements d’un univers E.
- A et B sont incompatibles (ou disjoints) si
AB  
.
- A et B sont contraires (ou complémentaires) si
AB  
et
A B E
.
On note alors
BA
.
3) Loi de probabilité sur un ensemble fini.
Définition : soit
1 2 n
E e ,e ,...,e
un univers fini contenant n éventualités.
- Définir une loi de probabilité P sur E consiste à associer à chaque élément
i
e
de E
un réel noté
i
p
tel que
i
0 p 1
et
n
i
i1
p1
.
On dit que
i
p
est la probabilité de l’éventualité
i
e
et on note
ii
p P(e )
.
- La probabilité d’un événement A de l’univers E, notée P(A), est égale à la somme
des probabilités des éventualités qui composent A.
Conséquences : soit P une loi de probabilité sur un univers E.
- Pour tout événement A de E :
0 P(A) 1
.
-
P0
et
P E 1
.
- Pour tout événement A de E :
P A 1 P A
.
- Si A et B sont des événements incompatibles de E alors :
P A B P A P B  
.

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- Si A et B sont des événements quelconques de E alors :
P A B P A P B P A B    
.
4) Equiprobabilité.
Soit P une loi de probabilité sur un univers E composé de n éventualités.
Définition : on dit qu’il y a équiprobabilité (ou que la loi P est équirépartie) si les
probabilités de chaque éventualité sont égales.
Propriété : dans le cas d’une loi de probabilité équirépartie
- la probabilité de chaque éventualité est égale à
1
n
;
- si un événement A de E contient k éventualités alors
nombre d'éventualités qui composent A
k
P(A) n nombre total d'éventualités
.
5) Variable aléatoire réelle.
Définition : soit E un univers et P une loi de probabilité définie sur E.
- Une variable aléatoire réelle X est une fonction qui, à toute éventualité de E,
associe un nombre réel.
Si
1 2, k
x ,x ...,x
est l’ensemble des images par X de toutes les éventualités de E
alors, pour tout entier i tel que
1 i k
, on note
i
Xx
l’événement de E
constitué des éventualités dont l’image par X est le réel xi.
- On peut alors définir sur l’ensemble
12 k
E' x ,x ,...,x
une nouvelle loi de
probabilité, notée
X
P
, en posant pour tout entier i tel que
1 i k
:
X i i
P (x) P(X x)
.
La loi PX est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X.
Remarque : on représente généralement la loi de probabilité d’’une variable
aléatoire réelle X par un tableau, comme ci-dessous :

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6) Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire réelle.
Définitions : soit X une variable aléatoire réelle prenant les valeurs
12 k
(x , x , ..., x )
avec les probabilités
12 k
(p , p , ..., p )
. On appelle :
- espérance mathématique de X le réel
ii
k
i1
E(X) xp
- variance de X le réel
2
ii
k
i1
V(X) (x E(X)) p
- écart-type de X le réel
(X) V(X)
.
B) Conditionnement et indépendance.
1) Conditionnement par un événement de probabilité non nulle.
Soit P une probabilité définie sur un univers E, et soit A un événement de E
tel que P(A) 0.
Définition : pour tout événement B de E, on appelle probabilité de B sachant A
le réel noté
A
P (B)
tel que :
AP(A B)
P (B) P(A)
.
Propriété : PA est une nouvelle probabilité définie sur E, appelée probabilité
conditionnelle sachant A.

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On a en particulier :
A
P (A) 1
 pour tout événement B de E,
AA
P (B) 1 P (B)
 si A et B sont incompatibles alors
A
P (B) 0
.
Conséquence : si A et B sont des événements de E tels que
P(A) 0
et
P(B) 0
,
alors :
AB
P(A B) P(A) P (B) P(B) P (A)    
2) Indépendance de deux événements.
Soit P une probabilité définie sur un univers E, et soit A et B deux événements
de E.
Définition : A et B sont indépendants si
P(A B) P(A) P(B)  
.
Propriété : si
P(A) 0
et
P(B) 0
alors on a :
A et B indépendants si et seulement si
A
P (B) P(B)
ou
B
P (A) P(A)
.
3) Variables aléatoires indépendantes
Définition : deux variables aléatoires réelles X et Y définies sur le même
univers E muni d’une loi de probabilité P, pouvant prendre respectivement les valeurs
( x1, x2, …, xk) et (y1, y2, …, yr), sont indépendantes si, pour tout couple (i,j) :
i j i j
P X x et Y y P X x P Y y     
.
C) Formule des probabilités totales.
1) Partition de l’univers
Définition : soit E un univers et n un entier tel que n 2.
Les événements A1, A2, …, An constituent une partition de E si les trois conditions
suivantes sont vérifiées :
● aucun de ces événements n’est impossible ;
● ces événements sont incompatibles deux à deux ;
● la réunion de ces événements est l’univers E.

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2) Formule des probabilités totales
Propriéte : soit E un univers muni d’une loi de probabilité P, et (A1, A2, …, An) une
partition de E.
Pour tout événement B de E, on a :
n
12
n
A A A
1 2
P(B) P(A ) P (B) P(A ) P (B) ... P(A ) P (B)      
Exemple : pour n = 3
B est la réunion de trois événements incompatibles deux à deux. Donc
1 2 3
P(B) P(A B) P(A B) P(A B)     
Illustration par un arbre pondéré :
D) Expériences indépendantes ; expériences indépendantes
et identiques.
Définitions : dire que k expériences sont indépendantes, c’est dire que la
probabilité d’obtenir une liste de k résultats est égale au produit des
probabilités de chacun d’entre eux.
1 2 3
B A B A B A B     